數(shù)學一試題分析詳解和評注數(shù)一至數(shù)四真題詳解

1、2004年數(shù)學一試題分析、詳解和評注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 .【分析】 本題為基礎題型，相當于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導數(shù)為1可確定切點的坐標?！驹斀狻?由，得x=1, 可見切點為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評注】 本題也可先設切點為，曲線y=lnx過此切點的導數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .本題比較簡單，類似例題在一般教科書上均可找到.（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有 ， 即 積分得 .

2、利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)= .【評注】 本題屬基礎題型，已知導函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。完全類似的例題見數(shù)學復習指南P89第8題, P90第11題.（3）設為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標將曲線用參數(shù)方程表示，相應曲線積分可化為定積分?！驹斀狻?正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =【評注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定積分計算即可.完全類似例題見數(shù)學題型集粹與練習題集P143例10.11，考研數(shù)學大串講P122例5、例7 . （4）歐拉方程的通解為 .

3、【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可?！驹斀狻?令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評注】 本題屬基礎題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 完全類似的例題見數(shù)學復習指南P171例6.19, 數(shù)學題型集粹與練習題集P342第六題.，考研數(shù)學大串講P75例12. （5）設矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為【評注】 先化簡再計算是此類問題求解的特點，而題設含有伴隨矩陣，一般均

4、應先利用公式進行化簡。完全類似例題見數(shù)學最后沖刺P107例2，P118例9 （6）設隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】 已知連續(xù)型隨機變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉化為定積分計算即可?！驹斀狻?由題設，知，于是 = =【評注】 本題應記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應在考試時再去推算。完全類似例題見數(shù)學一臨考演習P35第5題.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）把時的無窮小量，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C

5、) . (D) . B 【分析】 先兩兩進行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項，又 =，可見是比低階的無窮小量，故應選(B).【評注】 本題是無窮小量的比較問題，也可先將分別與進行比較，再確定相互的高低次序.完全類似例題見數(shù)學一臨考演習P28第9題.（8）設函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內單調增加. （B）f(x)在內單調減少.(C) 對任意的有f(x)f(0) . (D) 對任意的有f(x)f(0) . C 【分析】 函數(shù)f(x)只在一點的導數(shù)大于零，一般不能推導出單調性，因此可排除(A),(B)選項，再利用導數(shù)的定義及極限的保號性進行分析

6、即可?！驹斀狻?由導數(shù)的定義，知 ，根據保號性，知存在，當時，有 即當時，f(x)f(0). 故應選(C).【評注】 題設函數(shù)一點可導，一般均應聯(lián)想到用導數(shù)的定義進行討論。完全類似例題見數(shù)學一臨考演習P28第10題.（9）設為正項級數(shù)，下列結論中正確的是 (A) 若=0，則級數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(C) 若級數(shù)收斂，則. (D) 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往可用反例通過排除法找到正確選項.【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級數(shù)收斂，但，排除(C), 故應選(B).【評注】 本題

7、也可用比較判別法的極限形式， ，而級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)也發(fā)散，故應選(B).完全類似的例題見數(shù)學復習指南P213例8.13.（10）設f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導，再代入t=2求即可。關鍵是求導前應先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應選(B).【評注】 在應用變限的積分對變量x求導時，應注意被積函數(shù)中不能含有變量x: 否則，應先通過恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x換到積分號外或積分線上。完全類似例題見數(shù)學最后沖刺P184例

8、12，先交換積分次序再求導.（11）設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質，對A作兩次初等列變換，相當于右乘兩個相應的初等矩陣，而Q即為此兩個初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設，有 ， ，于是， 可見，應選(D).【評注】 涉及到初等變換的問題，應掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質以及與初等變換的關系。完全類似例題見數(shù)學題型集粹與練習題集P196例2.2（12）設A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關，B

9、的行向量組線性相關. (B) A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關. (C) A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關. (D) A的行向量組線性相關，B的列向量組線性相關. A 【分析】A,B的行列向量組是否線性相關，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進行分析討論.【詳解1】 設A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)0,r(B)0. 可見r(A)n, r(B)e時， 所以單調減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設，則 ， ,所以當xe時， 故單調減少，從而當時， ，即當時，單調增加.因此當時，即 ，故 .【評注】 本題

10、也可設輔助函數(shù)為或，再用單調性進行證明即可。 完全類似的例題見數(shù)學復習指南P347例13.31及P344的解題提示, 考研數(shù)學大串講P65例13. （16）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.【分析】 本題是標準的牛頓第二定理的應用，列出關系式后再解微分方程即可?！驹斀?】 由題設，飛機的

11、質量m=9000kg，著陸時的水平速度. 從飛機接觸跑道開始記時，設t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當時， 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】 根據牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機滑行的最長距離為 或由，知，故最長距離為當時，【詳解3】 根據牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當時，所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【評注】 本題求飛機滑行的最長距離，可理解為或的極限值，這種條件應引起注意.完全類似的例題見數(shù)學最后沖刺

12、P98-99例10-11.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分 其中是曲面的上側.【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應用高斯公式求解，而在添加的曲面上應用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 【評注】 本題選擇時應注意其側與圍成封閉曲面后同為外側（或內側），再就是在上直接投影積分時，應注意符號(取下側，與z軸正向相反，所以取負號).完全類似的例題見數(shù)學復習指南P325例12.21，數(shù)學題型集粹與練習題集P148例10.17（2）, 數(shù)學一臨考演習P38第19題.（18）（本題滿分11分）設

13、有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當時，級數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調性證明惟一性。而正項級數(shù)的斂散性可用比較法判定?！咀C】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實數(shù)根當x0時，可見在上單調增加, 故方程存在惟一正實數(shù)根由與知 ，故當時，.而正項級數(shù)收斂，所以當時，級數(shù)收斂. 【評注】 本題綜合考查了介值定理和無窮級數(shù)的斂散性，題型設計比較新穎，但難度并不大，只要基本概念清楚，應該可以輕松求證。完全類似例題見數(shù)學題型集粹與練習題集P91例6.15(有關根的存在性與惟一性證明), 收斂性證明用比較法很簡單.（19）（本題滿分12分）設z=z(x

14、,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.【分析】 可能極值點是兩個一階偏導數(shù)為零的點，先求出一階偏導，再令其為零確定極值點即可，然后用二階偏導確定是極大值還是極小值，并求出相應的極值.【詳解】 因為 ，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(9,3)是z(x,y)的極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(-9, -3)是z(x,y)的極大值點，極大值為z(-9, -3)= -3.【評注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關鍵是求可能極值點時應注意x,y,z滿足原方程。完全類似的例題見數(shù)學復習指南P277例10.31.

15、（20）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進而判斷是否有非零解；或直接計算系數(shù)矩陣的行列式，根據題設行列式的值必為零，由此對參數(shù)a的可能取值進行討論即可?！驹斀?】 對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當a=0時， r(A)=1n，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當時，對矩陣B作初等行變換，有 可知時，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎解系為 ，于是方

16、程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當，即a=0或時，方程組有非零解.當a=0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評注】 矩陣A的行列式也可這樣計算：=+，矩陣的特征值為，從而A的特征值為a,a, 故行列式 類似例題見數(shù)學題型集粹與練習題集P228例4.4和P234例4.12.（21）（本題滿分9分） 設矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對

17、角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據其二重根是否有兩個線性無關的特征向量，確定A是否可相似對角化即可.【詳解】 A的特征多項式為 =當是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當a= -2時，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對應的線性無關的特征向量有兩個，從而A可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而18+3a=16，解得 當時，A的特征值為2，4，4，矩陣4E-A=秩為2，故對應的線性無關的特征向量只有一個，從而A不可相似對角化。【評注】 n階矩陣A可對角化的充要條件是：對于A的任意重特征根，恒有 而單根一定只有一個線性無關的特征向量。原題見考研數(shù)學大

18、串講P224例20.，完全類似的例題還可參見數(shù)學復習指南P462例5.12及解題提示.(22)（本題滿分9分）設A,B為隨機事件，且，令 求：（I）二維隨機變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關系數(shù)【分析】 先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個可能取值點上的概率，而這可利用隨機事件的運算性質得到，即得二維隨機變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進而可計算出相關系數(shù)?！驹斀狻?（I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 (II) X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 【評注】 本題盡管難度不大，但考察的知識點很多，綜合性較強。通過隨機事件定義隨機變量或通過隨機變量定義隨機事件，可以比較好地將概率論的知識前后連貫起來，這種命題方式值得注意。原題見考研數(shù)學大串講P274例3.（23）（本題滿