數(shù)學論文數(shù)學中的對稱美及應用

1、談數(shù)學中的對稱美與在解題中的應用吳戀，數(shù)學計算機科學學院摘要 本文首先討論了數(shù)和式中的對稱美.其次運用對稱思想來解決數(shù)學問題.在數(shù)學問題的解題過程中，巧妙地構(gòu)造對稱美，從整體上把握問題的實質(zhì)，優(yōu)化解題過程.先是就對稱在微積分中的應用，列舉了一些重要的結(jié)論及其在解題中的具體應用.再研究了幾何圖形中的對稱美.然后討論了數(shù)學中其它方面的對稱美.特別是對稱在記憶數(shù)學公式和數(shù)學方法中的應用.最后探討了對稱思想在數(shù)學教學中的應用，通過在數(shù)學教學中落實對稱的數(shù)學美的思想方法，從而促進學生形成學習數(shù)學知識的良好的、積極的情感行為，更好地理解數(shù)學知識，提高學生解決數(shù)學問題的能力.關鍵詞：對稱；數(shù)學美；輪換對稱性

2、；積分區(qū)間；對稱性原理；數(shù)學思想1引言1.1對稱美對稱性的感受逐慚成為一項美學準則，廣泛應用于建筑、造型藝術、繪畫以及工藝美術的裝飾之中.你可以從許多中、外著名的建筑、藝術珍品中看到.天壇的建筑、天安門的建筑、頤和園長廊的建筑以及各種花瓶、古人飲酒的爵和各種花邊等等是旋轉(zhuǎn)對稱、左右對稱和平移對稱的典型例子.這些對稱美給人以勻稱、均衡、連貫、流暢的感受，因而體現(xiàn)著一種嫻靜、穩(wěn)重、莊嚴.在現(xiàn)實世界中,既有形態(tài)各異的自然對稱,又有巧奪天工的人工對稱,它們構(gòu)成了一幅人與自然和諧的優(yōu)美畫卷.因此,對稱是宇宙和自然界的基本屬性,也是事物適應周圍環(huán)境而生存發(fā)展和繁衍生息的自然規(guī)律,充分展現(xiàn)出事物協(xié)調(diào)環(huán)境、自

3、我完善的、和諧的自然美.1.2數(shù)學中的對稱美美，不僅存在于藝術、文學中，存在于大自然以及社會生活中，而且也存在于自然科學中，存在于數(shù)學之中.早在兩千多年前，古代哲學家、數(shù)學家普洛克拉斯曾說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”這就是說，數(shù)學中也充滿了美的因素.作為一門科學，數(shù)學在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上都具有自身的某種美，即數(shù)學美.數(shù)學美的內(nèi)容非常豐富，包括普適美、對稱美、簡潔美、比例美、和諧美、奇趣美等特性.其中對稱性是數(shù)學美的重要特性之一，正如德國著名的數(shù)學家和物理學家魏爾所說的：“美和對稱性緊密相連”.數(shù)學對稱美是數(shù)學美的重要組成部分,它普遍存在于初等數(shù)學與高等數(shù)學的各個分支，在數(shù)學研究中有著重要的

4、作用,一直是數(shù)學們長期追求的目標，有時甚至把它作為一種尺度，是數(shù)學創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的美學方法之一.在數(shù)學中，不少的概念與運算，都是由人們對于“對稱”問題的探討派生出來的.數(shù)學中眾多的軸對稱，中心對稱圖形和等量關系都被賦予了平衡、協(xié)調(diào)的對稱美.對于數(shù)學概念，也是一分為二地成對出現(xiàn)的：整分，奇偶，和差，曲直，方圓，分解組合，平行交叉，正比例反比例，都顯得那么的穩(wěn)定、和諧、協(xié)調(diào)、平衡，如此地奇妙動人.2數(shù)和式的對稱美2.1數(shù)的對稱美在數(shù)學中，如果一個整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，我們就稱這個數(shù)是對稱數(shù).例如：1234321、123321等.對稱數(shù)可以分為奇位對稱數(shù)和偶位對稱數(shù).奇位對稱數(shù)是指位數(shù)是奇數(shù)的

5、對稱數(shù)，奇位對稱數(shù)位數(shù)最中間的那個數(shù)字稱為對稱軸數(shù).偶位對稱數(shù)是指位數(shù)是偶數(shù)的對稱數(shù)，偶位對稱數(shù)沒有對稱軸數(shù).產(chǎn)生對稱數(shù)的方法有很多種：(1) 形如11、111、1111、的數(shù)的平方數(shù)是對稱數(shù).如：1×9+2=1112×9+3=111.123456789×9+10=1111111111(2)某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進行下去，也可得到對稱數(shù).如：475475+574=10491049+9401=1045010450+05401=1585115851也是對稱數(shù).美的主要形式就是秩序，勻稱和確定性，上面的幾個式子就巧妙的體現(xiàn)了數(shù)和式中

6、的對稱美.可以看出，數(shù)學與美學是緊密相連，相輔相成的.2.2式的對稱美如果在代數(shù)式中，把任意的兩個字母對換，代數(shù)式仍然保持不變，像這樣的代數(shù)式就稱為是對稱代數(shù)式或?qū)ΨQ式.如：,互換式子中的,得到的式子仍然成立.在對稱式中，字母是對稱的，地位是平等的.在二項式定理：中，如果把當?shù)亩検秸归_式的系數(shù)列成如下：1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 這就是著名的“楊輝三角”，它是宋朝數(shù)學家楊輝的杰作.楊輝三角是我國數(shù)學發(fā)展史上的一個成就，它反映的就是數(shù)學美的對稱性.在代數(shù)學中，也存在著漂亮的對稱式，如：初等對稱多項式：

7、，它在解題中也有廣泛的應用.其中在運用初等對稱多項式解題時聯(lián)系最緊密的就是根與系數(shù)的關系定理：對于n次多項式的n個根有如下關系：由此定理可以非常簡便的求出關于多項式根的對稱多項式的值.例1.設，是方程的三個根，計算：（*）的值.解：令. ， ，則 ,.再將（*）式化為初等對稱多項式的多項式，得：=-.由上面的例子可以看出，對稱性在數(shù)學中是廣泛存在的，數(shù)學與對稱是緊密相連的.3對稱美在數(shù)學中的應用3.1對稱在數(shù)學解題中的應用解題是一門藝術，對稱性是藝術的一個非常重要的要素，如果在解題的過程中注意到對稱性，那么就可以減少一些繁瑣的計算，化難為易，提高解題的效率，達到事半功倍的效果.微分與積分也是一

8、對具有對稱美的事物，而對稱性的方法也是微積分計算中常用的方法.3.1.1對稱在微分學中的一些結(jié)論與應用定理：（1）若，則；(2) 若，則.因此若求出，則可直接寫出，與的關系，也是如此.例2.設，求出，.解：，.對稱的有：，.3.1.2對稱在積分學中的一些結(jié)論和應用3.1.2.1在重積分計算中，經(jīng)常利用多元函數(shù)的輪換對稱性來解題.輪換對稱性的定義:若積分區(qū)域或被積函數(shù)的表達式中,將其變量x,y,z按下列次序:xy;yz;zx后,其表達式均不變,則稱積分區(qū)域或被積函數(shù)關于變量x,y,z具有輪換對稱性.定理1：(二重積分的坐標輪換對稱性)如果區(qū)域D的邊界曲線方程是關于x,y地位對稱，在上連續(xù),則定理

9、2：(三重積分的坐標輪換對稱性)如果有界閉區(qū)域的邊界曲面的方程關于x,y,z地位對稱,在上連續(xù),則.由此，可以推廣到：定理3：(n重積分的坐標輪換對稱性)如果n維有界閉區(qū)域V的邊界曲面的方程關于地位對稱，在V上連續(xù),則=例3.計算三重積分，其中是所圍成正方形(為一大于0的實數(shù)).解：中被積函數(shù)及積分區(qū)域都有輪換對稱性.所以 ，故.2 利用積分區(qū)間的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可簡化定積分的計算.定理：設是上的連續(xù)函數(shù)，則通過變換，可得：=這就是積分區(qū)間的對稱原理.特別地，當時，有.例4.求積分.解：由于在上有界，且只有可去間斷點,故定積分存在.由積分區(qū)間對稱原理可得：原積分.若被積函數(shù)是非奇非偶

10、時，通過適當?shù)膿Q元或拆項等方法也可轉(zhuǎn)化為對稱區(qū)間的積分問題.把積分區(qū)間的對稱性原理推廣到二元函數(shù)積分中，可以得到結(jié)論：結(jié)論1：設關于y軸對稱,則其中是的右半部分:.結(jié)論2：設關于x軸對稱,則其中是的上半部分:.結(jié)論3：設關于x軸和y軸均對稱，且關于變量x和變量y均為偶函數(shù)，則其中是在第一象限的部分：.結(jié)論4：設關于原點對稱,則其中,.結(jié)論5：設關于直線y=x對稱，則特別地，當時,.例5.計算二重積分,其中.解：關于x軸和y軸均對稱,而分別關于變量x和y為奇函數(shù),故,所以：.同樣地，將它應用到三重積分中.例6.計算三重積分,其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.解:關于坐標面x=0對稱,且關于變量x為奇函

11、數(shù),故.所以.例10.計算三重積分,其中.解:積分區(qū)域V是以原點O(0,0,0)為中心的單位球域,所以V關于xoy平面對稱，被積函數(shù)是關于z的奇函數(shù),故由對稱性知.由上可見，在解決微積分問題時，巧妙應用對稱性的觀點去解題，可以使運算過程更加的快捷、流暢，計算結(jié)果更加的精確.3.2 對稱在數(shù)學中的其他應用對稱是形式美的顯著特征,就數(shù)學而言,不僅讓枯燥抽象的數(shù)學公式變得容易記憶,而且也是數(shù)學命題證明必不可少的一種方法.3.2.1利用對稱性記憶公式在數(shù)學分析中,斯托克斯公式有一種形式表示法:其中P,Q,和R為連續(xù)可微函數(shù),S為逐片光滑的有界雙側(cè)曲面,C為包圍S的逐段光滑的簡單閉曲線,為曲面S在點處的

12、單位法向量,方向為逆時針,這個公式的右邊是用第一型曲面積分表示的,被積函數(shù)是一個三階行列式.若取平面上的平面區(qū)域D作曲面S,并取上側(cè),則斯托克斯公式右側(cè)的三階行列式為于是斯式公式就變成了格林公式,由此可見,格林公式是斯式公式的特例.類似地,奧式公式可表示為其中S是包圍V的逐片光滑曲面,P,Q,R在S+V上是連續(xù)可微的,為曲面S上點處的單位法向量.不難看出,斯式公式和奧式公式都是由三個矢量(P,Q,R),及所決定的.上述一些形式上的對稱性,是數(shù)學分析中追求對稱形式美的有利證據(jù).一些望而生怯的公式由于有了對稱美,變得非常容易記憶了.3.2.2數(shù)列解題中的的對稱思想在數(shù)列解題中,存在著大量的對稱思想

13、,無論是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,都含有豐富的對稱之美.我們知道：只要，其中，就有（）（等差數(shù)列）（）（等比數(shù)列）利用這個數(shù)量關系來處理有關數(shù)列問題，常常能化繁為簡.例11.（）已知為等差數(shù)列，且，求（）已知為等比數(shù)列，求解：（）,（）,例12.在等差數(shù)列中，求.解：由此可以看出，如果在等差數(shù)列中，由條件不能具體的求出和，但可以求出和的組合式，而所求的量往往可以用這個組合式來表示，那么就用“整體代值”的方法將值求出，同樣的方法也可以用在等比數(shù)列中.3.3 對稱美與數(shù)學教學人們常說：“成功的教學給人以一種美的享受”.而長期以來，在數(shù)學教學中，人們總是重視基礎知識和基本技能的傳授與訓練，而忽視了美育的

14、滲透，不善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學本身所特有的美，不注意用數(shù)學美來感染誘發(fā)學生的求知欲望，激發(fā)他們的學習興趣，不重視引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，鑒賞數(shù)學美，以致使一些學生感到數(shù)學抽象枯燥，失去學好的信心.心理學研究表明：沒有絲毫興趣的強制性學習，將會扼殺學生探求真理的欲望.因此，只有學生熱愛數(shù)學，才能產(chǎn)生積極而又持久的求學勁頭.我國數(shù)學家徐利治認為：“數(shù)學教學的目的之一是使學生獲得對數(shù)學的審美能力，即能增進學生對數(shù)學美的主觀感受能力.”數(shù)學的教學過程不僅僅是學生個體的認識過程和發(fā)展過程，而且也是在教師指導下的一種特殊審美過程.因此在教學過程中，應當把數(shù)學美的內(nèi)容通過教學過程的設計向?qū)W生揭示出來，從而使學生認識到數(shù)學

15、的內(nèi)容是美的，并且充分運用數(shù)學美的誘發(fā)力引起學生濃厚的學習興趣、強烈的求知欲望，使抽象、高深的數(shù)學知識得以形象化、趣味化，使學生從心理上愿意接近它、接受它，直到最終熱愛它.對稱美是數(shù)學中最普遍的一種美.圖形的對稱、式子的對稱和解題方法的對稱等，都能給人以勻稱的美感，用對稱的觀點去處理數(shù)學問題，往往可以從問題的一部分聯(lián)想起與此對稱的另一部分，從而采取補全的方法，使之構(gòu)成一種整體的對稱美，使問題化繁為簡，化難為易.在數(shù)學教學過程中，充分發(fā)掘教材中的對稱式的美，運算中的對稱美、函數(shù)中的對稱美、幾何圖形中的對稱美，激發(fā)學生對數(shù)學美的體驗，使學生從數(shù)學的顯性美提高到對數(shù)學隱性美的認識，從感性認識上升到理

16、性認識，使學生對所學的知識更易于接受，便于理解，培養(yǎng)學生愛好數(shù)學、認識數(shù)學美的興趣.在數(shù)學問題的求解過程中，充分運用對稱的數(shù)學美的思想方法，可以使學生感受到對稱美，增強求知欲，使數(shù)學問題的解決更加簡捷明快，從而提高了學生的直覺思維能力和形象思維能力，開拓解題新思路，進而提高了學生解決問題的能力和對數(shù)學思想方法的領悟，使學生由此而產(chǎn)生學習數(shù)學的興趣.在數(shù)學解題過程中,若能積極挖掘問題中隱含的對稱性,巧妙地利用對稱性,可使復雜的問題變得條理清楚,脈絡分明,能化難為易、化繁為簡.例如對于數(shù)列中的若干項的和或積的問題,如果能對其結(jié)構(gòu)進行對稱性的分析,將數(shù)學的對稱美與題目的條件或結(jié)論相結(jié)合,就能構(gòu)建一組

17、互相關聯(lián)的對偶式,從而確定解題的總體思路或入手方向.其實質(zhì)是讓美的啟示、美的追求在解題過程中成為宏觀指導力量,使問題的解決過程更加簡潔明快.數(shù)學中蘊涵著豐富的美，除了對稱美以外，還有很多.把數(shù)學美的和諧對稱、簡單統(tǒng)一等特征融貫在教學的整個過程中，可以發(fā)展學生思維的靈活性、發(fā)散性、深刻性、獨創(chuàng)性等諸方面的能力就得到培養(yǎng)和提高.使學生在美的享受中，獲得知識，理解知識，掌握知識.結(jié)術語 數(shù)學并不等于美學，但是數(shù)學中卻真實地蘊藏著豐富的美學內(nèi)涵，而對數(shù)學內(nèi)在美的追尋探索，又會使人們更迅速、更確切的洞悉數(shù)學的真諦.對稱美是數(shù)學美的重要特征之一，對稱美是一個廣闊的主題，數(shù)學則是它根本.我們應該更深刻地掌握我們的所學專業(yè)知識，積極地去理解數(shù)學，學好數(shù)學，這樣才能更好的走向工作崗位，取得成功.參考文獻：1錢雙平.對稱性在高等數(shù)學解題中的應用-數(shù)學美學方法的應用，云南電大學報，2004,6(2):62-63.2馬銳.數(shù)學中的對稱美,昆明冶金高等?？茖W校學報,