數(shù)字信號(hào)處理第3章答案史林 趙樹杰編著

1、第三章作業(yè)題 答案作業(yè)：%3.2設(shè)是序列的離散時(shí)間傅里葉變換，利用離散時(shí)間傅里葉變換的定義及性質(zhì)，求下列各序列的離散時(shí)間傅里葉變換。（4）解：利用DFT的定義進(jìn)行求解。（這是一種錯(cuò)誤的解法，正確的如下所示。）（注意，此處n為奇數(shù)的項(xiàng)為零。）%3.3試求以下各序列的離散時(shí)間傅里葉變換。解：利用DTFT的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解。%3.4設(shè)是一有限長序列，已知它的離散時(shí)間傅里葉變換為。不具體計(jì)算，試直接確定下列表達(dá)式的值。（3）解：不計(jì)算，解法如下：令n=0，則：因此,%3.11證明:（1）若序列是實(shí)偶函數(shù)，則其離散時(shí)間傅里葉變換是的實(shí)偶函數(shù)。（2）若序列是實(shí)奇函數(shù)，則其離散時(shí)間傅里葉變換是純虛數(shù)，且是

2、的奇函數(shù)。解：此題求解需要利用DTFT的性質(zhì)和首先，（1）當(dāng)為實(shí)偶序列時(shí)：根據(jù)DTFT的性質(zhì)，可知：因此：因此，為的偶函數(shù)。此外，DTFT性質(zhì)，因此，為實(shí)函數(shù)。綜上，為的實(shí)偶函數(shù)。（2）利用同樣的性質(zhì)可以證明若序列是實(shí)奇函數(shù)，則其離散時(shí)間傅里葉變換是純虛數(shù)，且是的奇函數(shù)。%3.16若序列是因果序列，已知其離散時(shí)間傅里葉變換的實(shí)部為求序列及其離散時(shí)間傅里葉變換。解：此處的條件為：是因果序列。因此此題的求解必然使用因果序列的對(duì)稱性。注意：此處并沒有提及為實(shí)序列，因此，此題需加如條件為實(shí)序列。注意，在常見序列DTFT中，。根據(jù)位移特性，。因此，因此可得：%3.17若序列是實(shí)因果序列，已知其離散時(shí)間傅

3、里葉變換的虛部為求序列及其離散時(shí)間傅里葉變換。解：%3.21 試計(jì)算下列各序列的z變換和相應(yīng)的收斂域，并畫出各自相應(yīng)的零極點(diǎn)分布圖。（5）解：其中，零點(diǎn)為；極點(diǎn)為：，。以，為例，則，。%3.22 試計(jì)算下列各序列的Z變換及其收斂域。（7）解：此處注意： 左邊序列。Z變換的性質(zhì)：因此：%3.28 已知序列的Z變換為：（1） 試確定所有可能的收斂域；（2） 求（1）中所有不同收斂域時(shí)所對(duì)應(yīng)的序列。解：（1）極點(diǎn)有兩個(gè)：，因此收斂域有三種可能：，（2）%3.43 設(shè)兩個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程和初始條件分別為：（1）（2）若輸入序列，分別求兩個(gè)系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：即本章3.5.4的內(nèi)容。全響應(yīng)有穩(wěn)態(tài)相

4、應(yīng)和暫態(tài)相應(yīng)構(gòu)成。由上式可知，求解的單邊Z變換，則：因此，對(duì)于有：（1），在此情況下，有：令，則由于輸入，因此。（2）輸入，因此。%3.44討論一個(gè)具有下列系統(tǒng)函數(shù)的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)（1） 令系統(tǒng)因果穩(wěn)定的a值范圍是多少？（2） 如果0a1畫出的零極點(diǎn)分布圖，并標(biāo)出收斂域；（3） 在z平面上用圖解法證明系統(tǒng)是一個(gè)全通系統(tǒng)，及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為以常數(shù)。解：（1），其中，極點(diǎn)為，零點(diǎn)為。因果系統(tǒng)其系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布在某個(gè)圓內(nèi)，收斂域是這個(gè)圓的外部。穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓，而收斂域中沒有極點(diǎn)。因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)一定分布在單位圓內(nèi)。因此，的范圍為：。（2）以為例，則零極點(diǎn)分布為：（3）公用，且，因此。%3.45若序列是因果序列，其離散時(shí)間傅里葉變換的實(shí)部為求序列及其離散時(shí)間傅里葉變換。解： T實(shí)部對(duì)應(yīng)的偶對(duì)稱序列對(duì)上式求解的反變換，即，