數(shù)列的前n項(xiàng)和的幾種方法

1、數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法福田中學(xué)雷鳴一、知識(shí)回顧1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。；（；） 2.裂項(xiàng)相消法: 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))，其基本方法是（1） （2）（3）若 an 分別是等差數(shù)列，公差是d，則：（4）例1：求和解答 數(shù)列an的前n項(xiàng)和： 遷移1：求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)，則 =2：步步高72頁(yè)例題33.錯(cuò)位相減法: 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中

2、an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例2：求當(dāng)時(shí)，求和：解：由題可知 該數(shù)列的通項(xiàng)為是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè)： （設(shè)制錯(cuò)位） 得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：又 遷移2：求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè)： （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 4.倒序相加法: 類(lèi)似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法. 就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè)a1+an. 【特點(diǎn)：一個(gè)常數(shù)或定值】例3：求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得 （反序）又由可得 . +得 （反序相加） 遷移3：求的值解：設(shè). 將式右邊反序

3、得. （反序） 又因?yàn)?+得 （反序相加）89 44.55.分組求和法: 有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例4：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得（分組）當(dāng)a1時(shí)，（分組求和）當(dāng)時(shí)，遷移4：求數(shù)列前項(xiàng)和6，合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求.例5：求 解：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)的和為一個(gè)定值，或 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列共有奇數(shù)項(xiàng) （合并求和）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng) （合

4、并求和） =n遷移5：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè) cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項(xiàng)） （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89&

5、#176;+ cos91°）+ cos90°（合并求和） 0（二）.常用結(jié)論1） 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 二、基本訓(xùn)練1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_.2.設(shè)，則_.3.求和： .4. 數(shù)列1×4，2×5，3×6，n×(n+3)，則它的前n項(xiàng)和= .5. 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，前n項(xiàng)和 .三、例1 、求下列各數(shù)列前n項(xiàng)的和 例2、在數(shù)列中，求S10和S99例、已知數(shù)列中，試求前2n項(xiàng)的和例、 已知函數(shù)（），（1）求的反函數(shù)；（2）若，求；（3）若，求數(shù)列前n項(xiàng)和。四、作業(yè) 1、

6、等比數(shù)列an中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a1a2a3an=2n1，則a12a22a32+an2等于(A) (B) (C) (D) 2、等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為 (A)130 (B)170 (C)210 (D)2603、求和： .4、數(shù)列的前n項(xiàng)和是 .5、 數(shù)列，3q，5q2，7q3的前n項(xiàng)和是 _.6、 數(shù)列滿足，則通項(xiàng)公式 ，前n項(xiàng)和 .7、 _.8、在數(shù)列中，已知_.9，設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，求10、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令()，求數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.11、等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，Sn為其前項(xiàng)和，求和：S1+S2+S3+S12、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，