曲線的參數(shù)方程

1、曲線的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo)：1通過分析拋物運(yùn)動中時間與運(yùn)動物體位置的關(guān)系，寫出拋物運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。2分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。3會進(jìn)行參數(shù)方程和普通方程的互化。教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)問題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。參數(shù)方程和普通方程的互化。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。參數(shù)方程和普通方程的等價互化。教學(xué)過程一參數(shù)方程的概念1探究：如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m的高處以100m/s的速度作水平直線飛行，為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不計(jì)空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時機(jī)呢？（1）平拋運(yùn)動：一

2、、方程組有3個變量，其中的x,y表示點(diǎn)的坐標(biāo)，變量t叫做參變量，而且x,y分別是t的函數(shù)。二、由物理知識可知，物體的位置由時間t唯一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y由t唯一確定，這樣當(dāng)t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點(diǎn)的軌跡。三、平拋物體運(yùn)動軌跡上的點(diǎn)與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對（x,y）之間有一一對應(yīng)關(guān)系。xyOv=v0練習(xí)：斜拋運(yùn)動：2參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么方程(2)就叫做這條曲線的參數(shù)方

3、程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。說明：（1）一般來說，參數(shù)的變化范圍是有限制的。（2）參數(shù)是聯(lián)系變量x，y的橋梁，可以有實(shí)際意義，也可無實(shí)際意義。例1已知曲線C的參數(shù)方程是 (t為參數(shù))（1）判斷點(diǎn)M1(0,1),M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，求a的值。A、一個定點(diǎn) B、一個橢圓 C、一條拋物線 D、一條直線xyOrMM0x二圓的參數(shù)方程 圓的參數(shù)方程的一般形式說明：（1）隨著選取的參數(shù)不同，參數(shù)方程形式也有不同，但表示的曲線是相同的。（2）在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)

4、及參數(shù)的取值范圍。三參數(shù)方程和普通方程的互化例1、已知圓方程x2+y2 +2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解： x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程， （x+1）2+（y-3）2=1，參數(shù)方程為 (為參數(shù))例2 如圖，圓O的半徑為2，P是圓上的動點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動時，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。明確參數(shù)方程和普通方程的互化的方法。注意，在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。四課堂練習(xí)鞏固與提高1與普通方程xy=1表示相同曲線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）是（D）A B C D2下列哪個點(diǎn)在曲線上（C）A(2,7) B

5、 C D(1,0)3曲線的軌跡是（D）A一條直線 B一條射線 C一個圓 D一條線段4方程表示的曲線是（D）A余弦曲線 B與x軸平行的線段 C直線 D與y軸平行的線段5曲線上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（D）A B C1 D6方程(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是（D）A一個定點(diǎn) B一個橢圓 C一條拋物線 D一條直線7直線與圓相切，那么直線的傾斜角為（A）A或 B或 C或 D或8曲線的一個參數(shù)方程為。9曲線的普通方程為。10已知，則的最大值是6。11設(shè)飛機(jī)以勻速v=150m/s作水平飛行，若在飛行高度h=588m處投彈（設(shè)投彈的初速度等于飛機(jī)的速度，且不計(jì)空氣阻力）。（1）求炸彈離開飛

6、機(jī)后的軌跡方程；（2）試問飛機(jī)在離目標(biāo)多遠(yuǎn)（水平距離）處投彈才能命中目標(biāo)。解：（1）。（2）1643m。12火炮以為發(fā)射角，為初速度發(fā)射，求炮彈的軌跡方程。解：。13動點(diǎn)M從起點(diǎn)M0(1,2)出發(fā)作等速直線運(yùn)動，它在x軸與y軸方向上的分速度分別為6和8，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。解：。14求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分別代入直線方程,得交點(diǎn)為（0，2）和（2，0）。圓的參數(shù)方程的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：利用圓的幾何性質(zhì)求最值（數(shù)形結(jié)合）過程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程 教學(xué)重點(diǎn)：會用圓的參數(shù)方程求最

7、值。教學(xué)難點(diǎn)：選擇圓的參數(shù)方程求最值問題. 教學(xué)過程：一、最值問題1.已知P（x,y）圓C：x2+y26x4y+12=0上的點(diǎn)。 （1）求 的最小值與最大值 （2）求xy的最大值與最小值2.圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線3x+4y-25=0的距離最小值是；2/.圓(x-1)2+(y+2)2=4上的點(diǎn)到直線2x-y+1=0的最短距離是_；3. 過點(diǎn)(2,1)的直線中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦：為最長的直線方程是_；為最短的直線方程是_；4若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-2x+4y=0，則x-2y的最大值為 ；二、參數(shù)法求軌跡1)一動點(diǎn)在圓x2y2=1上移動,求它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)

8、的軌跡方程2)已知點(diǎn)A(2,0),P是x2+y2=1上任一點(diǎn),的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌跡.C.參數(shù)法解題思想：將要求點(diǎn)的坐標(biāo)x,y分別用同一個參數(shù)來表示例題：1)點(diǎn)P(m,n)在圓x2+y2=1上運(yùn)動,求點(diǎn)Q(m+n,2mn)的軌跡方程2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若該方程表示一個圓,求m的取值范圍和圓心的軌跡方程。圓錐曲線的參數(shù)方程教學(xué)目的：知識與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義過程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡單曲線的參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及

9、方法教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程. 授課類型：新授課教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對應(yīng)的參數(shù)方程。(1)圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)）2寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3能模仿圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎？二、講解新課： 1.橢圓的推導(dǎo)：橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）2.雙曲線的參數(shù)方程：雙曲線參數(shù)方程 （為參數(shù)）3.拋物線的參數(shù)方程：拋物線參數(shù)方程 （t為參數(shù)）1、 關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說明：（1） 參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義。（2） 同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)

10、方程形式也不一樣（3） 在實(shí)際問題中要確定參數(shù)的取值范圍2、 參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點(diǎn)的兩個坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數(shù)方程實(shí)際上是一個方程組，其中，分別為曲線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。3、 參數(shù)方程求法（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為 （2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式（4）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程4、 關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取選取參數(shù)的原則是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對簡單。與運(yùn)動有關(guān)的問題選取時

11、間做參數(shù)與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題選取角做參數(shù)或選取有向線段的數(shù)量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等。二、 典型例題：例1設(shè)炮彈發(fā)射角為，發(fā)射速度為，（1）求子彈彈道曲線的參數(shù)方程（不計(jì)空氣阻力）（2）若，當(dāng)炮彈發(fā)出2秒時， 求炮彈高度 求出炮彈的射程例2求橢圓的參數(shù)方程（見教材P.40）橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）變式訓(xùn)練1. 已知橢圓 (為參數(shù))求 （1）時對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo) （2）直線OP的傾斜角 變式訓(xùn)練2 A點(diǎn)橢圓長軸一個端點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使OPA=90°，其中O為橢圓中心，求橢圓離心率的取值范圍。例3把圓化為參數(shù)方程（1） 用圓上任一點(diǎn)過原點(diǎn)的弦和軸正半軸夾角為參數(shù)（2） 用圓中過原

12、點(diǎn)的弦長為參數(shù) 三、鞏固與練習(xí)四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線的方程的方法;2體會參數(shù)的意義五、課后作業(yè)：教材P34習(xí)題2.2圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用教學(xué)目的：知識與技能：利用圓錐曲線的參數(shù)方程來確定最值，解決有關(guān)點(diǎn)的軌跡問題過程與方法：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。教學(xué)難點(diǎn)：正確使用參數(shù)式來求解最值問題授課類型：新授課教學(xué)模式：講練結(jié)合教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：通過參數(shù)簡明地表示曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)將解析幾何中以計(jì)算問題化為三角問題，從而運(yùn)用三角性質(zhì)及變換公式幫助求解諸如

13、最值，參數(shù)取值范圍等問題。二、講解新課： 例1求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值變式訓(xùn)練1橢圓 （）與軸正向交于點(diǎn)A，若這個橢圓上存在點(diǎn)P，使OPAP，（O為原點(diǎn)），求離心率的范圍。例2AB為過橢圓中心的弦， 為焦點(diǎn)，求ABF1面積的最大值。例3拋物線的內(nèi)接三角形的一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其重心恰是拋物線的焦點(diǎn)，求內(nèi)接三角形的周長。例4 、過P（0，1）到雙曲線最小距離變式訓(xùn)練2：設(shè)P為等軸雙曲線上的一點(diǎn)，為兩個焦點(diǎn)，證明例5，在拋物線的頂點(diǎn)，引兩互相垂直的兩條弦OA，OB，求頂點(diǎn)O在AB上射影H的軌跡方程。 三、鞏固與練習(xí)四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 適當(dāng)使用參數(shù)表示已知曲線上的點(diǎn)用以求最值問題五、

14、課后作業(yè)： 直線的參數(shù)方程教學(xué)目的：知識與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義 過程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件,寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：曲線參數(shù)方程的定義及方法教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程. 授課類型：新授課教學(xué)模式：啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).一、復(fù)習(xí)引入： 1寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對應(yīng)的參數(shù)方程。圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)）2寫出橢圓參數(shù)方程.3復(fù)習(xí)方向向量的概念.提出問題:已知直線的一個點(diǎn)和傾斜角,如何表示直線的參數(shù)方程?二、講解新課： 1、 教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的

15、參數(shù)方程：過定點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）2、 辨析直線的參數(shù)方程：T的幾何意義是指它表示點(diǎn)P0P的長,帶符號.三、直線的參數(shù)方程應(yīng)用：課本例題,此略. 四、小結(jié)：（1）直線參數(shù)方程求法 （2）直線參數(shù)方程的特點(diǎn)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，注意參數(shù)的意義五、作業(yè)：課本P39習(xí)題2.3參數(shù)方程與普通方程互化教學(xué)目的：知識與技能：掌握參數(shù)方程化為普通方程幾種基本方法過程與方法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)化普通方程為參數(shù)方程 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化教學(xué)難點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的等價性授課類型：新授課教學(xué)模式：啟發(fā)

16、、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：（1）圓的參數(shù)方程（2）橢圓的參數(shù)方程二、講解新課： 1、參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)（2） 三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)（3） 整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去?；瘏?shù)方程為普通方程為：在消參過程中注意變量、取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定和值域得、的取值范圍。2、常見曲線的參數(shù)方程（1）圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（2）圓參數(shù)方程為： （為參數(shù)）（3）橢圓參數(shù)方程 （為參數(shù)）（4）雙曲線參數(shù)方程 （為參數(shù)）（5）拋物線參數(shù)方程 （t為參

17、數(shù)）（6）過定點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）典型例題1、 將下列參數(shù)方程化為普通方程（1） （2）（3） （4） （5）變式訓(xùn)練1 2、（1）方程 表示的曲線 A、一條直線 B、兩條射線 C、一條線段 D、拋物線的一部分（2）下列方程中，當(dāng)方程表示同一曲線的點(diǎn)A、 B、 C、 D、例2化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程，并指出它是什么曲線。（1） （t是參數(shù)） （2） （是參數(shù)）（3） （t是參數(shù)）變式訓(xùn)練2。P是雙曲線 （t是參數(shù)）上任一點(diǎn)，是該焦點(diǎn)：求F1F2的重心G的軌跡的普通方程。例3、已知圓O半徑為1，P是圓上動點(diǎn)，Q（4，0）是軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)

18、動時，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。變式訓(xùn)練3： 已知為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值。三、鞏固與練習(xí)四、小 結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 熟練記憶把參數(shù)方程化為普通方程的幾種方法。五、課后作業(yè)：見教材53頁 .5圓的漸開線與擺線教學(xué)目的：知識與技能：了解圓的漸開線的參數(shù)方程, 了解擺線的生成過程及它的參數(shù)方程.過程與方法：學(xué)習(xí)用向量知識推導(dǎo)運(yùn)動軌跡曲線的方法和步驟 情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。 教學(xué)重點(diǎn)： 圓的漸開線的參數(shù)方程，擺線的參數(shù)方程教學(xué)難點(diǎn)： 用向量知識推導(dǎo)運(yùn)動軌跡曲線的方法授課類型：新授課教學(xué)模式：講練結(jié)合 啟發(fā)引導(dǎo) 自學(xué)指導(dǎo) 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法 償試指導(dǎo)法 啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 復(fù)習(xí)：圓的參數(shù)方程二、講解新課： 1、以基圓圓心O為原點(diǎn)，直線OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得圓漸開線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）2、在研究平擺線的參數(shù)方程中，取定直線為軸，定點(diǎn)M滾動時落在直線上的一個位置為原點(diǎn)，建