數(shù)列綜合問題

1、數(shù)列綜合問題一、教材分析:、地位與作用數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要的地位. 考綱要求:“理解數(shù)列的概念, 了解通項公式的意義, 了解遞推公式, 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式, 并能解決簡單的問題.” 教材中數(shù)列編排在函數(shù)內(nèi)容之后, 因為數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊函數(shù), 這樣安排既有利于認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì), 也有利于加深和鞏固對函數(shù)概念的理解. 數(shù)列綜合問題以數(shù)列為引線和依托, 結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識, 題型新穎, 解法靈活, 能有效地考查學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識和實踐能力.、重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵根據(jù)高考考試說明的要求，結(jié)合對歷屆

2、高考試題的分析, 本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是: 利用數(shù)列的通項公式與前項和等有關(guān)知識為主要工具求解數(shù)列綜合問題. 而與數(shù)列交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題, 特別是與不等式的綜合是教學(xué)的難點(diǎn). 從教學(xué)實踐來看, 學(xué)生對數(shù)列綜合題存在畏難情緒, 總覺得難以掌握, 因此教學(xué)的關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題來求解, 同時注意培養(yǎng)學(xué)生的良好的個性品質(zhì), 特別是排除萬難的精神.二、高考回顧“在知識的交匯點(diǎn)設(shè)置能力型問題”是指導(dǎo)高考命題的思想之一. 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的一個重要的交匯點(diǎn). 數(shù)列綜合題在每年高考中都會重點(diǎn)考查. 下面列表對近兩年高考試題作分類統(tǒng)計, 統(tǒng)計如下表: 2004年

3、2005年全國1分奇、偶項的遞推數(shù)列的通項等比數(shù)列的公比與前項和全國2通項與前項和、等比數(shù)列的判定等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國3數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國4導(dǎo)數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限 北京抽象函數(shù)、數(shù)列通項與極限等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限上海點(diǎn)列、等差數(shù)列、探索性問題涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題天津函數(shù)迭代、數(shù)列的通項與極限數(shù)列的求和、數(shù)列的極限重慶數(shù)列不等式、數(shù)列項大小比較數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列不等式遼寧函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明山東 同全國卷1導(dǎo)數(shù)、等比數(shù)列的判定江蘇數(shù)列前項的和、探索性問題數(shù)列不等式的證明浙江點(diǎn)列問題、等比數(shù)列的判定點(diǎn)列問題、等差數(shù)列的判

4、定福建涉及兩個數(shù)列的應(yīng)用性問題遞推公式、數(shù)列不等式湖北遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限湖南解析幾何、遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用探索性問題、數(shù)列不等式廣東三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題 無江西 同全國卷1數(shù)列通項、數(shù)列不等式的證明從上表可以看出, 2004年的15份理科試題中, 每套試題均有一道解答題. 其中處在壓卷題位置的有8道; 2005年的16份理科試題中, 除廣東卷外每套試題均有一套解答題, 其中處在壓卷題位置的有5道. 由此不難得知, 數(shù)列解答題是高考命題必考的難度大的內(nèi)容, 其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題, 其中, 以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點(diǎn)列為命題

5、載體, 有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個新的亮點(diǎn).三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強(qiáng)、區(qū)分度高, 因此大多數(shù)同學(xué)解此類問題時思維常常受阻, 甚至無從下手, 下面我結(jié)合近幾年的高考題, 就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作一點(diǎn)探討:1、數(shù)列各部分知識的綜合例1. 已知數(shù)列為等差數(shù)列(公差), 中的部分項組成的數(shù)列為等比數(shù)列, 其中, 求的值.解析: 由題意得, 即, . 在等比數(shù)列中, 公比又 又是等差數(shù)列的第項, = 求解策略 解純數(shù)列綜合題, 要充分利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.本題的關(guān)鍵是注意到的雙重身份既是等比數(shù)列的第項, 又是等差數(shù)列的第

6、項, 先求出通項, 再求出其前項的和.2、數(shù)列與函數(shù)的綜合例2. 已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的, 都滿足 若.求證: 數(shù)列是等比數(shù)列.分析一: 由于已知條件只有抽象函數(shù)關(guān)系式和的表達(dá)式, 要求證數(shù)列是等比數(shù)列, 最關(guān)鍵是求出, 可以嘗試數(shù)學(xué)歸納法.證法一: 由已知可得: 猜想: 用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).分析二: 將所給函數(shù)關(guān)系式適當(dāng)變形, 根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造另一個函數(shù), 設(shè)法用此函數(shù)求出.證法二: 當(dāng)時, 由可得: ,令 上式為: 分析三: 設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三: 所以, 即是公差為 首項為的等差數(shù)列.求解策略 解數(shù)列與函數(shù)的綜合題, 一般要利用函數(shù)、數(shù)列的性

7、質(zhì)以及它們之間的相互聯(lián)系. 本題是一道已知抽象函數(shù)關(guān)系, 利用函數(shù)迭代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題. 所提供的三種證法中, 證法一思路自然, 但較為繁瑣; 證法二技巧性強(qiáng); 證法三思維跨度大, 但三種證法都體現(xiàn)了一個不變的事實: 充分應(yīng)用已知條件變形轉(zhuǎn)化, 根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造新的數(shù)列, 然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解.3、數(shù)列與不等式的綜合例3. (2004年重慶卷)設(shè)數(shù)列滿足對一切正整數(shù)成立； (1) 法一: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 即時, 成立.綜上, 可知對一切正整數(shù)成立.法二: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 由函數(shù)的單調(diào)性和歸納

8、假設(shè)有.因此只需證: , 即證只需, 顯然成立.即時, 結(jié)論成立. 因此, 對一切正整數(shù)成立.法三: 由遞推公式得, , ,將上述各式相加并化簡得 ()又時, 顯然成立. 所以對一切正整數(shù)成立.(2)解法一: 解法二: 又 求解策略 證明數(shù)列不等式問題, 一般可采用數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合法、比較法、放縮法等方法來證明. 有時要綜合使用其中的幾種方法.(1) 中的證法一、證法二都利用了數(shù)學(xué)歸納法, 證法一、證法三都將目標(biāo)定為證明, 去掉了根式, 利用放縮法得證; 證法二, 看到遞推關(guān)系與函數(shù)的關(guān)系, 利用函數(shù)單調(diào)性和分析法得證. 證法三利用迭加法, 變更了遞推關(guān)系, 這是對遞推公式常用的變形方

9、式之一. (2)中利用比較法, 方法一是作商法, 方法二并不是直接作差, 而是利用平方差, 消除了根式, 簡化了運(yùn)算, 在不等式的證明中, 觀察式子的結(jié)構(gòu)特征合理地進(jìn)行放縮, 是成功的關(guān)鍵.4、數(shù)列與解析幾何的綜合例4.(2004浙江)如圖, 的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設(shè)為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),對于每一個正整數(shù),為線段的中點(diǎn),令的坐標(biāo)為,.(1) 求 (2)證明(3)若記 證明是等比數(shù)列.解析: (1) 又由題意可知 為常數(shù)列. 即(2) 將等式兩邊除以2, 得 又 (3)又 是公比為的等比數(shù)列.求解策略 數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標(biāo)為載體, 以

10、數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關(guān)知識聯(lián)系在一起.該類問題往往以曲線上的點(diǎn)的無限運(yùn)動為背景, 解決問題的關(guān)鍵是尋求點(diǎn)的坐標(biāo)間的相互聯(lián)系, 得到遞推關(guān)系, 再運(yùn)用數(shù)列知識進(jìn)行求解.5、數(shù)列應(yīng)用問題(2001年全國卷)從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā), 某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè), 并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃, 本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元, 由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用, 預(yù)計今后的旅游業(yè)每年會比上年增加(1) 設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元, 旅游總收入為萬元, 寫出的通項公式;(2) 至少經(jīng)過幾年, 旅游業(yè)的總收入才能超

11、過總投入?解析: (1)第1年投入800萬元, 第2年投入800萬元,第年投入萬元，所以年內(nèi)的總投入為 旅游業(yè)第1年收入400萬元, 第2年收入400(1+)萬元,第年收入萬元, 所以年內(nèi)的總收入為 (3) 設(shè)至少經(jīng)過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入, 由 即化簡得 設(shè)代入, 得解得(舍), 即, 即從而至少經(jīng)過5年旅游業(yè)總收入才能超過總投入.求解策略 解數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題(等差、等比數(shù)列、遞推關(guān)系模型), 然后利用相關(guān)知識求解. 解題時首先要讀懂題目, 理解題意, 對陌生的背景、文字?jǐn)⑹霰容^長的題目, 要充滿信心, 從問題中盡可能多地獲取信息, 大膽聯(lián)想, 合理轉(zhuǎn)化為我

12、們熟悉的問題.總之, 數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識點(diǎn)的交匯, 因此要加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用, 要有意識的運(yùn)用函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想來探求解題思路，同時要鼓勵合理的猜想、要重視數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用.四、教法分析新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出, 教學(xué)過程也是學(xué)生的認(rèn)識過程, 學(xué)生在教學(xué)活動中始終處于主體地位, 教師則應(yīng)成為學(xué)習(xí)活動的促進(jìn)者, 而非單純的知識傳授者, 其基本任務(wù)也就在于促進(jìn)和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律, 我采用: 問題探究式、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)式等方法進(jìn)行教學(xué), 同時采用討論式組織課堂教學(xué). 在教學(xué)中我都是先提出問題, 讓學(xué)生觀察分析、自主探索

13、、歸納總結(jié), 從而真正使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考, 仔細(xì)觀察, 認(rèn)真分析, 嚴(yán)謹(jǐn)推理的學(xué)習(xí)習(xí)慣, 并提高他們的自學(xué)能力與探索意識.同時鼓勵學(xué)生相互交流，從而促使學(xué)生真正成為自覺投入且積極建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動中的主體.五、評價分析本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計從教學(xué)內(nèi)容的引入、展開、揭示等方面出發(fā), 教給學(xué)生探求知識的方法, 教會學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力. 本節(jié)教學(xué)設(shè)計以發(fā)展學(xué)生的思維能力為中心, 以轉(zhuǎn)化為主線, 注重展示學(xué)生的思維過程, 注重讓學(xué)生參與知識的形成過程, 由特殊到一般, 由易到難, 一環(huán)扣一環(huán), 從而增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 同時以問題為載體, 讓學(xué)生經(jīng)歷主動參與, 積極探求的過程, 讓學(xué)生觀察、歸納、

14、總結(jié)、反思,因而有效的實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo),發(fā)展了學(xué)生的能力.六、教學(xué)過程設(shè)計本節(jié)內(nèi)容共分兩個課時, 數(shù)列各部分知識、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合為第一課時, 數(shù)列與解析幾何的綜合和數(shù)列的應(yīng)用題為第二課時.第一課時共分五個環(huán)節(jié), 具體安排如下:復(fù)習(xí)回顧 教師開門見山點(diǎn)出主題, 并引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).課前熱身 教師給出三個小題, 讓學(xué)生先練習(xí), 教師進(jìn)行行間巡視, 個別輔導(dǎo), 然后請學(xué)生回答, 教師再作補(bǔ)充.范例分析 將復(fù)習(xí)目標(biāo)題型化, 通過三個典型例題, 讓學(xué)生在具體問題中理解知識, 掌握方法, 這樣能使學(xué)生理解更加具體、深刻. 該環(huán)節(jié)先讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主練習(xí), 然后教師采用“焦點(diǎn)訪談”

15、式的教學(xué), 在焦點(diǎn)(難點(diǎn)、疑點(diǎn)、迷點(diǎn)、易錯點(diǎn))啟發(fā)學(xué)生尋找突破口, 通過訪談(請同學(xué)回答), 集中學(xué)生的智慧,讓學(xué)生的思維在關(guān)鍵處閃光, 能力在要害處增長, 缺點(diǎn)在細(xì)微處暴露, 意志在艱難處磨礪. 通過訪談, 實現(xiàn)師生之間、學(xué)生之間智慧和能力互補(bǔ), 并促進(jìn)心靈和感情的溝通. 歸納總結(jié) 提煉本節(jié)課的要點(diǎn), 歸納主要涉及的數(shù)學(xué)思想方法、技巧、規(guī)律. 這一環(huán)節(jié)先讓學(xué)生回答, 然后教師適當(dāng)補(bǔ)充、完善.鞏固練習(xí) 本節(jié)課共布置練習(xí)六個, 其中最后兩題為選作題(為第二節(jié)課作鋪墊).以上是我的想法, 不足之處, 敬請各位專家批評指正.七、附：教案 數(shù)列綜合問題（第一課時）教學(xué)目標(biāo)：1、 知識目標(biāo): 進(jìn)一步鞏固

16、數(shù)列有關(guān)知識, 構(gòu)建數(shù)列、函數(shù)、不等式交互知識體系,探索數(shù)列綜合問題的求解策略.2、 能力目標(biāo): 以發(fā)展思維能力為核心, 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括等能力,培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.3、 情感目標(biāo): 激發(fā)學(xué)生勤于思考、勇于探索的精神, 培養(yǎng)學(xué)生戰(zhàn)勝難題的信心.重點(diǎn)、難點(diǎn):重點(diǎn): 數(shù)列知識的綜合應(yīng)用.難點(diǎn): 以數(shù)列為工具解決與函數(shù)、不等式的綜合問題.教學(xué)過程:(一) 課題引入 開門見山提出課題(二) 知識回顧 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)(三) 課前熱身 (投影)1.(2005年天津卷) 在數(shù)列中, ,則S100= .2. (2005年湖南卷)已知數(shù)列滿足, 則=( )A. 0 B.

17、C. D. 3. 已知數(shù)列中,則在前30項中最大項和最小項分別是( )A. B. C. D.由學(xué)生練習(xí), 教師請學(xué)生分析, 再作補(bǔ)充.(四) 范例分析 (投影)例1. 已知數(shù)列為等差數(shù)列(公差), 中的部分項組成的數(shù)列為等比數(shù)列, 其中, 求的值.解析: 由題意得, 即, . 在等比數(shù)列中, 公比又 又是等差數(shù)列的第項, = 師生共同歸納小結(jié): 例2. 已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù), 且對于任意的, 都滿足 若.求證: 數(shù)列是等比數(shù)列.分析一: 由于已知條件只有函數(shù)關(guān)系式和的表達(dá)式, 要求證數(shù)列是等比數(shù)列, 最關(guān)鍵是求出, 可以嘗試數(shù)學(xué)歸納法.證法一: 由已知可得: 猜想: 用數(shù)學(xué)歸納

18、法證明(略).分析二: 將所給函數(shù)關(guān)系式適當(dāng)變形, 根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造另一個函數(shù), 設(shè)法用此函數(shù)求出.證法二: 當(dāng)時, 由可得: ,令 上式為: 分析三: 設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三: 所以, 即是公差為 首項為的等差數(shù)列.師生共同歸納小結(jié):例3. (2004年重慶卷)設(shè)數(shù)列滿足對一切正整數(shù)成立； 并說明理由.(2) 法一: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 即時, 成立.綜上, 可知對一切正整數(shù)成立.法二: (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時, 不等式成立.假設(shè)時, 成立. 當(dāng)時, 由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設(shè)有.因此只需證: , 即證只需, 顯然成立.即時, 結(jié)論成立. 因此, 對一切正整數(shù)成立.法三: 由遞推