曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率極小曲面

1、第二章 曲面論第十三節(jié) 曲面上法曲率的最大值、最小值、高斯曲率、平均曲率、極小曲面 根據(jù)法曲率的幾何意義, 法曲率完全反映了曲面在一點(diǎn)處沿指定方向的彎曲程度和彎曲方向, 因此, 理論上曲面在一點(diǎn)處沿任意方向的彎曲性是完全可以量化. 但實(shí)際上是做不到的, 因?yàn)榍嬖谝稽c(diǎn)處有無(wú)窮多個(gè)切方向. 于是我們自然提出這樣兩個(gè)問(wèn)題: 法曲率隨方向變化的變化規(guī)律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題展開討論.得到的結(jié)論是: 由Euler 公式給處了曲面上一點(diǎn)沿各個(gè)方向, 法曲率的變化規(guī)律, 而且法曲率有最大值和最小值, 它們被稱為主曲率, 最后由主曲率進(jìn)一步引出Gauss曲率和平均曲率的概

2、念.一、 法曲率的最大值、最小值曲面上一點(diǎn) 沿一方向上的法曲率為 ，（1）我們考慮法曲率的最大值、最小值問(wèn)題。 設(shè)，則有，這樣一來(lái)，所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次分式的極值問(wèn)題。 ，此二次方程有根，當(dāng)且僅當(dāng)，。設(shè)是方程，（2）的兩個(gè)根， 則有， 于是的最大值、最小值分別為 ，且由方程（2）所解出。 由 韋達(dá)定理，便得， 。將代入，解出兩個(gè)根，就得到使達(dá)到最大值、最小值的方向。對(duì)曲面上一給定點(diǎn), 法曲率 是切方向的函數(shù), 稱法曲率的每個(gè)臨界值(critical value)為曲面在這一點(diǎn)的主曲率; 對(duì)應(yīng)的方向稱為曲面在這一點(diǎn)的主方向.二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率 設(shè)分別為曲面上一點(diǎn)處的法曲率的最大

3、值、最小值，則將它們的乘積稱為曲面在這一點(diǎn)的高斯(Gauss)曲率，通常以表示，它描述了曲面在一點(diǎn)處總的彎曲程度, 又稱為總曲率或全曲率；它們的平均數(shù)稱為曲面在這一點(diǎn)的平均曲率，通常以表示，它描述了曲面在一點(diǎn)處的平均彎曲程度, 又稱為中曲率。 由方程（2）及韋達(dá)定理，便得， 。 。三、 計(jì)算高斯(Gauss)曲率、平均曲率的例題 設(shè)是半徑為的球面，由于，所以球面的高斯曲率，平均曲率 ?！纠?】 求正螺面 的主曲率, 總曲率和全曲率.【解】直接計(jì)算得到螺面的第一和第二基本形式如下，由此便知正螺面上所有點(diǎn)都非臍點(diǎn), 于是其上每點(diǎn)處都有兩個(gè)不相等的主曲率. 將基本量代入法曲率的計(jì)算公式, 得到，由于

4、 ，所以，有，于是 正螺面的主曲率k1; k2, 總曲率K和平均曲率H 分別為， ， ?！纠?】 設(shè)是一條空間正則曲線, 是自然參數(shù)，其切線構(gòu)成的曲面為，其中是的單位切向量. 求的Gauss曲率.【解】記曲線C 的曲率和撓率分別為， 基本向量為 。則，于是進(jìn)一步計(jì)算得到，；所以，因此曲面S 的Gauss曲率為 。例1、 求曲面：的高斯曲率、平均曲率。解 我們已經(jīng)得出第一類基本量為，；第一基本形式為；第二類基本量為，第二基本形式為。 代入計(jì)算，可得，。容易驗(yàn)證 。求上半橢球面上的高斯曲率；求下半橢球面上的高斯曲率。 例2、求旋轉(zhuǎn)曲面：。（這里， ） 的高斯曲率、平均曲率。解 ， ， ，。 ，則有

5、 。， 。 將基本量代入，可算出，。（2）若 的全曲率處處為零, 試判斷曲面 的形狀?(3) 證明: 若 的經(jīng)線有垂直于旋轉(zhuǎn)軸的切線, 則切點(diǎn)是曲面 上的拋物點(diǎn).(2) 由(1)知, 全曲率處處為零的充要條件是， (i) 若 ，則f (常數(shù)), 因而曲面是垂直于z -軸的平面.(ii) 若 ，即，那么，當(dāng)常數(shù)時(shí), 曲面為圓錐面; 當(dāng)常數(shù) 時(shí), 曲面為圓柱面.(3) 若經(jīng)線的切線垂直于旋轉(zhuǎn)軸(即z -軸), 則 從而K = 0, 所以切點(diǎn)為拋物點(diǎn). 特別地，將平面上曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)曲面為，。,將基本量代入，可算出。，。 將平面上曲線（，）繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)曲面為， 。四、 極

6、小曲面定義 一個(gè)曲面如果它在每一點(diǎn)處的平均曲率，則稱之為極小曲面。可以證明，給定一條閉曲線，可以設(shè)想蒙在這條閉曲線上的所有曲面中，有一個(gè)面積最小者，這個(gè)具有最小面積的曲面正是極小曲面，即平均曲率為零的曲面。平面是僅有的極小可展曲面。除平面外，旋轉(zhuǎn)極小曲面都是懸鏈面，直紋極小曲面都是正螺面。 五、 旋轉(zhuǎn)的極小曲面現(xiàn)在我們要尋找出旋轉(zhuǎn)的極小曲面，即求出的旋轉(zhuǎn)曲面。將平面上曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)曲面為。 我們已知 。 由可得，由此得，即積分后，我們得到，。從而可得,上式可變成,積分后，得,于是,又，故得 ， 這里省去了積分常數(shù)，因?yàn)樗徊贿^(guò)表示沿平行于旋轉(zhuǎn)軸的平移而己。 因此因此曲面是由懸鏈

7、線旋轉(zhuǎn)而成，稱為懸鏈面。在形狀上它很像壓扁了的單葉雙曲旋轉(zhuǎn)面。故 旋轉(zhuǎn)的極小曲面是懸鏈面。將平面上曲線（，）繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)曲面為，我們已知 。 若，則有， ， ，常數(shù)，（若，此時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面為平面。），故得 。法曲率的最值的特征值性質(zhì)考慮法曲率的最值和最值方向的特征值、特征向量性質(zhì)。令，則有，因此，最大值、最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論在條件下的最大值、最小值問(wèn)題。 因?yàn)槭怯薪玳]集，在上連續(xù)，所以在上存在最大值和最小值.存在，使得。記 。對(duì)任意的實(shí)數(shù)及都有，展開計(jì)算，得，對(duì)時(shí)，有， 令，得 ；對(duì)于時(shí)，有， 令，得 ；故有，（任意）從而， 同理可證 ， 方程組，有非零解當(dāng)且僅當(dāng)，。由于 ，滿足 ，即是該方程根。由韋達(dá)定理，便得，