微積分微分方程

1、第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求（1） 了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。（2） 掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程。（3） 會用降階法解下列方程：。（4） 理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。（5） 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。（6） 會求自由項多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。（7） 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點和難點1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一階和高階微分方程的各種初等積分法；

2、3、熟悉線性方程的基礎(chǔ)理論，掌握常系數(shù)二階線性齊次與非齊次方程的解法；4、會列微分方程及其始值問題去解決實際問題。三、本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：1、分離變量法的理論根據(jù)；2、常用的變量代換；3、怎樣列微分方程解應(yīng)用題；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推廣；6、二階齊次方程；7、高階微分方程的補充；8、求線性齊次方程的另一個線性無關(guān)的解；9、求線性非齊次方程的一個特解；10、常數(shù)變易法。本章的思考題和習(xí)題解下列方程（第1-6題）1、2、可微3、4、5、6、7、已知可微函數(shù)滿足；8、已知；9、求與曲線族相交成角的曲線；10、一容器的容積為100L，盛滿鹽水，含10kg的鹽，現(xiàn)以每分鐘3L的速度向容

3、器內(nèi)注入淡水沖淡鹽水，又以同樣的速度將鹽水抽入原先盛滿淡水的同樣大小的另一容器內(nèi)，多余的水便從容器內(nèi)流出，問經(jīng)過多少時間，兩容器內(nèi)的含鹽量相等？§9.1 微分方程的基本概念一、內(nèi)容要點：先從實例引入建立幾個微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的階數(shù)、解、通解、全部解、特解、積分曲線族的定義；二、教學(xué)要求和注意點了解微分方程與微分方程的階、解、通解、初始條件和特解以及積分曲線說明1：一個微分方程加上初始條件和初值問題的解是對某實際問題兩種等價的描述形式。前者強調(diào)的是運動的過程，是系統(tǒng)的機理；后者強調(diào)的則是運動的結(jié)果，是系統(tǒng)的輸出。說明2：可分離變量的微分方程

4、雖然簡單，但它是求解各種微分方程的基礎(chǔ)，要求學(xué)生必須熟練掌握。定義1：稱含有導(dǎo)數(shù)或微分的方程為微分方程，并稱方程種最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為方程的階數(shù)。如： 二階方程；一階方程；三階方程，等等講方程，都是為了解方程，前兩個方程不好解，第三個方程好解。解之，方程兩邊三次積分，得方程的解（為任意常數(shù)）。當(dāng)時，也滿足方程?？梢姲怂械慕獾男问?。則稱它為通解。定義2：稱滿足微分方程的函數(shù)為方程的解。若方程的解種含有相互獨立的任意常數(shù)，常數(shù)的個數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱此解為方程的通解；稱不含任意常數(shù)的解為方程的特解。注1:通解與特解只是方程的兩類解，一階方程的解要么是通解，要么是特解注2：一階方程的幾種形

5、式：一般形式：，從這個方程種有可能解出，也有可能解不出來；一階顯式方程：；對稱形式：或注3：在一階方程種，和的關(guān)系是等價的.因此，有時可將看成函數(shù)，看做變量。§9.2 可分離變量的微分方程一、內(nèi)容要點：可分離變量的方程及其他可化為變量可分離的方程的定義及解法。本單元的講課提綱：然后再講具體的類型與解法可分離變量的方程與分離變量法。重點是微分方程的階、通解與特解等概念，分離變量法。難點是利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵是判別可分離變量方程的方法，以及具體積分方法。二、教學(xué)要求和注意點掌握可分離變量微分方程的解法注意問題：通常只表示一個原函數(shù)，積分常數(shù)C有時寫成定義1：稱能改寫為形式：的一階

6、方程為可分離變量方程。注：不是所有的方程都能這樣，故可分離變量方程為一階線性方程的特殊情況。定理1：若，則的通解為證： （1）先證是方程的解。兩邊對求導(dǎo)，得，即故是方程的解 （2）設(shè)是方程的任一解，則兩邊關(guān)于積分，得 又 是的一個原函數(shù)，是的一個原函數(shù)則，即在中所以， 為的通解。注1:可分離變量方程的解法：先分離變量，再兩邊積分，即得通解。注2：用來確定通解中的任意常數(shù)的條件，稱為方程的初始條件?！纠?】 求的通解，并求滿足初始條件的特解。解：方程可變?yōu)?，兩邊積分，得即 為方程的通解。又，代入，得 即滿足初始條件的特解為 【例2】 求的通解。解：由，分離變量，得，兩邊積分，得，即為方程的隱式通

7、解。二、可化為齊次方程的方程經(jīng)變換將行如方程化為齊次方程。【例3】 求的通解。解：令，則令 即 方程變?yōu)椋?，令 代入，得，積分，得 ，由 代回，得通解為： （其中為任意常數(shù)）§9.3 齊次方程內(nèi)容要點： 齊次方程的定義及求解公式，可化為齊次方程的定義以及解法本單元的講課提綱 齊次方程的判別和解法不算困難，難在尋找相應(yīng)的變量代換的問題，變量代換法比較靈活，可多舉一些各類型的例題，讓學(xué)生多見識一些變量代換，以便學(xué)生活躍思路，積累經(jīng)驗。重點是齊次方程與變量代換法，難點是尋找變量代換。作業(yè)：同步訓(xùn)練習(xí)題一、齊次方程定義1：稱能改寫成形式：的微分方程為一階齊次方程。我們下面來看看齊次方程解的

8、情形：令，即，代入方程，得，分離變量，得兩邊積分，解出，再將回代，即得通解?！纠?】 求 的通解。解：原方程可化為，令，即，代入方程，得，化簡 積分，得 ，將回代，得通解為二、可化為齊次方程的方程經(jīng)變換將行如方程化為齊次方程。【例4】 求的通解。解：令，則令 即 方程變?yōu)椋?，令 代入，得，積分，得 ，由 代回，得通解為： （其中為任意常數(shù)）§9.4 一階線性微分方程一、內(nèi)容要點： 一階線性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法本單元的講課提綱 （1）講線性非齊次的一階方程的解法時，要交待變易常數(shù)的想法并加強練習(xí)，這對今后講二階線性方程和線性方程組的常數(shù)變易法是有益的。 （

9、2）導(dǎo)出線性非齊次一階方程的求通解公式以后，可順利導(dǎo)出滿足條件的特解公式，還應(yīng)指出兩點：第一，當(dāng)時，線性方程的解總可通過兩次積分求得，第二，揭示通解結(jié)構(gòu)。重點是解線性非齊次方程的公式法與常數(shù)變易法。難點是伯努利方程。關(guān)鍵是套求解公式或常數(shù)變易法及湊微分或令z解伯努利方程。二、教學(xué)要求和注意點1、知道解一階線性微分方程的常數(shù)變易法，并掌握一階非齊次線性方程的通解公式。2、 知道一階非齊次線性方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解之和3、齊次方程與線性齊次方程的作用一、 一階線性微分方程定義1：稱可轉(zhuǎn)化為形式： (1)的方程為一階線性方程；若，則（1）式稱為一階線性齊次方程；，（1

10、）式稱為一階線性非齊次方程。 下面我們來看看方程（1）的解的情形：先看齊次方程： （2） 顯然是可分離變量方程。得，兩邊積分，得 （3）為一階線性齊次方程（2）的通解。 下面我們求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它們的解也具有某種相似性。我們用一種常數(shù)變易法來求（1）的解：假設(shè)為非齊次方程(1)的解，代入方程，得則， 積分，得 則 （4）即為方程（1）的通解?！纠?】求的通解。解：由于為一階線性非齊次方程，且，代入（4），得其通解為 例2 求的通解。解： 若將看成函數(shù)，作為變量，此方程不是一階線性方程。故將看成函數(shù)，作為變量，則原方程化為： 進一步化簡，為一階線性方程，代入（4

11、），得方程的通解為 。二、 貝努力方程可化為一階線性方程的方程定義2：稱形如：的方程為一階貝努力方程。下面我們看看貝努力方程的解的情形：將方程變形為 ，令，則方程化為，為一階線性方程，故可用上述方法求解，最后將代回，即得通解。【例3】求的通解。解：將方程變形，得 ，為貝努力方程。令，代入，利用（4），得 ，又，所以 為原方程的通解。§9.5 全微分方程一、內(nèi)容要點：全微分方程的定義及其條件，解的表達式常見的積分因子。本單元的講課提綱 1、全微分方程的解法關(guān)鍵在于首先將方程寫成 驗證如果成立，則可把上式寫成解為,求有下列三種方法：1）線積分法 2）偏積分法 3）分組觀察湊全微分法2、若

12、中，則可以尋求一個積分因子，使得，即存在使得從而是通解。二、教學(xué)要求和注意點判斷和求解全微分方程的方法；尋找積分因子的分組觀察法；定義1：如果存在可微函數(shù)，使，則稱微全微分方程。命題：（1）為全微分方程 （2）的通解為 ，其中?！纠?】求的通解。解：令，由于，故方程為全微分方程所以 二、可化為全微分方程的方程積分因子定義2：設(shè)不是全微分方程，如果存在可微函數(shù)使為全微分方程，則稱為原方程的積分因子。注：積分因子不唯一，而且一般也沒有什么固定的方法求解積分因子，故只有多積累才能有效的解題?！纠?】（1） ； （2）解：（1） （2） §9.6 可降階的高階微分方程一、內(nèi)容要點： 可降階的

13、高階微分方程的三種類型： ，找出解的表達式及解法。 本單元的講課提綱：1、關(guān)于高階微分方程的解法 求解的思路是通過變量代換把高階方程的求解化為較低階方程求解，教材介紹了三種可降階方程的類型，對于不屬于這三類方程的特殊高階方程有時也能通過換元或者全微分等手段變成這三種類型進行求解。2、 只需逐步積分即可求解，在求積分過程中每次都需增加一個常數(shù)，最后的解應(yīng)包含n個常數(shù)。3、可降階的二階微分方程 通常的二階微分方程為，有四個變數(shù)，僅當(dāng)缺少時一定可以降階求解。二、教學(xué)要求和注意點解方程中令的作用，的導(dǎo)出過程說明1：求解全微分方程可暫不引入偏導(dǎo)數(shù)概念，對x求導(dǎo)時把y看成常數(shù)即可，對積分因子只須介紹用目測

14、可以解決的簡單情形；對于全微分的原函數(shù)概念可在格林公式以后介紹。說明2：高階線性微分方程的應(yīng)用背景非常廣泛，要針對不同的專業(yè)選擇不同的問題引入課題，這樣能使學(xué)生對微分方程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。定義1：稱二階及二階以上的微分方程為高階微分方程。一、連續(xù)積分n次即得其通解?！纠?】連續(xù)積分兩次，得，二、跟標(biāo)準(zhǔn)形式相比，缺少。令，則，則，設(shè)其通解為則 ，兩邊積分即得通解。【例2】求的通解。解：令令，則，則 （一階線性方程）利用（4），得通解： 又，所以通解三、缺少令，則，代入，得設(shè)其通解為，則，即，積分即得?！纠?】， 求特解。解：令，則，從而 ，積分，得 由，得所以 由知所以 由知 【例5】 求的通解。

15、 解：此題既缺少，又缺少。從理論上，按以上兩種方法都能算出結(jié)果，但可能難度有差別。此題課堂上當(dāng)場做，檢查學(xué)生的能力。§9.7 高階線性微分方程一、內(nèi)容要點： 二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，高階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法，函數(shù)組線性無關(guān)的充分必要條件。本單元的教學(xué)提綱1、關(guān)于二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程和非齊次線性方程都有解的可加性。非齊次線性方程的通解可表示為一個特解與相應(yīng)齊次線性方程的通解之和。線性方程的通解包括了該方程的所有解。2、關(guān)于二階線性方程只須知道齊次方程的一個特解，則利用常數(shù)變易法可求出它的全部解。3、對于二階非齊次線性方程而言，若相應(yīng)的二階齊次線性方程

16、的通解為，也可用常數(shù)變易法找出其特解。本單元的作業(yè)：二、教學(xué)要求和注意點二階線性齊次方程中，通解中所含特解的線性無關(guān)性一、 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義1：設(shè)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，如果存在不全為零的數(shù)，使得則稱在區(qū)間I上線性相關(guān)。否則，稱在區(qū)間I上線性無關(guān)。命題1：設(shè)是定義在I上的函數(shù)，則線性無關(guān)不恒為常數(shù)。注1:若線性無關(guān)，則無法合并成，但當(dāng)線性相關(guān)可以合并。二、 二階線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)定義2：稱形如：的方程為二階線性非齊次方程。若，則方程為齊次的，若，則稱方程為非齊次的。定理1：設(shè)是的兩個線性無關(guān)的解，則為方程的通解。定理2：設(shè)是的特解。是對應(yīng)的齊次方程的通解，則是的通解。定理3：

17、設(shè)，分別是與，則是的解。【例1】設(shè)是某二階線性非齊次方程的解，求該方程的通解。解：，又不恒為常數(shù)所以，線性無關(guān)。故通解為§9.8 常系數(shù)齊次線性微分方程內(nèi)容要點： 二階常系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解、n階常系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解。本單元的講課提綱 高階微分方程一般都很難求得通解，只有常系數(shù)線性微分方程的解法已經(jīng)完全解決，一般形式可寫成其中是常數(shù)，由于假設(shè)為它的解，經(jīng)求導(dǎo)代入方程消去后得到的相應(yīng)的特征方程這是n次方程，它一定有n個根，其中可以是k重實根，也可以是k重共軛復(fù)根，每一個都對應(yīng)齊次方程的一個特解，共得到n個線性無關(guān)的特解，利用線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，可

18、構(gòu)成n個任意常數(shù)的通解。本單元的作業(yè)：說明1： 把求解常系數(shù)線性齊次微分方程的問題化成求解多項式代數(shù)方程的問題，這不僅僅是一種普通的求方程解的技巧，在線性控制系統(tǒng)中系統(tǒng)和不同的環(huán)節(jié)都可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換導(dǎo)出它的傳遞函數(shù)也是一個多項式代數(shù)方程，這說明常系數(shù)線性齊次微分方程和多項式代數(shù)方程之間有著本質(zhì)上的聯(lián)系。通過對多項式代數(shù)方程的分析，可以得到控制系統(tǒng)的特性。說明2：用特征方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程要求熟練一、 二階常系數(shù)線性齊次方程的解二、 定義:稱形如 (1),其中為常數(shù)的方程為二階常系數(shù)線性齊次方程.下面我們來討論其解的結(jié)構(gòu).命題1: 是的解是的解,并稱(2)

19、是(1)的特征方程.(i) 當(dāng)特征方程(2)有兩個不同的實根時,則,時方程(1)的兩個解,且不恒為常數(shù),從而方程(1)的通解為.(ii) 當(dāng)時,則是(1)的一個解.現(xiàn)在求另一個線性無關(guān)的解.設(shè),代入(1)得 ,所以 則 取,則通解為: (iii) 當(dāng),則,應(yīng)用歐拉公式,得, 構(gòu)造 顯然線性無關(guān),故通解為: 例1 求通解 (1) (2) (3) 解: (1) 特征方程為 則從而通解為 (2) 特征方程為 則從而通解為 (3) 特征方程為 則從而通解為 二.n階常系數(shù)線性齊次方程 (1)特征方程為 (2)(i) 當(dāng)(2)中有單根時,(1)的通解中含:;(ii) 當(dāng)(2)中有重根時,(1)的通解中含: (iii) 當(dāng)(2)中有一對單復(fù)根時, ,(1)的通解中含: (iv) 當(dāng)(2)中有重單復(fù)根時