數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)小結(jié)及典型習(xí)題

1、第四章 圓與方程一、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(或點(diǎn)的軌跡)叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.二、圓的方程：（標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程）（一）標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心，半徑為圓的參數(shù)方程（還未學(xué)習(xí)，暫作了解），為參數(shù)，為參數(shù)1、求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù)法：往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)，例如教材例2利用平面幾何性質(zhì)：往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交。相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線相交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理2、特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無(wú)需記，關(guān)鍵能理解）條件 方程形式圓心在原點(diǎn) 過(guò)原點(diǎn) 圓心在軸上 圓心在軸上 圓心在軸上且過(guò)原點(diǎn) 圓心在軸

2、上且過(guò)原點(diǎn) 與軸相切 與軸相切 與兩坐標(biāo)軸都相切 （二）圓的一般方程：1、圓的一般方程的特點(diǎn)： (1)和的系數(shù)相同，且不等于0 沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng) (2) 求圓的一般方程采用待定系數(shù)法：圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F，只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了如教材例4(3)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。2、表示圓方程，則3、?？捎脕?lái)求有關(guān)參數(shù)的范圍。4、（1）當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為； （2）當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。例：若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范是（ ）。

3、A、 B、 C、 D、（三）注意求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1、判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外2、涉及最值：（1）圓外一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值 （2）圓內(nèi)一點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，討論的最值 、 思考：過(guò)此點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直）例：若點(diǎn)(1，1)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）。 A. 1a1 B. 0a1 C.a1

4、D.a=1四、直線與圓的位置關(guān)系的判定及弦長(zhǎng)公式：（一）直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，判斷方法如下：1、設(shè)直線，圓，圓心到直線l的距離為，則有直線與圓相離；直線與圓相切； 直線與圓相交；這一知識(shí)點(diǎn)可以出題：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍.2、設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。（二）直線與圓相切1、知識(shí)要點(diǎn)基本圖形主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長(zhǎng)等問(wèn)題：直線與圓相切意味著什么？圓心到直線的距離恰好等于半徑2、常見(jiàn)題型求過(guò)定點(diǎn)的切線方程

5、（1）切線條數(shù)：點(diǎn)在圓外3條；點(diǎn)在圓上1條；點(diǎn)在圓內(nèi)無(wú)（2）求切線方程的方法及注意點(diǎn)i）點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)，圓：，第一步：設(shè)切線方程第二步：通過(guò)，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對(duì)存在有效，當(dāng)不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上千萬(wàn)不要漏了！ii）點(diǎn)在圓上1） 若點(diǎn)在圓上，則切線方程為會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用，但一定要看清題目.2） 若點(diǎn)在圓上，則切線方程為碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運(yùn)用上述結(jié)果.由上述分析，我們知道：過(guò)一定點(diǎn)求某圓的切線方程，非常重要的第一步就是判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得出切線的條數(shù)。如：1、過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程。（答案：和）2、經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為

6、 3、經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，8)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為 4、經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為 （3）求切線長(zhǎng)：利用基本圖形，求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程（三）直線與圓相交1、求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題：垂徑定理及勾股定理很常用弦長(zhǎng)公式：（暫作了解，無(wú)需掌握）2、判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi).3、關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題如：1、若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_.答案：2、已知直線：3x +4y12=0與圓C：C：(x3)2 + (y2)2=4.請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嘀本€與圓C的位置關(guān)系;若直線與圓C相交，請(qǐng)求出直線被圓C截得的

7、弦長(zhǎng)。解法1：（代數(shù)法） 解法2：（幾何法）總結(jié)：(1)代數(shù)法：設(shè)直線與圓的方程連立方程組，消元后所得一元二次方程為，其兩個(gè)不等實(shí)根為，.則其兩點(diǎn)弦長(zhǎng)為|AB|=。 (2)幾何法；設(shè)直線：Ax+By+C=0，圓C：，圓心C(a，b)到直線的距離=，弦長(zhǎng)|AB|=2。3、圓的上點(diǎn)到直線x+y14=0的最大距離和最小距離為 和 。最大距離和最小距離的差為 五、圓與圓的位置關(guān)系：1、判定方法：常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓C1：(xa1)2+(yb1)2=r 2，C2：(xa2)2+(yb2)2=R 2 (設(shè)Rr)當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心

8、線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連接圓心與切點(diǎn)或者連圓心與弦中點(diǎn)如：已知圓C1：和圓C2：，試判斷圓和位置關(guān)系，若相交，試求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。2、兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說(shuō)明：若與相切，則表示其中一條公切線方程；若與相離，則表示連心線的中垂線方程.兩個(gè)圓相交的公共弦長(zhǎng)及公共弦所在的直線方程的求法例：已知圓C1：和圓：，試判斷圓和位置

9、關(guān)系，若相交，則設(shè)其交點(diǎn)為A、B，試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長(zhǎng)。3、圓系問(wèn)題（1）過(guò)兩圓：和：交點(diǎn)的圓系方程為（）說(shuō)明：上述圓系不包括；當(dāng)時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）（2）過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為數(shù)學(xué)思想方法簡(jiǎn)介方程思想與坐標(biāo)法直線方程Ax+By+C=0與圓的方程有三個(gè)方面的應(yīng)用：（1）通過(guò)研究直線與圓或圓與圓的方程聯(lián)立所得的方程組的解的情況來(lái)確定直線與圓之間的交點(diǎn)情況，從而判定直線與圓的之間位置關(guān)系，圓與圓之間位置關(guān)系及求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。（2）通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離=，并比較d與半徑r的大小解決圓與直線的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題?；驁A心距與圓半徑的和或差大小的比

10、較，解決圓與圓之間的性質(zhì)問(wèn)題。(3) 利用已知方程，任給一個(gè)坐標(biāo)x的值，就可以求另一個(gè)坐標(biāo)y的值解決實(shí)際問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)：(1) 過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓截得弦AB長(zhǎng)為 (2) 已知一圓上的兩點(diǎn)A(2，3)、B(2，5)，且圓心C在直線x2y3=0上，求此圓C的方程.(3) 求以點(diǎn)M(2，1)為圓心且與直線3x4y+5=0相切的圓M的方程.(4) 求圓心在直線3xy=0上，與x軸相切，且被直線xy=0截得弦長(zhǎng)為2的圓C的方程。(5) 已知過(guò)點(diǎn)M(3，3)的直線被圓C：截得弦長(zhǎng)為4，求直線的方程。(6) 求圓心在直線xy4=0上，并且經(jīng)過(guò)圓和圓的交點(diǎn)的圓C方程。(7) 求過(guò)點(diǎn)M(3，1)，且與

11、圓C：相切于N(1，2)的圓C方程.(8) 求圓心在直線2x+y=0上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，與直線x+y=1相切的圓方程.(9) 已知圓C與圓：相外切，并且與直線：x+y=0相切于點(diǎn)P(3，)的圓C的方程.(10) 已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和B(3，4)，線段的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C、D，且|CD|=4.(1)求直線CD的方程。(2)求圓P的方程。(11) 一條光線從點(diǎn)A(2，3)射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，求反射后的光線所在直線的方程。(12) 一條光線從點(diǎn)A(1，1)射出，經(jīng)x軸反射后，照射到圓C：的一點(diǎn)上，求這條光線由A點(diǎn)入射、反射到圓上的最短路程。六、空間直角坐標(biāo)系

12、：1、空間直角坐標(biāo)系：從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條 且有 單位長(zhǎng)度的數(shù)軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標(biāo)系叫做空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)O叫做 ，x軸、y軸、z軸叫做 。在畫(huà)空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí)，一般使xOy=135，yOz=90。2、坐標(biāo)平面：通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做 ，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面。3、在空間直角坐標(biāo)系中，空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)M在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x，y，z)，其中x叫做 坐標(biāo)，y叫做 坐標(biāo)，z叫做 坐標(biāo). 4、右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，讓

13、右手大拇指指向?yàn)閤軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。注意：(1)在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz上非原點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？(2)在空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸上非原點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？5、空間兩點(diǎn)間的距離公式:（1）空間中任意一點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離公式：（2）在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，設(shè)點(diǎn)P(x，y，z)、，則：點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離|OP|= A與B兩點(diǎn)間距離公式|AB|=點(diǎn)A與B的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：專題例題與練習(xí)：例1. 在空間直角坐標(biāo)系中，到點(diǎn)M(3，1，2)，N(0，2，1)距離相等且在y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)例2. 與

14、點(diǎn)P(1,3,5)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是( )A、(1，3，5) B、(1，3，5) C、(1，3，5) D、(1，3，5)例3. 已知空間兩點(diǎn)M(2，3，6)，N(m，3，2n)關(guān)于xOy平面對(duì)稱，則m+n=_例4. 如圖右側(cè)，已知正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為a，|BM|=|2MD|，點(diǎn)N在AC上，且|AN|3|NC|，試求MN的長(zhǎng)練習(xí)1若已知點(diǎn)A(1,1,1)，B(3，3，3)，則線段AB的長(zhǎng)為()A4 B2 C4 D3例4圖2在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(5，2,3)到x軸的距離為()A5 B. C. D.3在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x，y，z)滿足方程(x2)2(y1)2(z3)23，則

15、點(diǎn)P的軌跡是()A直線 B圓 C球面 D線段4已知點(diǎn)A(3，1，4)，B(5，3，6)，則點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)5以正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，且正方體的棱長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，則棱CC1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(，1，1). B.(1，1). C. (1，1，). D. (，1).6空間直角坐標(biāo)系中，x軸上到點(diǎn)P(4,1,2)的距離為的點(diǎn)有()A2個(gè) B1個(gè) C0個(gè) D無(wú)數(shù)個(gè)7已知A(1，2,11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B銳角三角形 C直角三角形 D鈍角三角形8在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是()A. B. C. D.七、求最值問(wèn)題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.已知實(shí)數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；看作斜率；（2）的最小值；截距（線性規(guī)劃）（3）的最大值和最小值.兩點(diǎn)間的距離的平方2.已知中，點(diǎn)是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以，為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可?。?.設(shè)為圓上的任一點(diǎn)，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 答案：（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可?。┌?、相關(guān)應(yīng)用1.若直線（，），始