控制系統(tǒng)的時域分析法

1、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法一基本內(nèi)容1 了解規(guī)定典型輸入信號的意義；2 熟練掌握一階、二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)及暫態(tài)性能指標(biāo)的計算；3 了解高階系統(tǒng)的組成、階躍響應(yīng)及其與閉環(huán)零點、極點的關(guān)系；掌握閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念，了解用二階系統(tǒng)響應(yīng)近似分析高階系統(tǒng)性能的方法；4 了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念，熟練掌握線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件及勞斯穩(wěn)定判據(jù)；5 了解控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的定義，熟練掌握穩(wěn)態(tài)誤差的計算與分析。二重點和難點本章的主要內(nèi)容是通過研究系統(tǒng)的時域響應(yīng)去評價系統(tǒng)的性能，即穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)控制系統(tǒng)時間響應(yīng)的暫態(tài)分量即暫態(tài)響應(yīng)。通常以階躍響應(yīng)表征系統(tǒng)的暫態(tài)性能。二階系統(tǒng)的典型傳

2、遞函數(shù)為式中 阻尼比無阻尼自然振蕩角頻率，當(dāng)時，典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 其單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-1所示 其性能指標(biāo)：上升時間 （其中,用弧度表示）峰值時間 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間 （或）圖3-1典型二階系統(tǒng)的單位階躍響曲線對于高階系統(tǒng)，其暫態(tài)響應(yīng)可以看成是由一階和二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分量組合而成的。如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)中距離虛軸最近的閉環(huán)極點，其實部僅有其他極點實部的或更小一些，并且該閉環(huán)極點附近無閉環(huán)零點，則可認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定。這種閉環(huán)極點被稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點。通常系統(tǒng)的主導(dǎo)極點是共軛復(fù)數(shù)極點，故系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能也可由相應(yīng)的二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)近似估計。2線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）系統(tǒng)穩(wěn)定性

3、的概念和穩(wěn)定的充分必要條件一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件，就是它必須是穩(wěn)定的。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)受到擾動作用后偏離原來的平衡狀態(tài)，在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過度時間能否回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)或足夠準(zhǔn)確地回到原來的平衡狀態(tài)的性能。若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若擾動消失后系統(tǒng)不能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而與外部輸入無關(guān)。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其特征方程式（即閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式）為 線性系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的所有根（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點）全部為負(fù)實數(shù)或為具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的極點均應(yīng)

4、位于平面虛軸的左側(cè)。（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)指出：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:特征方程式的各項系數(shù)都大于零，且勞斯表左端第一列各系數(shù)都大于零。（注：如果特征方程式中的系數(shù)有負(fù)的或為零，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的） 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號發(fā)生變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素正負(fù)號的改變次數(shù)等于特征方程式的根在平面右半部分的個數(shù)。勞斯表中兩種特殊情況（a）勞斯表中某一行第一列的元素為零，但其余各項不為零或沒有其余項。在這種情況下，可以用一個很小的正數(shù)代替這個零，并繼續(xù)列勞斯表。如果勞斯表第一列中上下各項的符號相同，則說明系統(tǒng)存在一對虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果上下各項的符號不同，表明有符號變化

5、，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (b) 如果勞斯表中某一行中的所有元素都為零，則表明系統(tǒng)存在大小相等符號相反的實根和（或）實部相反的共軛復(fù)根（包括純虛根）。這時可以利用該行上面一行的系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程式（必為偶次），將對輔助方程式求導(dǎo)后的系數(shù)列入該行，并繼續(xù)列勞斯表。平面中這些大小相等，徑向相反的根可以通過求解輔助方程式得到，而且這些根的個數(shù)總是偶數(shù)。3穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指，穩(wěn)定系統(tǒng)在輸入加入后，經(jīng)過足夠長的時間，其暫態(tài)響應(yīng)已衰減到微不足道時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實際值之間的誤差。穩(wěn)態(tài)誤差可以衡量某種特定類型信號輸入系統(tǒng)后的穩(wěn)態(tài)精度。圖3-2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-2所示，在此定義誤差為給定

6、信號與反饋信號之差，即 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的擾動誤差傳遞函數(shù)為： （1）給定穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法 應(yīng)用拉氏變換的終值定理計算 注意：在平面的右半平面及虛軸上（原點除外）必須解析。應(yīng)用靜態(tài)誤差系數(shù)計算如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)的個數(shù)為，則當(dāng)?shù)扔?、1、2 時，系統(tǒng)分別稱為0型系統(tǒng)、1型系統(tǒng)、2型系統(tǒng) 。愈高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性愈差。靜態(tài)誤差系數(shù)分別為：位置誤差系數(shù) 速度誤差系數(shù) 加速度誤差系數(shù) 當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號為時，擾動穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法 三典型例題分析 例 3-1 已知單位反饋隨動系統(tǒng)如圖3-3所示。若，。試求：（1）典型二階系統(tǒng)的

7、特征參數(shù)和；（2）暫態(tài)特性指標(biāo)和； （3）欲使，當(dāng)不變時，應(yīng)取何值。 圖3-3隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解： 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比較得 已知、值，由上式可得于是，可 為使，由公式可求得，即應(yīng)使由0.25增大到0.5，此時 即值應(yīng)減小4倍。 例3-2 設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-4所示。如果該系統(tǒng)為單位反饋控制系統(tǒng)，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖3-4 單位階躍響應(yīng)曲線解：由圖3-4可知本例題系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，可以從上圖直接得出和。由 可以解得： 所以系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 例3-3控制系統(tǒng)框圖如圖3-5所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量，且峰值

8、時間。試確定與的值，并計算在此情況下系統(tǒng)上升時間和調(diào)整時間。 圖3-5 控制系統(tǒng)框圖解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的特征方程為。所以 由題設(shè)條件：，可解得，進(jìn)而求得在此情況下系統(tǒng)上升時間 調(diào)整時間 例 3-4 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式分別為1 23試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解題的關(guān)鍵是如何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判斷穩(wěn)定性。1列勞斯表如下s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5s1 -6s0 5勞斯表中第一列系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又由于第一列系數(shù)的符號改變兩次，1-65，所以系統(tǒng)有兩個根在s平面的右半平面。2列勞斯表如下s4 1 1 1 s3

9、2 2 s2 0() 1 s1 2-2/s0 1由于是很小的正數(shù)，行第一列元素就是一個絕對值很大的負(fù)數(shù)。整個勞斯表中第一列元素符號共改變兩次，所以系統(tǒng)有兩個位于右半s平面的根。3列勞斯表如下s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 0 0 由上表可以看出，s3行的各項全部為零。為了求出s3各行的元素，將s4行的各行組成輔助方程式為 A(s)= s4+3s2+2s0將輔助方程式A(s)對s求導(dǎo)數(shù)得用上式中的各項系數(shù)作為s3行的系數(shù)，并計算以下各行的系數(shù)，得勞斯表為s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 4 6 s2 3/2 2s1 2/3 s0 2從上表的第一列系數(shù)可以看出，各行符號沒有改變，說明

10、系統(tǒng)沒有特征根在s右半平面。但由于輔助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系統(tǒng)有兩對共軛虛根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。例 3-5 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-6所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解： 解題的關(guān)鍵是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖正確求出系統(tǒng)的特征方程式，然后再用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 圖3-6控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其閉環(huán)特征方程式為 s3 + 3s2 + 2s+ =0 列勞斯表為： s3 1 2 s2 3 s1 (6-)/3 s0 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即和，因此，

11、的取值范圍為，并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為=6。例 3-6 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。（1） （2）試求：1靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)；2求當(dāng)輸入信號為時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：（1）首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為型，可以求得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下：(2) 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為型，可以求得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下： 注意：該例中若取，則由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定

12、義靜態(tài)誤差系數(shù)，也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。例 3-7設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-7所示，輸入信號，試求使的值取值范圍。解：穩(wěn)態(tài)誤差只有在系統(tǒng)穩(wěn)定時才有意義，因此應(yīng)首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 圖3-7控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其閉環(huán)特征方程為，由勞斯判據(jù)可知，當(dāng)時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 則 當(dāng)輸入信號為時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下：由已知條件，可求出。因此的取值范圍為。四習(xí)題3-1 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：（1）求阻尼比系數(shù)時的值；（2）當(dāng)=5時，求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)和。3-2 設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-8所示。如果要求系統(tǒng)的最大超調(diào)量，上升時間。試確定放大系數(shù)和反饋系數(shù)的數(shù)值，并求出在此和

13、情況下系統(tǒng)的峰值時間和調(diào)整時間 (取允許誤差帶為穩(wěn)態(tài)值的)。圖3-8控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖3-3 已知某二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-9所示。如果該系統(tǒng)為單位反饋控制系統(tǒng)，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)圖3-9 二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3-4設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試分別求=10和=20時系統(tǒng)的阻尼比、無阻尼自振頻率、單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和峰值時間，并討論的大小對動態(tài)性能的影響。3-5 已知控制系統(tǒng)的特征方程如下，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求其不在左半s平面的根的數(shù)目。 （1） （2） （3） （4）。 （1）； （2）試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的的值范圍3-7 已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 （1）； （2）； （3） 3-8單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K和值的范圍，并畫穩(wěn)定區(qū)域3-9已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求：（1）位置誤差系數(shù)、速度