時(shí)鐘問題詳細(xì)講解

1、時(shí)鐘問題詳細(xì)講解我只是在論壇看到相關(guān)內(nèi)容，并加以整理：一、重合問題1、鐘表指針重疊問題中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？（2006國(guó)家考題）A、10 B、11 C、12 D、13 答案B2、中午12點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午1點(diǎn)時(shí)，兩針重合多少次？A、60 B、59 C、61 D、62 答案B講講第2題，如果第2題弄懂了第1題也就懂了！給大家介紹我認(rèn)為網(wǎng)友比較經(jīng)典的解法：考友1.其實(shí)這個(gè)題目就是追擊問題，我們現(xiàn)在以鐘表上的每一刻度為一個(gè)單位，這時(shí)秒針的速度就是是分針?biāo)俣鹊?0倍，秒針和分針一起從12點(diǎn)的刻度開始走，多久分針追上時(shí)針呢？我們列個(gè)方程

2、就可以了，設(shè)分針的速度為1格/秒，那么秒針的速度就是60格/秒，設(shè)追上的時(shí)候路程是S，時(shí)間是t，方程為(1+60)tS 即61tS，中午12點(diǎn)到下午1點(diǎn)，秒針一共走了3600格，即S的范圍是0<S<3600，那么t的范圍就是0<t<3600/61,即0<t<59.02，因?yàn)閠只能取整數(shù)，所以t為159，也就是他們相遇59次。第1題跟這個(gè)思路是一樣的，大家可以算算！給大家一個(gè)公式吧 61TS （S為題目中最小的單位在題目所要求的時(shí)間內(nèi)所走的格數(shù)，確定S后算出T的最大值就知道相遇多少次了）如第1題，題目中最小單位為分針，題目所要求的時(shí)間為12小時(shí)，也就是說分針走

3、了720格T(max)=720/61.8，取整數(shù)就是11。1、鐘表指針重疊問題中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合多少次？A、10 B、11 C、12 D、13 考友2.這道題我是這么解,大家比較一下:解:可以看做追及問題,時(shí)針的速度是:1/12格/分 分針的速度是:1格/分. 追上一次的時(shí)間=路程差/速度差=60/(1-1/12)=720/11分 從12點(diǎn)到12點(diǎn)的總時(shí)間是720 分鐘,所以重合次數(shù)n=總時(shí)間/追上一次的時(shí)間=720/720/11 次二、關(guān)于成角度的問題，我推薦個(gè)公式及變式給你：設(shè)X時(shí)時(shí)，夾角為30X ， Y分時(shí)，分針追時(shí)針5.5，設(shè)夾角為A.（

4、請(qǐng)大家掌握）鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時(shí)針走0.5度，能追5.5度。1.【30X5.5Y】或是360【30X-5.5Y】 【】表示絕對(duì)值的意義（求角度公式）變式與應(yīng)用2.【30X5.5Y】=A或是360【30X-5.5Y】=A （已知角度或時(shí)針或分針求其中一個(gè)的公式。3.由變式2.可以變?yōu)?0×(X-Y/5)Y/60=A或30×（X+12)-Y/5Y/60=A說明變式3.實(shí)質(zhì)上完全等同變式2.例題32000年國(guó)家考題某時(shí)刻鐘表時(shí)間在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，此時(shí)刻再過6分鐘后的分針和此時(shí)刻3分鐘前的時(shí)刻正好方向相反且在一條直線

5、上，則從時(shí)刻為（）A.10點(diǎn)15分 B.10點(diǎn)19分 C.10點(diǎn)20分 D.10點(diǎn)25分思路1.設(shè)時(shí)刻正好方向相反且在一條直線上的分針為Y,用變式2解出30×105.5Y=180 解出Y=21又9/11分，Y-6=15又9/11分,本題最接近A.(說明此國(guó)考題不夠嚴(yán)謹(jǐn)?。┧悸?.根據(jù)鐘表的特點(diǎn)：首先看時(shí)針在10點(diǎn)到11點(diǎn)之間，那么根據(jù)“正好方向相反且在一條直線上”分針必在4點(diǎn)到5點(diǎn)之間（相對(duì)時(shí)針而言），那么在6分鐘以前分針必在3點(diǎn)附近（相對(duì)時(shí)針而言），運(yùn)用排除法選A(說明到這里基本規(guī)律已完畢，在考題中已經(jīng)可以應(yīng)付了，后面的講解作為大家了解，我也是從網(wǎng)絡(luò)搜索的，只是前面知識(shí)的運(yùn)用而已！

6、)學(xué)習(xí)導(dǎo)航 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠?jì)時(shí)工具。生活中也時(shí)常會(huì)遇到與時(shí)鐘相關(guān)的問題。 關(guān)于時(shí)鐘的問題有：求某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角，兩針重合，兩針垂直，兩針成直線等類型。要解答時(shí)鐘問題就要了解、熟悉時(shí)針和分針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特點(diǎn)。 時(shí)鐘盤面被等分為12個(gè)大格，那么每個(gè)大格之間的夾角為360°÷12=30°。每個(gè)大格又被分成5個(gè)小格，每個(gè)小格之間的夾角為30°÷5=6°。在鐘表上時(shí)針與分針是同時(shí)運(yùn)動(dòng)的，它們的關(guān)系是：時(shí)針走1小時(shí)轉(zhuǎn)過30°，分針轉(zhuǎn)過360°，恰為一個(gè)圓周。 重點(diǎn)·難點(diǎn) 在時(shí)鐘問題中

7、求解兩針重合、兩針垂直、兩針成直線等問題也都是對(duì)求兩針夾角問題的擴(kuò)展和延伸。因此只要能夠透徹地分析、解答了兩針夾角問題，其他問題則有章可循。 學(xué)法指導(dǎo) 解這類問題時(shí)，通常分別考慮時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，再根據(jù)條件綜合在一起，然后求解，另外，還需要注意全面考慮多種可能的情況。經(jīng)典例題例1 如圖1，在時(shí)鐘盤面上，1點(diǎn)45分時(shí)的時(shí)針與分針之間的夾角是多少？ 思路剖析 將時(shí)鐘盤面分成12個(gè)分格，那么在1點(diǎn)45分，分針必落在9這個(gè)位置上，而時(shí)鐘針不在1這個(gè)位置上，而是在1和2之間的某個(gè)位置上，也就是要求出從1點(diǎn)到1點(diǎn)45分，45分鐘的時(shí)間時(shí)鐘轉(zhuǎn)過的角度。時(shí)針走60分鐘轉(zhuǎn)過360°÷12

8、=30°，那么走45分鐘，轉(zhuǎn)過 。而且從1點(diǎn)45分時(shí)時(shí)鐘盤面上時(shí)針、分針的位置易知，從9點(diǎn)整到13點(diǎn)整之間包含有4個(gè)大格。那么此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是這兩部分角度的和。 解 答 點(diǎn) 津或用變式2. 360-（30×15.5×45）142.5°（思考為什么用360來減，當(dāng)然在考題中選擇題答案是唯一的好辦！）對(duì)于求兩針夾角的問題，我們都可以按照例1的思路求解。從此題的求解中，可以總結(jié)出如下的規(guī)律性結(jié)論：在1點(diǎn)45分時(shí)，兩針夾角：，那么在a點(diǎn)b分時(shí)，兩針夾角：，為了避免a<b÷5的情況（分針在時(shí)針前），通常a采用24時(shí)計(jì)時(shí)法；若a>b

9、47;5（分針在時(shí)針后），則a采用12時(shí)計(jì)時(shí)法。如果所求的角度是大于180°的，那么需與360°求差后求出的值為最后結(jié)果。例2 從5時(shí)整開始，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間后，時(shí)針與分針第一次成了直線？ 思路剖析 時(shí)針與分針直線也就是說兩針的夾角為180°。從5時(shí)整開始時(shí)，時(shí)針在一個(gè)小時(shí)之內(nèi)從5運(yùn)轉(zhuǎn)到6，分針從12開始在一個(gè)小時(shí)之內(nèi)會(huì)旋轉(zhuǎn)360°，必然在此期間有一個(gè)時(shí)刻時(shí)針與分針成了直線，從圖2中易知此時(shí)刻必然落在11與12之間。此題是已知兩針夾角求時(shí)間的問題，與例1正好是個(gè)相反的過程。我們?nèi)钥砂凑绽?得出的規(guī)律求解。當(dāng)兩針成直線時(shí)，時(shí)間為5點(diǎn)幾分，那么a=5，由于分針位

10、置在11至12之間，則b>55，那么b÷5>11，a<b÷5，應(yīng)采用24小時(shí)計(jì)時(shí)法。只須解一個(gè)方程，便可求解此題。 解 答 時(shí)針與分針第一次成直線，它們的夾角為180°，設(shè)從5時(shí)整開始，經(jīng)過b分后，時(shí)針與分針第一次成直線，這時(shí)分針落在11與12之間，即b÷5>11，而a=5<b÷5，則采用24時(shí)計(jì)時(shí)法，可得方程：那么可知在5時(shí)60分時(shí)，即6時(shí)整，兩針成直線。或者36030×55.5×y180解出y60（變式1.好理解些）以下類似略了答：從5時(shí)整開始，經(jīng)過60分鐘后，時(shí)針與分針第一次成直線。例3

11、從6時(shí)整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合？ 思路剖析 時(shí)針與分針的重合，在第一次它們的夾角為360°，那么解決兩針重合問題的方法與求解兩針成直線問題的方法類似。從6點(diǎn)整開始，一個(gè)小時(shí)之內(nèi)，時(shí)針從6轉(zhuǎn)到7；分針從12開始轉(zhuǎn)過360°，在此期間必有一時(shí)刻兩針重合。 解 答重合時(shí)兩針都落在6與7之間，因此b÷5>6，而a=6<b÷5，則采用24時(shí)計(jì)時(shí)法，經(jīng)過b分鐘后兩針重合，得方程： 例4 在8時(shí)多少分，時(shí)針與分針垂直？ 思路剖析 在8時(shí)多少分時(shí)，兩針垂直應(yīng)有兩種情況。如圖3和圖4所示。圖3是分針在時(shí)針后，此時(shí)的垂直夾角是90°

12、。圖4是分針在時(shí)針前，此時(shí)的垂直夾角是270°。確定了夾角之后，可根據(jù)例1得出的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。 解 答 分為兩種情況：（1）分針在時(shí)針后，a=8,a>b÷5，可采用12時(shí)計(jì)時(shí)法，設(shè)從8時(shí)整開始，經(jīng)過b1分后，時(shí)針與分針第一次垂直，夾角為90°。得方程：（2）時(shí)針在分針后，a=8，a<b÷5，可采用24時(shí)計(jì)時(shí)法，設(shè)從8時(shí)整開始，經(jīng)過b2分后，時(shí)針與分針第二次垂直，夾角為2700。得方程： 由于求得b2=60分，那么經(jīng)過60分鐘，即在9點(diǎn)鐘時(shí)，兩針第二次垂直。但題意要求是在8點(diǎn)幾分時(shí)垂直，所以此種情況可舍。答：在8小時(shí)點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針垂直。例5

13、 如圖5所示的時(shí)間是8點(diǎn)20分差一些。如果時(shí)針和分針同6的距離正好相等，試問是幾點(diǎn)幾分？ 思路剖析 由于時(shí)針和分針同6的距離正好相等，從圖中可知，時(shí)針和分針與6的距離都是兩個(gè)大格再加上部分大格。注意到時(shí)針多走的部分大格是時(shí)針與8的距離，即在幾分鐘內(nèi)時(shí)針走的格數(shù)，而分針多出的部分大格是分歧針與4的距離，即40個(gè)大格減去分針幾分鐘內(nèi)走的格數(shù)。而這兩部分是相等的。由于分針走5分鐘走1個(gè)大格，那么1分鐘就走個(gè)大格，而時(shí)針60分鐘走1個(gè)大格，那么1分鐘走個(gè)大格。由此可以將經(jīng)過幾分鐘后時(shí)針與8的距離和分針與4的距離表示出來，得到方程，進(jìn)而求出結(jié)果。 解 答發(fā)散思維訓(xùn)練1.求下面各種盤面上的時(shí)針與分針之間的

14、夾角。（1）3時(shí)25分；（2）8時(shí)40分；（3）9時(shí)12分2.從9點(diǎn)整開始，經(jīng)過多少分，在幾點(diǎn)鐘，時(shí)針與分針第一次成直線？3.小明同時(shí)開動(dòng)兩個(gè)鐘后發(fā)現(xiàn)，其中的一個(gè)鐘每小時(shí)慢3分鐘，而另一個(gè)鐘每小時(shí)快2分鐘。過了一段時(shí)間他再去看這兩個(gè)鐘，發(fā)現(xiàn)那個(gè)快的鐘正好比慢的鐘快1小時(shí)，問小明過了多長(zhǎng)時(shí)間去看的鐘？4.時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是15時(shí)整，那么分針旋轉(zhuǎn)2002周后，時(shí)針表示的時(shí)間是幾時(shí)？5.鐘面上的時(shí)針和分針同時(shí)旋轉(zhuǎn)，在相同的時(shí)間內(nèi)分針旋轉(zhuǎn)過的度數(shù)是時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)的多少倍？6.一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘？7.時(shí)鐘的分針和時(shí)針在24小時(shí)中，形成過幾次直角？8.時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重

15、合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線？9.在一天的第六個(gè)小時(shí)，小月看了一下表，分針正接近時(shí)針，還差3分的距離就重合。求現(xiàn)在是幾點(diǎn)鐘？ 請(qǐng)同學(xué)們做完練習(xí)后再看答案！ 參 考 答 案1.解：2.解：時(shí)針與分針第一次成直線，即它們的夾角為180。設(shè)從9點(diǎn)整開始，經(jīng)過b分后，時(shí)針與分針第一次成直線，這時(shí)針針必落在3與4之間，即b÷5<4，而a=9>b÷5，可采用12時(shí)計(jì)時(shí)法，得到方程：3.解：快的鐘比慢的鐘每小時(shí)快3+2=5（分鐘），1小時(shí)=60分鐘，快出60分鐘則需經(jīng)過60÷5=12（小時(shí)）答：小明過了12小時(shí)去看的鐘。4.解：分針旋轉(zhuǎn)1周經(jīng)過的時(shí)間是1小時(shí)，

16、那么2002周后經(jīng)過的是2002個(gè)小時(shí)，一天有24小時(shí)，2002÷24=8310，即旋轉(zhuǎn)2002周之后經(jīng)過了83天，還多10個(gè)小時(shí)，而現(xiàn)在的時(shí)間是15時(shí)，15+10=25，25-24=1（小時(shí)）。答：當(dāng)分針旋轉(zhuǎn)2002周之后，時(shí)針表示的時(shí)間是1時(shí)。5.解：由于在相同的時(shí)間內(nèi)分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)的多少倍是一個(gè)固定的值，那么不妨看經(jīng)過1個(gè)小時(shí)，兩針各旋轉(zhuǎn)多少度。1小時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)整個(gè)表盤的，而分針旋轉(zhuǎn)一周。因此有：1÷=12（倍）。答：相同時(shí)間內(nèi)分針旋轉(zhuǎn)過的度數(shù)是時(shí)針旋轉(zhuǎn)度數(shù)的12倍。6.解：分針追上時(shí)針即兩針重合，設(shè)在9點(diǎn)b分時(shí)兩針重合，夾角為360°，采用2

17、4時(shí)計(jì)時(shí)法。7.解：因?yàn)闀r(shí)針在1小時(shí)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)30°÷60=0.5°，分針1分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)360°÷6=6°，設(shè)：經(jīng)過x分后，時(shí)針與分針成為直角，那么有方程x×（6°-0.5°）=90°，故x=16。即：一天的開始時(shí)，兩針都指12，兩針在16分鐘以后，第一次形成直角。所以，下式成立：16×n=60×24，故n=88。但是，兩針到下次重合前，形成的角依次是90°、180°、270°、360°（相當(dāng)于0°），其中，符合題意的只有90°和270°二個(gè)。因此，24小時(shí)內(nèi)，時(shí)針和分針可以形成44次直角。8.解：設(shè)時(shí)針和分針成一條直線，所需時(shí)間為x分鐘，這樣，分針在表盤上轉(zhuǎn)動(dòng)6x°，因?yàn)榉轴?分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0