數(shù)學(xué)分析試題庫證明題

1、數(shù)學(xué)分析題庫（1-22章）五證明題1設(shè)A，B為R中的非空數(shù)集，且滿足下述條件：（1）對任何有；（2）對任何，存在，使得.證明：2.設(shè)A，B是非空數(shù)集，記，證明：（1）；（2）3. 按定義證明4.如何用-N方法給出的正面陳述？并驗證|和|是發(fā)散數(shù)列.5.用方法驗證：.6 用方法驗證：.7 . 設(shè)，在某鄰域內(nèi)，又證明.8.設(shè)在點的鄰域內(nèi)有定義.試證：若對任何滿足下述條件的數(shù)列，（1），（2），都有，則.9. 證明函數(shù)在處連續(xù)，但是在處不連續(xù).10.設(shè)在（0，1）內(nèi)有定義，且函數(shù)與在（0，1）內(nèi)是遞增的，試證在（0，1）內(nèi)連續(xù).11. 試證函數(shù)，在上是不一致連續(xù)的.12. 設(shè)函數(shù)在（a,b）內(nèi)連續(xù)，

2、且=0，證明在（a,b）內(nèi)有最大值或最小值.13. 證明：若在有限區(qū)間（a,b）內(nèi)單調(diào)有界函數(shù)是連續(xù)的，則此函數(shù)在（a,b）內(nèi)是一致連續(xù)的.14 . 證明：若在點a處可導(dǎo)，f（x）在點a處可導(dǎo).15. 設(shè)函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)，在a,b上連續(xù)，且導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格遞增，若證明，對一切均有16. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，并且，試證：若當(dāng)時，有則存在唯一的使得，又若把條件減弱為，所述結(jié)論是否成立？17. 證明不等式18.設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，對所有，且，證明必能取到最大值.19. 若函數(shù)在上二階可導(dǎo), 且，則存在使得.20. 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明21. 設(shè)函數(shù) （為實數(shù)），試問：（1）等于何值時，在連續(xù)；（2）等于何值時，在可導(dǎo)

3、； （3）等于何值時，在連續(xù)；22. 設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件，其中都是非負(fù)常數(shù)，是內(nèi)的任一點，證明23. 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，則存在使得24. 若在點的某個領(lǐng)域上有階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),試由泰勒公式的拉格朗日型余項推導(dǎo)佩亞諾型余項公式.25. 用泰勒公式證明:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),則存在,使得.26. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且在上,.證明在上成立.27. 設(shè)是開區(qū)間I上的凸函數(shù),則對任何,在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件,即存在,對任何,成立.28. 設(shè)在 上滿足Lipschitz條件：, 證明在上一致連續(xù).29. 試證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實根。30. 設(shè)函數(shù)

4、在點具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，試證明：31. 設(shè)在上可導(dǎo)，且.求證：存在，使.32. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，且存在個點滿足：求證：存在，使. 33. 設(shè)函數(shù)在點存在左右導(dǎo)數(shù)，試證在點連續(xù).34. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，證明：存在，使得.35應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式：，其中.36.證明:任何有限數(shù)集都沒有聚點.37.設(shè)是一個嚴(yán)格開區(qū)間套,即滿足,且.證明:存在唯一的一點,使得.38.設(shè)為單調(diào)數(shù)列.證明:若存在聚點,則必是唯一的,且為的確界.39.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),證明在上一致連續(xù).40.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù), 證明在上有界.41.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),證明在上有最大值.42.若函數(shù)在閉區(qū)間

5、上連續(xù)且單調(diào)增加,證明為上的增函數(shù).43.函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).證明.44.若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào),證明在上可積.45.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且不恒等于零,證明.46.設(shè)函數(shù)為上以為周期的連續(xù)周期函數(shù).證明對任何實數(shù),恒有.47.若函數(shù)在上連續(xù),且,證明.48.若函數(shù)和在上可積,證明.49.若函數(shù)在上可積,且為偶函數(shù),證明.50.若函數(shù)在上可積,證明函數(shù)在上連續(xù).51.若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且.若為介于與之間的任何實數(shù),則存在,使得.52. 若函數(shù)在上連續(xù),證明函數(shù)在上處處可導(dǎo),且.53.若數(shù)列有,則級數(shù)發(fā)散.54.設(shè)為正項級數(shù),且存在常數(shù),使得對一切,成立.證明級數(shù)收斂.55.設(shè)和為正項級數(shù),且

6、對一切,成立.級數(shù)收斂.證明級數(shù)也收斂.56.設(shè)正項級數(shù)收斂.證明級數(shù)也收斂.試問反之是否成立?57.設(shè),且有界,證明級數(shù)收斂.58.設(shè)級數(shù)收斂.證明級數(shù)也收斂.59.若,且級數(shù)絕對收斂,證明級數(shù)也收斂. 若上述條件中只知道級數(shù)收斂,能推得級數(shù)也收斂嗎?60.設(shè),證明級數(shù)收斂.61. . 證明在內(nèi), .62. 設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零.試證明:級數(shù)在區(qū)間 上一致收斂.63. 幾何級數(shù) 在區(qū)間上一致收斂；但在內(nèi)非一致收斂.64. 設(shè)數(shù)列單調(diào)收斂于零 . 證明 : 級數(shù) 在區(qū)間 上一致收斂.65. 證明級數(shù)在R內(nèi)一致收斂 . 66. 證明函數(shù)滿足微分方程 .67. 設(shè) 證明對存在并求其值.68. 證明：

7、冪級數(shù)的和函數(shù)為,.并求級數(shù)和Leibniz級數(shù)的和.69. 證明：冪級數(shù)的和函數(shù)為 , .并利用該冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)以及數(shù)項級數(shù)的和.70. 證明冪級數(shù)的和函數(shù)為，并利用該冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和.71. 設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù), 又 滿足.求證 的Fourier系數(shù) 滿足72. 設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù), 又設(shè) 是偶函數(shù)，且滿足.求證： 的Fourier系數(shù)73求證函數(shù)系是上的正交函數(shù)系.74設(shè)是以為周期的連續(xù)的偶函數(shù)。又設(shè)關(guān)于對稱，試證：的傅立葉系數(shù)：.75. 設(shè)是以為周期的可微周期函數(shù)，又設(shè)連續(xù)，是的Fourier系數(shù).求證：.76. 證明極限不存在。77. 用極

8、限定義證明： 78. 證明極限不存在.79. 設(shè)在 連續(xù)，證明：對在連續(xù).80. 證明：如果在 連續(xù)，且，則對任意,對一切有81. 證明：在點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在.82. 證明； 在點連續(xù)，且不存在.83. 證明在 點處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在.84. 設(shè) 函數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，若屬于該鄰域，則存在和 ， 使得 。85. 證明： ,在點不可微.86. 證明: 對任意常數(shù), 球面與錐面是正交的.87. 證明: 以為參數(shù)的曲線族是相互正交的(當(dāng)相交時).88. 證明: 由方程所確定的隱函數(shù)滿足,其中二階可導(dǎo).89. 設(shè), 證明90. 證明含參量反常積分在上一致收斂，但在內(nèi)不一致收斂。91. 證明含參

9、量的反常積分為常數(shù)是一致收斂的.92. 證明含參量的反常積分是一致收斂的.93. 若在內(nèi)可積, 證明.94.證明在整個XY平面上是某個函數(shù)的全微分, 并找出這樣一個原函數(shù). 95.設(shè)一力場為 F i +j . 證明質(zhì)點在此力場內(nèi)移動時, 場力所作的功與路徑無關(guān). 96.證明, 其中L是球面 與平面 的交線 ( 它是圓周 ) , 從X軸的正向看去, 此圓周呈逆時針方向.97.證明, 其中L是圓柱面與平面 的交線(它是橢圓 ) , 從X軸的正向看去, 此橢圓周呈逆時針方向.98.證明=,其中L是圓柱面與平面( )的交線( 它是橢圓 ) , 從X軸的正向看去 , 此橢圓周呈逆時針方向.99.證明：若為有界閉區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且在D上不恒為零，則. 100.證明二重積分=，其中.101.設(shè)是上的正值連續(xù),則.102.設(shè)在