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文檔簡介
1、第10章 無窮級數(shù)練習(xí)和習(xí)題解答練習(xí)10.11.寫出下列級數(shù)的一般項(xiàng):(1);解:該級數(shù)一般項(xiàng)為(2);解:該級數(shù)一般項(xiàng)為(3);解:該級數(shù)一般項(xiàng)為(4).解:該級數(shù)一般項(xiàng)為2.用定義判斷下列級數(shù)的收斂性:(1)解:,顯然不存在,故原級數(shù)發(fā)散.(2)解:,故原級數(shù)發(fā)散.(3)解:,故原級數(shù)收斂.(4)解:,所以當(dāng)時原級數(shù)收斂,當(dāng)或 時原級數(shù)發(fā)散.(5)解:,故原級數(shù)收斂.練習(xí)10.21.根據(jù)級數(shù)收斂的性質(zhì)判斷下列級數(shù)的斂散性:(1);解:因?yàn)橥?xiàng),不滿足通項(xiàng)極限為零的級數(shù)收斂的必要條件,故原級數(shù)發(fā)散.(2);解:因?yàn)椴淮嬖?,不滿足通項(xiàng)極限為零的級數(shù)收斂的必要條件,故原級數(shù)發(fā)散.(3);解:因?yàn)?/p>
2、,故原級數(shù)發(fā)散.(4);解:因?yàn)?,故原級?shù)發(fā)散.(5);解:因?yàn)椋墧?shù)和均為公比小于1的幾何級數(shù),都收斂,因此原級數(shù)收斂.(6) ;解:因?yàn)榧墧?shù)收斂,在其前面加上100項(xiàng)后的新級數(shù)仍然收斂.(7)解:因?yàn)榧墧?shù)為發(fā)散調(diào)和級數(shù),而級數(shù)為收斂的幾何級數(shù),收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)之和發(fā)散.2.若級數(shù)收斂,指出下列哪些級數(shù)是一定收斂的,哪些級數(shù)是發(fā)散的.(1);解:因?yàn)榧墧?shù)收斂,所以級數(shù)和也收斂,因此原級數(shù)也收斂.(2)(為某一確定的自然數(shù))解:因?yàn)榧墧?shù)收斂,而級數(shù)相當(dāng)于級數(shù)去除前項(xiàng)后的新級數(shù)也收斂.(3)解:因?yàn)榧墧?shù)收斂,所以,故,即級數(shù)發(fā)散.練習(xí)10.31.用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性:(1);解:
3、因?yàn)橥?xiàng),而級數(shù)為收斂的幾何級數(shù),根據(jù)比較判別法,級數(shù)收斂.(2);解:因?yàn)橥?xiàng),而級數(shù)為收斂的-級數(shù),根據(jù)比較判別法,級數(shù)收斂.(3);解:因?yàn)橥?xiàng),而級數(shù)相當(dāng)于發(fā)散調(diào)和級數(shù),根據(jù)比較判別法,級數(shù)發(fā)散.(4);解:因?yàn)橥?xiàng),又調(diào)和級數(shù)發(fā)散,因此級數(shù)也發(fā)散,根據(jù)比較判別法,原級數(shù)也發(fā)散.(5);解:令,顯然參照級數(shù)為收斂的-級數(shù),而,根據(jù)比較判別法的極限形式,可知原級數(shù)也收斂.(6);解:令,顯然參照級數(shù)為收斂的-級數(shù),而,根據(jù)比較判別法的極限形式,可知原級數(shù)也收斂.(7);解:令,顯然參照級數(shù)為收斂的-級數(shù),而,根據(jù)比較判別法的極限形式,可知原級數(shù)也收斂.(8).解:因?yàn)橥?xiàng),參照級數(shù)為收斂
4、的-級數(shù),根據(jù)比較判別法,原級數(shù)也收斂.2.用比值判別法或根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:(1);解:因?yàn)?,根?jù)比值判別法,原級數(shù)收斂.(2);解:因?yàn)椋鶕?jù)根值判別法,原級數(shù)發(fā)散.(3);解:因?yàn)?,根?jù)根值判別法,原級數(shù)收斂.(4);解:因?yàn)?,根?jù)根值判別法,原級數(shù)收斂.(5);解:因?yàn)椋鶕?jù)根值判別法,原級數(shù)收斂.(6).解:因?yàn)?,根?jù)根值判別法,原級數(shù)收斂.3. 判別下列級數(shù)的斂散性,若收斂,指出是絕對收斂還是條件收斂:(1);解:該級數(shù)為交錯級數(shù),令,由于,且,根據(jù)交錯級數(shù)收斂判別法,該級數(shù)收斂.又由于是發(fā)散的調(diào)和級數(shù),因此原級數(shù)條件收斂.(2);解:由于,不滿足級數(shù)收斂的必要條件,因
5、此原級數(shù)發(fā)散.(3);解:該級數(shù)為交錯級數(shù),其對應(yīng)的正項(xiàng)級數(shù)收斂,因此該級數(shù)絕對收斂.(4);解:令,由于,而級數(shù)是收斂的-級數(shù),根據(jù)比較判別法級數(shù)收斂,因此原級數(shù)絕對收斂.(5).解:該級數(shù)為交錯級數(shù),令,根據(jù)-級數(shù)的收斂性質(zhì),我們知道,時,收斂,因此原級數(shù)絕對收斂;時,發(fā)散,且,根據(jù)萊布尼茨判別法,原級數(shù)收斂,且為條件收斂;時,單調(diào)遞增,不滿足級數(shù)收斂的必要條件,原級數(shù)發(fā)散.練習(xí)10.41.求下列冪級數(shù)的收斂域:(1)解:令,收斂半徑,收斂區(qū)間為,當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散,當(dāng)時,級數(shù)收斂,所以原級數(shù)的收斂域?yàn)?(2)解:令,所以收斂半徑為,原級數(shù)的收斂域?yàn)?(3)解:令,所以收斂半徑為,原級數(shù)只在處
6、收斂.(4)解:令,原關(guān)于的冪級數(shù)化為關(guān)于的冪級數(shù),收斂半徑, 的收斂半徑為,當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散,因此,原冪級數(shù)的收斂域?yàn)?(5)解:設(shè),原關(guān)于的冪級數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的冪級數(shù).,冪級數(shù)的收斂半徑為,收斂區(qū)間為因此冪級數(shù)的收斂半徑也為,收斂區(qū)間為,當(dāng)時,級數(shù)收斂,當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散,因此,冪級數(shù)的收斂域?yàn)?2.利用例10-33的結(jié)果,求級數(shù)的和.解:根據(jù)例10-33,.3.求冪級數(shù)的和函數(shù),并求級數(shù)的和.解:設(shè),兩邊同時對求導(dǎo),得,兩邊同時在上積分,得,由,得,即,.練習(xí) 10.51. 寫出下列函數(shù)的階麥克勞林公式:(1)解:,在0到之間,(2)解:時,其中,.2.將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求收斂域:(1
7、);解:由于,所以,(2);解:由于,(3).解:根據(jù),可知,兩邊在上積分,由于,所以,3.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).解:對求導(dǎo),得 由于,所以,上式兩邊在區(qū)間上積分,得,由于,因此,.4.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值:(1)(精確到0.001)解:根據(jù),在到之間時,只要 ,即只要當(dāng)時,所以只要去展開式的前5項(xiàng)就可得到滿足精度的近似值:(2)(精確到0.001)解:根據(jù),取,當(dāng),(3)(精確到0.0001)解:根據(jù),在0到之間,取,當(dāng)時,取展開式的前3項(xiàng)即可得到近似值:(4)(精確到0.0001);解:習(xí) 題 十1.選擇題:(1)若級數(shù)收斂,則( );A.級數(shù)收斂B.級數(shù)收斂C.級數(shù)收
8、斂D.級數(shù)收斂答案:A,B,C,D,(*本題好像有問題)(2)若級數(shù)收斂,且,則必定( );A.收斂 B. 發(fā)散C.可能收斂,可能發(fā)散 D. 以上都不對答案:C(3)是級數(shù)發(fā)散的( ); A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件答案:A(4)已知,則( );A.收斂于0 B.收斂于 C.收斂于 D.發(fā)散答案:C(5)若級數(shù),均發(fā)散,則( );A.發(fā)散 B.發(fā)散C.發(fā)散 D.發(fā)散答案:C(6)若級數(shù)收斂,則必有( );A. 收斂 B. 收斂C. D. 發(fā)散答案:D(7)級數(shù)收斂是級數(shù)收斂的( );A.必要條件 B.充分條件 C.充要條件 D.無關(guān)條件答案:B(8)設(shè)為正項(xiàng)
9、級數(shù),則( );A.若,則收斂B. 若收斂,則收斂C. 若收斂,則收斂D. 與的斂散性互不相關(guān)答案:B(9)設(shè)對,總有不等式成立,則( );A. ,收斂,則必有收斂B. 若,發(fā)散,必有發(fā)散C. D. 以上結(jié)論均不成立答案:A(10)若正項(xiàng)級數(shù)收斂,且其和為,則下列敘述不正確的是( );A. 為任意自然數(shù),收斂(*本選項(xiàng)原題有誤)B.和都收斂C.收斂,且D. 可能收斂,可能發(fā)散答案:D(11)級數(shù)發(fā)散,因?yàn)椋?);A它是級數(shù),且 B.C.,通項(xiàng)不趨于0 D. 以上都不對答案:C(12)設(shè)為常數(shù),則級數(shù)( );A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散 D.收斂性取決于的值答案:C(13)設(shè),則下列級數(shù)中必
10、收斂的是( );A. B. C. D.答案:C(14)若級數(shù)(為實(shí)數(shù))條件收斂,則有( ).A. B. C. D.答案:D(15)若冪級數(shù)在處發(fā)散,則該級數(shù)的收斂半徑( );A. B. C. D.答案:D (16)對于冪級數(shù),下列敘述不正確的是( );A.原點(diǎn)是它的收斂點(diǎn)B.其收斂域是一個以原點(diǎn)為中心的區(qū)間C.其收斂半徑D.它的收斂域有可能為空集答案:D(17)若級數(shù)在時收斂,則級數(shù)在時( );A.條件收斂 B.絕對收斂 C.發(fā)散 D.不能確定答案:B (18)若級數(shù)在時發(fā)散,在處收斂,則常數(shù)( );A.1 B. C.2 D.答案:B(19)級數(shù)的和函數(shù)是( );A.B. C. D.答案:D(
11、20)已知級數(shù),則( ).A.B. C. D.答案:C2.填空題:(1)若冪級數(shù)的部分和序列為,則_,_;答案:,(2)若級數(shù),則級數(shù)_;答案:(3)若級數(shù)收斂,則的取值范圍為_;答案:(4)冪級數(shù)的收斂域?yàn)開;答案:或(5)若冪級數(shù)在實(shí)軸上收斂,則滿足條件_;答案:(6)_;答案:(7)_.答案:3.判斷題:(1)如,則級數(shù)收斂; ( )答案:錯(2)若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)收斂; ( )答案:錯(3)如級數(shù)收斂,由級數(shù)收斂,必推得級數(shù)收斂; ( )答案:對(4); ( )答案:錯(5)若對,總有不等式成立,則如級數(shù)發(fā)散,也發(fā)散;( )答案:錯(6)若級數(shù)中加括號后發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散; ( )答
12、案:對(7)若正項(xiàng)級數(shù)收斂,則必有; ( )答案:錯(8)若級數(shù)收斂,則也收斂,其中為一個非零常數(shù); ( )答案:錯(9)由展開式,有;( )答案:錯(10)若為收斂的正項(xiàng)級數(shù),為正項(xiàng)級數(shù),且,則當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散; ( )答案:錯(11)若 為發(fā)散正項(xiàng)級數(shù),則必有; ( )答案:錯(12)若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂; ( )答案:對(13)若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散; ( )答案:對(14)若對正項(xiàng)級數(shù),總有,則該級數(shù)收斂; ( )答案:錯(15)若對任意項(xiàng)級數(shù),總有,則該級數(shù)發(fā)散; ( )答案:對(16)若對,總有不等式,則必有; ( )答案:錯(17)若,則級數(shù)與有相同的斂散性. ( )答案:錯4.
13、根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級數(shù)的斂散性:(1);解:,所以原級數(shù)發(fā)散.(2);解:,,原級數(shù)收斂,且收斂于2.(3).解:原級數(shù)收斂,且收斂于3.5.已知級數(shù)的部分和,寫出這個級數(shù).解:由,可知,顯然此時,不難知道,因此該級數(shù)為.6.判別下列級數(shù)的斂散性:(1);解:本級數(shù)通項(xiàng)的分子分母的最高次數(shù)都是3,顯然,不滿足級數(shù)收斂的必要條件,因此原級數(shù)發(fā)散.(2);解:本級數(shù)通項(xiàng),不滿足級數(shù)收斂的必要條件,因此原級數(shù)發(fā)散.(3);解:顯然級數(shù)和都是公比的絕對值小于1的幾何級數(shù),均收斂,因此原級數(shù)收斂.(4);解:幾何級數(shù)的公比滿足,該級數(shù)收斂,在該級數(shù)前加上3項(xiàng)后得到的新級數(shù)也收斂,即原級數(shù)收
14、斂.(5); 解:時,該級數(shù)的通項(xiàng),不滿足級數(shù)收斂的必要條件,故該級數(shù)發(fā)散.(6).解:該級數(shù)通項(xiàng),由于,因此.因?yàn)?,幾何級?shù)收斂,因此原級數(shù)收斂.7. 用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性:(1);解:由于,而是收斂的幾何級數(shù),根據(jù)比較判別法,級數(shù)收斂.(2);解:由于,而級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法,級數(shù)收斂.(3);解:由于,而調(diào)和級數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法,級數(shù)發(fā)散.(4);解:當(dāng)時,而幾何收斂,根據(jù)比較判別法,級數(shù)也收斂,因此原級數(shù)也收斂.(5);解:由于,而級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法的極限形式,級數(shù)收斂.(6).解:由于,而調(diào)和級數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法的極限形式,級數(shù)發(fā)散.8.用比值判別法或根
15、值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:(1);解:本級數(shù)應(yīng)該用根值判別法判別其斂散性.,由根值判別法,級數(shù)發(fā)散.(2);解:該級數(shù)通項(xiàng),令,根據(jù)比值判別法,級數(shù)收斂,再由比較判別法,原級數(shù)收斂.(3);解:,由比值判別法,原級數(shù)發(fā)散.(4);解:,由比值判別法,原級數(shù)發(fā)散.(5);解:由根值判別法,原級數(shù)收斂.(6);解:由比值判別法,原級數(shù)收斂.(7);解:由根值判別法,原級數(shù)收斂.(8)(其中)且);解:由根值判別法,當(dāng)時,原級數(shù)收斂;當(dāng)時,原級數(shù)發(fā)散.(9).解:由比值判別法,原級數(shù)收斂.9.判定下列級數(shù)的斂散性:(1); 解:由比值判別法,原級數(shù)收斂.(2); 解:由于級數(shù)發(fā)散,級數(shù)收斂,所以
16、原級數(shù)發(fā)散.(3);解:設(shè),由于,而調(diào)和級數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較判別法的極限形式,原級數(shù)也發(fā)散.(4); 解: ,根據(jù)比值判別法,原級數(shù)收斂.(5); 解:,根據(jù)根值判別法,原級數(shù)收斂.(6);解:該級數(shù)通項(xiàng),令,顯然級數(shù)是收斂的級數(shù),又根據(jù)比較判別法的極限形式,原級數(shù)收斂.(7); 解:令,顯然調(diào)和發(fā)散,而,根據(jù)比較判別法的極限形式,原級數(shù)也發(fā)散.(8);解:該級數(shù)通項(xiàng),不滿足級數(shù)收斂的必要條件,故原級數(shù)發(fā)散.(9);解:記,令,由于,而級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法,原級數(shù)也收斂.(10);解:,由于級數(shù)收斂,根據(jù)比較判別法, 級數(shù)也收斂,因此原級數(shù)也收斂,(并且是絕對收斂).(11);解:令,而級數(shù)
17、是收斂的幾何級數(shù),根據(jù)比較判別法,原級數(shù)也收斂.(12).解:時,此時原級數(shù)發(fā)散;時,此時原級數(shù)也發(fā)散;時,根據(jù)比值判別法,原級數(shù)收斂.10.下列級數(shù)哪些是絕對收斂、條件收斂或發(fā)散的:(1); 解:該級數(shù)為交錯級數(shù),令,且,根據(jù)Leibniz判別法,原級數(shù)收斂,(2);解:(3)解:(4);解:(5);解:(6);解:(7);解:(8);解:(9) (); 解:(10);解:(11); 解:(12);解:(13); 解:(14);解:(15).解:11.討論級數(shù)的收斂性.12.討論級數(shù)的收斂性.13.證明:當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂.14.證明:(1)設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂,證明級數(shù)也收斂,試問反之是否成立?(2)設(shè),且數(shù)列有界,證明級數(shù)收斂;(3)若級數(shù),收斂,證明絕對收斂;(4)設(shè)級數(shù)收斂,證明級數(shù)()也收斂;15.設(shè)級數(shù)絕對收斂,試證:有的一切正項(xiàng)組成的級數(shù)是收斂的;有的一切負(fù)項(xiàng)組成級數(shù)也是收斂的.16.證明:,其中為常數(shù)且.17.確定下列冪級數(shù)的收斂域:(1); (2);(3); (4);(5); (6);(7);(8).18.將下列函數(shù)展開成關(guān)于的冪級數(shù),并求收斂域
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