數(shù)學(xué)分析14無窮小量與無窮大量

1、§無窮小量與無窮大量教學(xué)目的：理解無窮小（大）量及其階的概念。會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)要求：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。u 引言在學(xué)習(xí)數(shù)列極限時(shí)，有一類數(shù)列非常引人矚目，它們具有如下特征：. 我們稱之為無窮小數(shù)列。通過前面幾節(jié)對(duì)函數(shù)極限的學(xué)習(xí)。我們可以發(fā)現(xiàn)，在一般函數(shù)極限中也有類似的情形。例如：我們給這類函數(shù)一個(gè)名稱“無窮小量”。既然有“無窮小量”，與之對(duì)應(yīng)的也應(yīng)有“無窮大量”，那么什么時(shí)“無窮大量”？進(jìn)一步，這些“量”有哪些性質(zhì)呢？以上就是我們今天要給大家介紹的內(nèi)容無窮小量與無窮大量。一、無窮小量1定義：設(shè)在某內(nèi)有定

2、義。若，則稱為當(dāng)時(shí)的無窮小量。記作：.（類似地可以定義當(dāng)時(shí)的無窮小量）。例：都是當(dāng)時(shí)的無窮小量；是當(dāng)時(shí)的無窮小量；是時(shí)的無窮小量。2無窮小量的性質(zhì)（）先引進(jìn)以下概念定義（有界量）若函數(shù)在某內(nèi)有界，則稱為當(dāng)時(shí)的有界量，記作：.例如：是當(dāng)時(shí)的有界量，即; 是當(dāng)時(shí)的有界量，即.注：任何無窮小量都是有界量（局部有界性），即若，則.區(qū)別：“有界量”與“有界函數(shù)”。一般在談到函數(shù)是有界函數(shù)或函數(shù)是有界的，意味著存在>，在定義域內(nèi)每一點(diǎn)，都有。這里“有界”與點(diǎn)無關(guān)：而有界是與“點(diǎn)有關(guān)”，是在某點(diǎn)的周圍（且除去此點(diǎn)）有界，是一種“局部”的有界。（）性質(zhì)性質(zhì)兩個(gè)（相同類型的）無窮小量之和、差、積仍為無窮小

3、量。性質(zhì)無窮小量與有界是的乘積為無窮小量。性質(zhì)是當(dāng)時(shí)的無窮小量.例如；，.問題：兩個(gè)（相同類型的）無窮小量之商是否仍為無窮小量？考慮：.引申：同為無窮小量，而不存在？這說明“無窮小量”是有“級(jí)別”的。這個(gè)“級(jí)別”表現(xiàn)在收斂于（或趨近于）的速度有快不慢。就上述例子而言，這個(gè)“級(jí)別”的標(biāo)志是的“指數(shù)”，當(dāng)時(shí)，的指數(shù)越大，它接近于的速度越快。這樣看來，當(dāng)時(shí)，的收斂速度快于的收斂速度。所以其變化結(jié)果以為主。此時(shí)稱是（當(dāng)時(shí)）的高階無窮小量，或稱時(shí)， 是的低階無窮小量。一般地，有下面定義： 無窮小量階的比較（主要對(duì)敘述，對(duì)其它類似）設(shè)當(dāng)時(shí)，均為無窮小量。（） 若，則稱時(shí)為的高階無窮小量，或稱為的低階無窮小

4、量，記作. 即.例 ，.問題 ，此時(shí)是可說？引申 與上述記法：相對(duì)應(yīng)有如下記法：，這是什么意思？含義如下：若無窮小量與滿足關(guān)系式，則記作.例如，（），. （）若.注 等式，等與通常等式的含義不同的。這里的等式左邊是一個(gè)函數(shù)，右邊是一個(gè)函數(shù)類（一類函數(shù)），而中間的“”叫的含義是“”。例如：，其中，而上述等式表示函數(shù)。為方便起見，記作（） 若存在正數(shù)和，使得在某上有，則稱與為當(dāng)時(shí)的同階無窮小量。但需要注意：不存在，并不意味著與不全為同階無窮小量。如，不存在。但，所以與為當(dāng)時(shí)的同階無窮小量。由上述記號(hào)可知：若與是當(dāng)時(shí)的同階無窮小量，則一定有：。（） 若，則稱與是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無窮小量，記作.例如：）;

5、）.對(duì)于“等價(jià)無窮小量”有下面的重要的結(jié)論，它在求極限問題中有重要作用，稱為求極限的“等價(jià)量法”。定理 設(shè)函數(shù)、在內(nèi)有定義，且有. (1) 若，則；(2) 若，則例 求. 例 求極限.注：在利用等價(jià)無窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來替代, 而對(duì)極限式中相加或相減的部分則不能隨意替代。小結(jié)以上討論了無窮小量，無窮小量性質(zhì)。無窮小量比較。兩個(gè)無窮小量可比較的特征其商是有界量。但應(yīng)指出，并不是任何兩個(gè)無窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較。例如.二、無窮大量問題 “無窮小量是以為極限的函數(shù)”。能否仿此說“無窮大量是以為極限的函數(shù)”。答：按已學(xué)過的極限的定義，

6、這種說法是不嚴(yán)格的，講為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，意味著是一個(gè)確定的數(shù)，而“”不具有這種屬性，它僅僅是一個(gè)記號(hào)。所以不能簡(jiǎn)單地講“無窮大量是以為極限的函數(shù)”。但是，確實(shí)存在著這樣的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，與無限接近。例如：），當(dāng)時(shí)，與越來越接近，而且只要與充分接近，就會(huì)無限增大；），當(dāng)時(shí)，也具有上述特性。在分析中把這類函數(shù)稱為當(dāng)時(shí)有非正常極限。其精確定義如下：非正常極限定義（非正常極限）設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若對(duì)任給的>0，存在，當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)有非正常極限，記作。注：）若“”換成“”，則稱當(dāng)時(shí)有非正常極限；若換成 則稱當(dāng)時(shí)有非正常極限，分別記作.2) 關(guān)于函數(shù)在自變量的其它不同趨向的非正常極限的定義，以及

7、數(shù)列當(dāng)時(shí)的非正常極限的定義，都可類似地給出。例如：，當(dāng)時(shí)，;，當(dāng)時(shí)，.無窮大量的定義定義對(duì)于自變量的某種趨向（或），所有以為非正常極限的函數(shù)（包括數(shù)列），都稱為無窮大量。例如：當(dāng)時(shí)是無窮大量；當(dāng)時(shí)是無窮大量。注：）無窮大量不是很大的數(shù)，而是具有非正常極限的函數(shù);）若為時(shí)的無窮大量，則易見為上的無界函數(shù)，但無界函數(shù)卻不一定是無窮大量。例如；在上無界，但;）如同對(duì)無窮小量進(jìn)行階的比較的討論一樣，對(duì)兩個(gè)無窮大量，也可以定義高階無窮大量、同階無窮大量等概念。利用非正常極限定義驗(yàn)證極限等式例證明.例證明；當(dāng)時(shí)，。三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系定理（）設(shè)在內(nèi)有定義且不等于，若為當(dāng)時(shí)的無窮小量，則為時(shí)的無窮大量；（）若為時(shí)的無窮大量，則為時(shí)的無窮小量。四、曲線的漸近線 引言作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用。我們討論曲線的漸近線問題。由平面解析幾何知：雙曲線有兩條漸近線。那么，什么是漸近線呢？它有何特征呢？曲線的漸近線定義定義若曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與某實(shí)直線的距離趨于零，則稱直線為曲線的漸近線。形如的漸近線稱為曲線的斜漸近線；形如的漸近線稱為曲線的垂直漸近線。 曲線的漸近線何時(shí)存在？存在時(shí)如何求出其方程？（）斜漸近線假設(shè)曲線有斜漸近線，曲線上動(dòng)點(diǎn)到漸近線的距離為依漸近線定