以四邊形為背景利用旋轉(zhuǎn)變換證明線段和的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課 題：以四邊形為背景利用旋轉(zhuǎn)變換證明線段和的教學(xué)設(shè)計(jì)教 材： 北京教育出版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十五章第2節(jié)作者單位：江西省撫州市臨川區(qū)湖南鄉(xiāng)初級(jí)中學(xué)作 者： 劉建平一、 教材依據(jù)：本課屬于北京市義務(wù)教育課程改革試驗(yàn)教材數(shù)學(xué)第十八冊(cè)第二十五章以四邊形為背景利用旋轉(zhuǎn)變換證明線段和的教學(xué)設(shè)計(jì)二、指導(dǎo)思想（一） 設(shè)計(jì)理念：在幾何的學(xué)習(xí)中，如何讓學(xué)生今后在千變?nèi)f化的事物中尋找現(xiàn)象與問(wèn)題的本質(zhì)，從而不被外顯的現(xiàn)象所迷惑是初中生長(zhǎng)期培養(yǎng)的工程。其中就圖形與變換知識(shí)而言有著重要意義。它除了可以幫助學(xué)生鑒別生活中的圖形設(shè)計(jì)所依據(jù)的數(shù)學(xué)知識(shí)，感受變換的實(shí)際應(yīng)用給人們帶來(lái)的美感，更重要的就是

2、在數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中起著轉(zhuǎn)移邊或角的重要的作用，就旋轉(zhuǎn)變換而言，如何建立圖形的運(yùn)動(dòng)思想，學(xué)會(huì)動(dòng)態(tài)幾何，正確的發(fā)展合情推理培養(yǎng)演繹推理，把旋轉(zhuǎn)變換當(dāng)成有效解決幾何問(wèn)題的工具，讓學(xué)生感受幾何學(xué)習(xí)是一個(gè)充滿樂(lè)趣與挑戰(zhàn)性的過(guò)程。(二） 教材分析：本節(jié)課是建立在學(xué)生在初二學(xué)完中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形，和初三平移變換之后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)180度的概念，作圖及什么是變換已經(jīng)有了直觀的理解，本節(jié)內(nèi)容主要是從圖形旋轉(zhuǎn)任意角度出發(fā)去研究相關(guān)的性質(zhì)以及在坐標(biāo)系中的應(yīng)用。所以本節(jié)內(nèi)容分為三課時(shí)，第一課時(shí)：旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念及性質(zhì)；第二課時(shí)：在坐標(biāo)系中的應(yīng)用；第三課時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換在幾何解題中的應(yīng)用。本節(jié)課的設(shè)計(jì)是第三課時(shí)的

3、內(nèi)容。所以通過(guò)本課學(xué)習(xí)使學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)變換圖形中的不變量，有效地將線段轉(zhuǎn)移到同一直線上從而使問(wèn)題得以解決，體會(huì)化歸思想、轉(zhuǎn)化思想的重要性。對(duì)于學(xué)生以不變應(yīng)萬(wàn)變，挖掘旋轉(zhuǎn)變換的本質(zhì)特征的解題思想是很好的開(kāi)發(fā)與培養(yǎng)。本節(jié)課對(duì)于激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)困難的精神、增強(qiáng)合作交流的意識(shí)具有十分重要的意義。（三）學(xué)生分析： 學(xué)生雖然學(xué)完了中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的概念和性質(zhì)，但就旋轉(zhuǎn)變換的意義及在具體情境中的應(yīng)用能力還比較弱：旋轉(zhuǎn)變換的目的，何時(shí)需要用旋轉(zhuǎn)變換，如何用旋轉(zhuǎn)變換都是需要培養(yǎng)的能力。學(xué)生在這方面的能力微乎其微，變化的圖形中發(fā)現(xiàn)不變量，挖掘本質(zhì)特征更是知之甚少，而當(dāng)今數(shù)學(xué)能力很重要一點(diǎn)建立

4、圖形的運(yùn)動(dòng)感，在變換中利用化歸思想，解決相關(guān)問(wèn)題，所以針對(duì)以上特點(diǎn)確定了一下教學(xué)目標(biāo)：三、教學(xué)目標(biāo)：根據(jù)全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)內(nèi)容制定教學(xué)目標(biāo)如下：知識(shí)技能：掌握旋轉(zhuǎn)變換的意義，能夠利用旋轉(zhuǎn)變換將線段或角進(jìn)行有效轉(zhuǎn)移放在同一條直線上從而解決相關(guān)問(wèn)題數(shù)學(xué)思考： 通過(guò)對(duì)變化的圖形中不變量的提取、培養(yǎng)學(xué)生的劃歸意識(shí)和建模思想問(wèn)題解決： 通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換解決線段的和差問(wèn)題培養(yǎng)合情推理能力及演繹推理的表達(dá)情感態(tài)度：通過(guò)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)及變化的圖形中尋找不變的量，體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的勇氣和成就感，培養(yǎng)學(xué)生自主思考合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。四、教學(xué)重點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變換將線段放在一條直線上的條件五、教學(xué)難點(diǎn)：如何在變化的

5、圖形中發(fā)現(xiàn)不變的因素將線段利用旋轉(zhuǎn)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)移。六、教學(xué)準(zhǔn)備：1. 采用啟發(fā)式與合作交流式教學(xué)，通過(guò)教師的引導(dǎo)，使學(xué)生通過(guò)觀察、分析、討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)旋轉(zhuǎn)的條件及共線的條件，充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體的教學(xué)思想。2. 運(yùn)用幾何畫板輔助教學(xué)，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生對(duì)知識(shí)不僅有直觀的感性認(rèn)識(shí)，為掌握抽象的理性知識(shí)，建模思想創(chuàng)造條件，而且在學(xué)生的思維中建立圖形的運(yùn)動(dòng)觀念。七、多媒體資源分析數(shù)學(xué)教材中許多概念的形成、規(guī)律的得出、結(jié)論的推導(dǎo)，重點(diǎn)都在“過(guò)程”，利用多媒體課件，可以使學(xué)生頭腦中形成一種“清晰”的“動(dòng)態(tài)表象”，有利于他們的思維的發(fā)展。幾何學(xué)習(xí)中最主要的是發(fā)展學(xué)生的合情推理，發(fā)展學(xué)生的空間想象觀念，

6、和圖形的 ，就本節(jié)課而言是以四邊形為依托，由特殊圖形到一般圖形，直觀的呈現(xiàn)了圖形的發(fā)生演變過(guò)程，通過(guò)對(duì)關(guān)鍵條件的表面關(guān)系及一般性的關(guān)系的探究，培養(yǎng)學(xué)生在變化的條件變化的圖形中抽取關(guān)鍵的條件，從而正確建立圖形特殊與一般，靜止與運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化的量與不變的量之間的必然聯(lián)系。就本節(jié)課學(xué)生的元認(rèn)知而言面臨幾大難題：一是對(duì)旋轉(zhuǎn)變換的動(dòng)態(tài)理解；二是對(duì)旋轉(zhuǎn)條件，共線條件的本質(zhì)性的理解；三是通過(guò)對(duì)全等形的選擇與全等條件的尋找與發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀思維。這三個(gè)難點(diǎn)的突破如果只讓學(xué)生自己作圖分情況思考，一是靜止的圖形很難讓學(xué)生建立之間的內(nèi)在聯(lián)系；二是無(wú)法發(fā)展學(xué)生的圖形運(yùn)動(dòng)的思維，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。所以本節(jié)課主要的多媒

7、體就是利用幾何畫板軟件來(lái)突破以上的三大問(wèn)題。 一是能夠直觀的呈現(xiàn)原始圖形。構(gòu)建的圖形加上內(nèi)部顏色填充讓學(xué)生一目了然，進(jìn)行對(duì)比；二是能夠有效的建立圖形的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)。通過(guò)原始圖形，變換后的圖形及如何旋轉(zhuǎn)過(guò)去的動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生清晰的理解運(yùn)動(dòng)過(guò)程；三是構(gòu)建圖形的精準(zhǔn)性，顏色的靈活性，條件呈現(xiàn)時(shí)機(jī)的可操控性，能夠?qū)D形，條件結(jié)論及方法本質(zhì)的提取提供有效的幫助。八、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖時(shí)間一、前知反饋二、新知交流（一）線段和的關(guān)系交流學(xué)習(xí)（二）線段差的交流與學(xué)習(xí)活動(dòng)三歸納反思活動(dòng)四反饋達(dá)標(biāo)前知1：旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)圖形有哪些結(jié)論？結(jié)合下圖說(shuō)明。前知2：已知正方形ABCD，P是B

8、C邊上一點(diǎn)，是作出將DCP繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后的圖形DAM。并思考M、A、B三點(diǎn)是否在同一條直線上？并思考?xì)w納：本題將不在同一直線上的線段AB與CP利用旋轉(zhuǎn)放到了一條直線上。那么在證明線段關(guān)系中有什么作用呢？讓我們一起研究探究提原型在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)且EAF45 °。猜測(cè)線段EF、BE、FD三者存在哪種數(shù)量關(guān)系？ 糾正證明過(guò)程（強(qiáng)化格式；強(qiáng)調(diào)共線的證明；強(qiáng)調(diào)45度角與90度角的差的和與45度的關(guān)系）教師演示旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，說(shuō)明圖形的前后的變化過(guò)程變式1 ：在四邊形ABCD中，ABAD， BD90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EAF是BAD

9、的一半。原型中猜測(cè)的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由此題難點(diǎn)，由特殊數(shù)值抽象角的2倍關(guān)系，如何證明角的相等關(guān)系變式2：在四邊形ABCD中，將BD90°改成B+D180°，其余條件不變，原型中的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由此題難點(diǎn)：由兩個(gè)90度角互補(bǔ)一般化為任意角互補(bǔ)，證明共線（演示旋轉(zhuǎn)過(guò)程）變式3：在原型中，若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，其余條件沒(méi)變。猜測(cè)線段EF、BE、FD三者數(shù)量關(guān)系有沒(méi)有變化請(qǐng)說(shuō)明理由幾何畫板演示原型到變式3的發(fā)上過(guò)程。（教師可根據(jù)情況提示如何判斷是否發(fā)生變化：測(cè)量）提問(wèn)：1.為什么還可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化提問(wèn)2.全等關(guān)系的角的關(guān)系如何證明變式4：在變式1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)E

10、平移到BC的延長(zhǎng)線上，問(wèn)變式3的結(jié)論是否變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。（適時(shí)呈現(xiàn)全等形）提問(wèn)：通過(guò)一個(gè)原型和四個(gè)變式（展示幾何畫板二）歸納1. 旋轉(zhuǎn)的目的是什么？ 2. 旋轉(zhuǎn)的前提條件是什么？3. 哪個(gè)條件是作為證明二次全等的角相等的？4. 哪個(gè)條件是為證明共線創(chuàng)造條件的變式5：（練習(xí)）在變式2的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)E平移到BC的延長(zhǎng)線上，問(wèn)變式3的結(jié)論是否變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。同伴互答12旋轉(zhuǎn)角相等：BCE=ACD獨(dú)立作圖作圖后利用實(shí)物投影進(jìn)行展示交流M、A、B三點(diǎn)在同一直線上（并說(shuō)明理由）同伴討論交流之后利用事物投影展示結(jié)果（證明過(guò)程）EF=BE+DF難點(diǎn)：證明二次全等中的角相等EAF=BAEDAFEAFBAPFADBAP+FAD=EAF即：EAPFAE觀察運(yùn)動(dòng)過(guò)程體會(huì)變量與不變的量同伴交流結(jié)果討論證明的方法。EF=BE-DF發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵條件自主構(gòu)建全等形，并發(fā)現(xiàn)結(jié)論的存在性證明方法基本思路同變式11. 將兩條線段放在一條直線上構(gòu)成線段和。2.存在從同一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條相等線段。3.存在從同一頂點(diǎn)出發(fā)形成的被叫關(guān)系。4.從同一頂點(diǎn)出發(fā)的相等線段的另外兩個(gè)端點(diǎn)形成的內(nèi)角存在互補(bǔ)關(guān)系。自主訓(xùn)練（寫出完整的格式）證明方法基本思路同變式2掌握旋轉(zhuǎn)變換的相關(guān)性質(zhì)，為后面的利用此結(jié)論證明線段和做準(zhǔn)備掌握基本的旋轉(zhuǎn)變換的作