數(shù)學(xué)分析試題及答案4

1、（十四） 數(shù)學(xué)分析考試題一 填空（共15分，每題5分）：1 設(shè) 1 , 0 ;2 設(shè)； 3 設(shè)在 1 ， 0 。二 計(jì)算下列極限：（共20分，每題5分） 1 ;解: 由于又故 2 ；解: 由stolz定理, 3 ；解: 4 。解: 三 計(jì)算導(dǎo)數(shù)（共15分，每題5分）： 1 解: 2解: 3 設(shè)解: 由Leibniz公式 四 （12分）設(shè)，滿足：證明：收斂，并求解: （1） 證明：易見(jiàn)， 從而有： ， 故單調(diào)減少，且有下界。所以收斂。 （2）求： 設(shè)，由（1）知：。 在兩邊同時(shí)取極限得 解之得，即。五 （10分）求橢圓處方程。解: 在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得：故從而，所以橢圓處方程為，即六（10分）利

2、用Cauchy收斂原理證明：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必收斂。證明：設(shè)單調(diào)有界，不妨設(shè)單調(diào)增加。 假定不收斂，則由Cauchy收斂原理，存在常數(shù)，于是 令存在 ，再令存在 ，一般地令存在 ，這樣得到的一個(gè)子列：滿足：。從而有，由此式遞推可知： 因而無(wú)界，與條件矛盾，故收斂。七（8分）設(shè)1 2 證明：1. 由條件知， 故：， ， 可見(jiàn) 2. ,故八（10分）設(shè)為實(shí)常數(shù)，證明：證明：令 則故由Rolle中值定理，即 故（十五）數(shù)學(xué)分析2考試題一、 單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最恰當(dāng)?shù)拇鸢柑钊肜ㄌ?hào)內(nèi)，每小題2分，共20分）1、 函數(shù)在 a,b 上可積，那么（ ）A在a,b上有界 B在a,b上連續(xù)C在a

3、,b上單調(diào) D在a,b上只有一個(gè)間斷點(diǎn)2、函數(shù)在 a,b 上連續(xù)，則在a,b上有（ ）A BC D3、 在a，+上恒有，則（ ）A收斂也收斂 B發(fā)散也發(fā)散C和同斂散 D 無(wú)法判斷4、級(jí)數(shù)收斂是（ ）對(duì)p=1,2，A 充分條件 B必要條件 C充分必要條件 D 無(wú)關(guān)條件5、若級(jí)數(shù)收斂，則必有（ ）A B C D6、在a，b一致收斂，且an(x)可導(dǎo)（n=1,2），那么（ ）A f（x）在a，b可導(dǎo)，且B f（x）在a，b可導(dǎo)，但不一定等于C點(diǎn)點(diǎn)收斂，但不一定一致收斂D不一定點(diǎn)點(diǎn)收斂7、下列命題正確的是（ ）A在a，b絕對(duì)收斂必一致收斂B在a，b 一致收斂必絕對(duì)收斂C在a，b 條件收斂必收斂D若，則

4、在a，b必絕對(duì)收斂8、的收斂域?yàn)椋?）A (-1,1) B (-1,1 C -1,1 D -1,1）9、下列命題正確的是（ ）A 重極限存在，累次極限也存在并相等B累次極限存在，重極限也存在但不一定相等C重極限不存在，累次極限也不存在D 重極限存在，累次極限也可能不存在10、函數(shù)f(x,y)在（x0,y0）可偏導(dǎo)，則（ ）A f(x,y)在（x0,y0）可微 B f(x,y)在（x0,y0）連續(xù)C f(x,y)在（x0,y0）在任何方向的方向?qū)?shù)均存在 D 以上全不對(duì)二、計(jì)算題：（每小題6分，共30分）1、2、計(jì)算由曲線和圍成的面積3、求極限4、 已知，求5、 計(jì)算的收斂半徑和收斂域三、討論判

5、斷題（每小題10分，共30分）1、討論的斂散性2、 判斷的斂散性3、 判斷的一致收斂性四、證明題（每小題10分，共20分）1、設(shè)f(x)是以T為周期的函數(shù)，且在0，T上可積，證明2、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂參考答案一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D二、1、由于在0，1可積，由定積分的定義知（2分）（4分）2、 、兩曲線的交點(diǎn)為（0，0），（1，1）（2分）所求的面積為：（4分）3、解：由于有界，（2分）=（3分）=2（1分）4、解：=（3分）=（3分）5、解：，r=2（3分）由于x=-2，x=2時(shí)，級(jí)數(shù)均不收斂，所以收斂域?yàn)椋?2，2）（3分）三、1、解、因?yàn)楸环e函數(shù)可能在x=0和x=1處無(wú)界，所以將其分為=+（2分）考慮奇點(diǎn)x=0應(yīng)要求p-1<1；奇點(diǎn)x=1應(yīng)要求p+q<1；（4分）當(dāng)時(shí)，由于，知2p+q-1>1時(shí)積分收斂（2分）所以反常積分滿足p<2且2(1-p)<q<1-p收斂，其余發(fā)散（2分）2、解：由于（6分），又發(fā)散（2分）所以原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分）3、解：（6分），由weierstrass判別法原級(jí)數(shù)一致收斂性（4分）