數(shù)學(xué)分析答案無窮小量與無窮大量的階

1、習(xí) 題 3.3 無窮小量與無窮大量的階1. 確定a與，使下列各無窮小量或無窮大量等價(jià)于() a： (1) u(x) = , (x0，x)； (2) u(x) = (x0，x)； (3) u(x) = + (x0+，x+)； (4) u(x) = (x0+，x+)； (5) u(x) = - (x0，x+)； (6) u(x) = - x (x+)； (7) u(x) = - (x0+)； (8) u(x) = - (x0+)； (9) u(x) = ln cos x - arc(x0)； (10) u(x) = - (x0)。解（1）；。 （2）；。 （3）；。 （4）；。 （5）；。 （6）

2、。 （7）。 （8）。 （9）。 （10）。2. (1) 當(dāng)x+時(shí)，下列變量都是無窮大量，將它們從低階到高階進(jìn)行排列，并說明理由。 (a1), , (0)， (k0)， x!； (2) 當(dāng)x0+時(shí)，下列變量都是無窮小量，將它們從高階到低階進(jìn)行排列，并說明理由。(0)，, (a1)，, (k0)。解（1）當(dāng)x+時(shí)，從低階無窮大量到高階無窮大量的排列為(k0)， (0)， (a1), x!, 。證明： 設(shè)，則，。由，與，即得到，同時(shí)也得到 。（2）當(dāng)x0+時(shí)，從高階無窮小量到低階無窮小量的排列為, , (a1)， (0)， (k0)。證明：令，則當(dāng)x0+時(shí)，有。參考（1）的排列即可得到（2）的排列

3、。3. 計(jì)算下列極限：；(-)；(- )； (a0)； (a0)；x ( ln (1+x) - ln x )； (a0)；n (- 1) (x0)；( - ) (x0)。解（1）。（2）。（3）(-)。（4）(- )。（5）。（6）。（7）x ( ln (1+x) - ln x )。（8）。（9）。（10）。（11）n (- 1)。（12）( - ) 。習(xí) 題 3.4 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)1. 證明：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且 = A（有限數(shù)），則在有界。證 由 = A（有限數(shù)），可知，：，即。再由在閉區(qū)間上的連續(xù)性，可知在上有界，即：。令，則，成立。2. 證明：若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù)，且f(a+)和f(

4、b-)存在，則它可取到介于f(a+)和f(b-)之間的一切中間值。證 令，則在閉區(qū)間連續(xù)，不妨設(shè)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的中間值定理，可知在閉區(qū)間上可取到上的一切值，于是在開區(qū)間上可取到介于f(a+)和f(b-)之間的一切中間值。3. 證明：若閉區(qū)間上的單調(diào)有界函數(shù)能取到 f(a)和f(b)之間的一切值，則是上的連續(xù)函數(shù)。證 采用反證法。不妨設(shè)單調(diào)增加。若是的不連續(xù)點(diǎn)，則與都存在，且，于是取不到開區(qū)間中異于的值，與條件矛盾；若是的不連續(xù)點(diǎn)，則存在，且，于是取不到開區(qū)間中的值，也與條件矛盾；同樣可以證明也不可能是的不連續(xù)點(diǎn)。4. 應(yīng)用Bolzano-Weierstrass定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有

5、界性定理。證 采用反證法。設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，但無界，則存在點(diǎn)列，滿足，即。由Bolzano-Weierstrass定理，存在子列，且。因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)，所以有，與產(chǎn)生矛盾。5. 應(yīng)用閉區(qū)間套定理證明零點(diǎn)存在定理。證 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，不妨設(shè)，。如果，則定理得證。如果，則令，；如果，則令，。如果，則定理得證。如果，則令，；如果，則令，。這樣的過程可以一直進(jìn)行下去。如果存在某個(gè)，使得，則定理得證；如果不存在某個(gè)，使得，則得到一個(gè)閉區(qū)間套，滿足，。由閉區(qū)間套定理，可知存在唯一屬于所有閉區(qū)間的點(diǎn)，且。再由在點(diǎn)的連續(xù)性，可知與，從而得到，定理得證。6. 證明方程（）至少有一個(gè)正根。證 令，則在上連續(xù)。取

6、，則，由零點(diǎn)存在定理，在上至少有一個(gè)根。7證明方程（）有且僅有一個(gè)實(shí)根。證 令，則在上是嚴(yán)格單調(diào)增加的。由，易知在上有且僅有一個(gè)實(shí)根。8證明： （1）sin在（0,1）上不一致連續(xù)，但在(a,1)(a0)上一致連續(xù)； （2）sin在上不一致連續(xù)，但在0,A上一致連續(xù)； （3）在上一致連續(xù)； （4）ln x在上一致連續(xù)； (5) 在上一致連續(xù)。證（1）在上，令，但，所以sin在（0,1）上不一致連續(xù)。在 (a0)上，取，成立，所以sin在(a,1) (a0)上一致連續(xù)。（2）在上，令，則，但，所以sin在上不一致連續(xù)。在上，取，成立，所以sin在0,A上一致連續(xù)。（3） ，取，成立，所以在上一致

7、連續(xù)。（4） ，取，成立，所以ln x在上一致連續(xù)。（5） ，取，成立，所以在上一致連續(xù)。9證明：對(duì)橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)P，存在橢圓過P的一條弦，使得P是該弦的中點(diǎn)。證 過點(diǎn)作弦，設(shè)弦與軸的夾角為，點(diǎn)將弦分成長度為和的兩線段，則在連續(xù)，滿足，于是必有，滿足，也就是。10設(shè)函數(shù)在0,2上連續(xù)，且f(0) = f(2)，證明：存在，使得。證 令，則在上連續(xù)，于是必有，滿足。令，則，使得。11若函數(shù)在有限開區(qū)間上一致連續(xù)，則在上有界。證 由在上一致連續(xù)，可知，存在且有限。令，則在閉區(qū)間連續(xù)，所以在有界，因此在上有界。12證明： （1）某區(qū)間上兩個(gè)一致連續(xù)函數(shù)之和必定一致連續(xù)； （2）某區(qū)間上兩個(gè)一致連續(xù)函數(shù)之積不一定一致連續(xù)。證（1）設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上一致連續(xù)，則，成立，于是，所以在區(qū)間上一致連續(xù)。（2）設(shè)，區(qū)間，則，在區(qū)間上一致連續(xù)，但在區(qū)間上不一致連續(xù)。13. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，證明在上恒正或恒負(fù)。證 設(shè)在上不保持定號(hào)，則存在（不妨設(shè)），使與不同號(hào)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的中間值定理，必定存在，使得，這就產(chǎn)生矛盾，所以在上必定恒正或恒負(fù)。14設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明在中必