數(shù)值計(jì)算課后答案

1、 習(xí) 題 一 解 答1取3.14，3.15，作為的近似值，求各自的絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：求絕對(duì)誤差的方法是按定義直接計(jì)算。求相對(duì)誤差的一般方法是先求出絕對(duì)誤差再按定義式計(jì)算。注意，不應(yīng)先求相對(duì)誤差再求絕對(duì)誤差。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定義來(lái)求，即先由絕對(duì)誤差確定近似數(shù)的絕對(duì)誤差不超過(guò)那一位的半個(gè)單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理2后，可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2，首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。解：（1）絕對(duì)誤差:e(x)=3.143.141592653.140.001590.0016。相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.141

2、59265=0.314159265×10，3.140.314×10，m=1。而3.143.141592653.140.00159所以3.140.001590.005=0.5×102所以，3.14作為的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。（2）絕對(duì)誤差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，3.150.315×10，m=1。而3.153.141592653.150.008407所以3.150.0084070.05=0.5×101所以，3.

3、15作為的近似值有2個(gè)有效數(shù)字。（3）絕對(duì)誤差:相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。（4）絕對(duì)誤差:相對(duì)誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有7個(gè)有效數(shù)字。指出：實(shí)際上，本題所求得只能是絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，而不是絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。2、用四舍五入原則寫(xiě)出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。3467854，7000009，00001324580，0600300解：346785434679，700000970000，00

4、001324580000013246，0600300060030。指出：注意0。只要求寫(xiě)出不要求變形。3、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出他們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對(duì)誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對(duì)誤差限，再求相對(duì)誤差限，最后確定有效數(shù)字個(gè)數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對(duì)誤差限分別是由絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的關(guān)系，相對(duì)誤差限分別是有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。指出：本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫(xiě)出絕對(duì)誤差，用定義求出相對(duì)誤差。4.計(jì)算的近似值，使其相對(duì)誤差

5、不超過(guò)0.1。解：設(shè)取n個(gè)有效數(shù)字可使相對(duì)誤差小于0.1，則 ，而，顯然，此時(shí)， ，即，也即所以，n=4。此時(shí)，。5、在計(jì)算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對(duì)，試求它們的機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)及其相對(duì)誤差。解：其相對(duì)誤差分別是。6、在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)，試按兩種算法計(jì)算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：精確計(jì)算得：第一種算法按從小到大計(jì)算,但出現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)量級(jí)相差較大的數(shù)相加,容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個(gè)相近的數(shù)相減,容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計(jì)算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。*在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個(gè)數(shù)，試按兩種算法計(jì)算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)

6、果比較。解：第一種算法是按從小到大的順序計(jì)算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計(jì)算更精確。精確計(jì)算得：顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計(jì)算機(jī)的機(jī)器數(shù)系為F(10,2,L,U)，用浮點(diǎn)運(yùn)算分別從左到右計(jì)算及從右到左計(jì)算試比較所得結(jié)果。解：從左到右計(jì)算得從右到左計(jì)算得從右到左計(jì)算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計(jì)算精確。8、對(duì)于有效數(shù)，估計(jì)下列算式的相對(duì)誤差限分析：求和差的相對(duì)誤差限采取先求出和差的絕對(duì)誤差限再求相對(duì)誤差限的方法。求積商的相對(duì)誤差限采取先求每一個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差限再求和的方法。解：因?yàn)槎际怯行?shù)，所以則指出:如果簡(jiǎn)單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計(jì)算,則不夠精確。注意是相對(duì)誤差限的討論

7、。符號(hào)要正確，商的誤差限是誤差限的和而不是差。9、試改變下列表達(dá)式，使其計(jì)算結(jié)果比較精確（其中表示x充分接近0，表示x充分大）。(1)；(2)；(3)；(4);(5)。分析：根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒(méi)有簡(jiǎn)單有效的方法時(shí)就采用泰勒展開(kāi)的方法。解：(1)；(2) ；(3)或(4)(5)指出：采用等價(jià)無(wú)窮小代換的方法一般不可行。近似計(jì)算中的誤差并不是無(wú)窮小量，利用無(wú)窮小量等價(jià)代換，兩個(gè)量的差別可能恰恰是影響精度的因素。采用等價(jià)無(wú)窮小代換，可能只會(huì)得到精度水平比較低的結(jié)論。例如試與上例比較。有時(shí)候這種方法可以使用，例如因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在這個(gè)計(jì)算中，由于x是常數(shù)，x的函數(shù)值實(shí)際上放大了每一項(xiàng)的計(jì)算

8、結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問(wèn)題不很突出。而利用一階的泰勒展開(kāi)，當(dāng)時(shí)，就有，因此和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開(kāi)的方法具有一般性并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會(huì)有方法上出錯(cuò)的可能。采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實(shí)際上，無(wú)論是等價(jià)無(wú)窮小還是洛必達(dá)法則都是極限方法，而因?yàn)榻朴?jì)算中的誤差雖然可以近似地看作是微分，但本質(zhì)上卻是一個(gè)確定的可能極小的小數(shù)而不是無(wú)窮?。ㄚ呌诹愕淖兞浚?，因此近似計(jì)算是不能采用極限方法的。轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡(jiǎn)，比如化繁分式為簡(jiǎn)分式，但不能取極限。取極限就違背的了數(shù)值計(jì)算的本意。所以，是錯(cuò)誤的。極小的數(shù)做除數(shù)，實(shí)際上是型的不定型，要轉(zhuǎn)化為非不定型。10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保

9、證有較高的精度？解：根據(jù)，先查表求出再計(jì)算出要求的結(jié)果精度較高。指出：用度數(shù)就可以。不必化為弧度。11、利用求方程的兩個(gè)根，使它們至少具有4位有效數(shù)字。解：由方程的求根公式，本方程的根為因?yàn)?，則如果直接根據(jù)求根公式計(jì)算第二個(gè)根，則因?yàn)閮蓚€(gè)相近的數(shù)相減會(huì)造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達(dá)定理，在求出后這樣計(jì)算：這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。12、試給出一種計(jì)算積分，近似值的穩(wěn)定算法。解：當(dāng)n0時(shí)，。()。對(duì)In運(yùn)用分部積分法()得由此得到帶初值的遞推關(guān)系式由遞推公式In1nIn1 解得，這是逆向的遞推公式，對(duì)In的值作估計(jì)，有 另有 (取e的指數(shù)為最小值0，將ex取作 e0 1作為

10、常數(shù)即可簡(jiǎn)化公式）。則 。 那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取 可以看出，n越大，這個(gè)近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長(zhǎng)度就越短，近似值和精確值就越接近)此時(shí)，en1=In1*In1=(In*In) en，e0= en，計(jì)算是穩(wěn)定的。實(shí)際上，如果我們要求I9，可以先求出I20，這樣求出的I9的誤差是比I20的誤差小得多的，而I20的誤差本身也并不大。實(shí)際上，這樣求出的I9比直接計(jì)算出來(lái)的精確得多。補(bǔ)充題（一）1、給出數(shù)系F(10,4,-5,5)中的最大數(shù)、最小數(shù)和最小整數(shù)。解：最大數(shù)：0.9999×105；最小數(shù)：0.999

11、9×105；最小正數(shù)：0.0001×105。2、已知，求它在F(10，5，5，5）和F(10，8，5，5）中的浮點(diǎn)數(shù)。解：在F(10，5，5，5）中，在F(10，8，5，5）中，3、已知數(shù)e的以下幾個(gè)近似數(shù)，它們分別有幾位有效數(shù)字？相對(duì)誤差是多少？。分析：題目沒(méi)有說(shuō)明近似數(shù)是通過(guò)哪種途徑取得的，也就沒(méi)有明確每個(gè)近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)之間的誤差關(guān)系。所以，本題的解答應(yīng)當(dāng)從求近似數(shù)的誤差開(kāi)始。解：因?yàn)椋?，分別有4、5、8個(gè)有效數(shù)字。其相對(duì)誤差分別是4、數(shù)與下述各式在實(shí)數(shù)的意義上是相等的，（1），（2），（3），（4），（5），（6）。試說(shuō)明在浮點(diǎn)數(shù)系中，用哪個(gè)公式計(jì)算出的結(jié)果誤差最

12、小。分析：本題實(shí)際上是一個(gè)算法分析與設(shè)計(jì)問(wèn)題，也就是說(shuō)要應(yīng)用算法設(shè)計(jì)的基本原則進(jìn)行分析討論。解：在本例中，顯然3和在浮點(diǎn)數(shù)系中是相近的數(shù)。進(jìn)一步地，17和、19601和也是相近的數(shù)。因此：為避免相近的數(shù)相減，不應(yīng)采用（1）、（3）、（5）三種計(jì)算方法。在余下的三種計(jì)算方法中，（2）需要進(jìn)行4次乘除法，（4）需要進(jìn)行7次乘除法，（6）需要進(jìn)行1次除法。從減少運(yùn)算次數(shù)來(lái)說(shuō)，應(yīng)采用（6）。所以，采用（6）計(jì)算，計(jì)算結(jié)果誤差最小。5、，當(dāng)時(shí)，如何計(jì)算才能獲得準(zhǔn)確的結(jié)果？解：當(dāng)（即很小時(shí)），f(x)的分子是兩個(gè)相近的小數(shù)相減，而分母也是一個(gè)小數(shù)，因此應(yīng)避免簡(jiǎn)單地按原計(jì)算順序直接計(jì)算，而應(yīng)進(jìn)行變形。由泰勒

13、展開(kāi)得因此此處最后略去部分的第一項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，這一部分是相當(dāng)小的值，可以略去。指出：如果要提高計(jì)算精度，就可以考慮保留更多的項(xiàng)。補(bǔ)充題（二）（一）1、計(jì)算e的近似值，使其誤差不超過(guò)106。2、利用計(jì)算f(0.1)的近似值，其誤差不超過(guò)102，求n。 3、3.142和3.141分別作為的近似數(shù)，各有幾位有效數(shù)字？4、已知近似數(shù)x的相對(duì)誤差限為0.3,問(wèn)x至少有幾個(gè)有效數(shù)字？5、已知x的下列3個(gè)近似數(shù)的絕對(duì)誤差限都是0.005，問(wèn)它們的有效數(shù)字各有幾位？a=138.00，b=-0.0132，c=-0.86×10-46、設(shè)近似值x=1.234，且絕對(duì)誤差界為0.0005，則它至少有幾位有效數(shù)字

14、？7、某校有學(xué)生6281人，通常說(shuō)有6000人。下面哪個(gè)式子表示6000這個(gè)近似數(shù)合適？分析與解答1、解：令f(x)=ex,而f（k)(x)=ex,f（k)(0)=e0=1。由麥克勞林公式，可知當(dāng)x=1時(shí)，故。 當(dāng)n9時(shí)，Rn(1)<106，符合要求。此時(shí)，e2.718 285解決這類問(wèn)題其實(shí)很簡(jiǎn)單。只要知道了泰勒展開(kāi)式，余下的就只是簡(jiǎn)單的計(jì)算了。泰勒(Taylor)中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在(a,b)上存在n+1階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的x，x0a，,b，至少存在一點(diǎn)（a，,b），使得 其中， 叫做拉格朗日型余項(xiàng)。當(dāng)x0=0時(shí),得到麥克勞林公式。2、解

15、：所以，n=2。3、3.14159265=0.314159265×10，3.1420.3142×10，m=1。因?yàn)?.1423.141592653.1420.00040所以，3.1420.000400.0005=0.5×103所以，3.142作為的近似值有4個(gè)有效數(shù)字。 小數(shù)點(diǎn)后幾個(gè)0，10的指數(shù)的絕對(duì)值就是幾。4、解：設(shè)x有n位有效數(shù)字，其第一位有效數(shù)字按最不利情況取為9，則，由上可得，n2.2，所以取n=2。5、解：，所以m-n=-2。a=138.00=0.13800×103，則m=3，所以n=3-(-2)=5，即a有5位有效數(shù)字；b=-0.0132

16、=-0.132×10-1，則m=-1，所以n=-1-(-2)=1，所以b有1位有效數(shù)字。c=-0.86×10-4，則m=4，所以n=4-(-2)=2<0，所以c沒(méi)有有效數(shù)字。6、解：因?yàn)榻茢?shù)x=1.234的絕對(duì)誤差界為0.0005，所以，則m-n=-3。而x=1.2340.1234×101，則m=1，所以n=1-(-3)=4，所以，x=1.234有4位有效數(shù)字。7、解：哪個(gè)式子表示6000這個(gè)近似數(shù)合適實(shí)際上要看近似數(shù)6000有多少個(gè)有效數(shù)字。6281近似到十位、百位，千位分別是寫(xiě)成科學(xué)記數(shù)的形式分別是可見(jiàn)，上述寫(xiě)法中，第一種是合適的。實(shí)際上，所以m=4,

17、而所以m-n=3，則n=m-3=4-3=1，即近似數(shù)6000只有一個(gè)有效數(shù)字，所以，只有這種寫(xiě)法是合適的。（二）1、已知測(cè)量某長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為a110米，寬為b80米。若a*a0.1（米），b*b0.1（米），試求其面積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。2、已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角的測(cè)量誤差都不超過(guò)0.1°，則計(jì)算第三個(gè)角時(shí)，絕對(duì)誤差不超過(guò)多少。3、若x1=1.03±0.01，x2=0.45±0.01，計(jì)算的近似值并估計(jì)誤差。4、已知測(cè)量某長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為a110米，寬為b80米。若a*a0.2（米），b*b0.1（米），試?yán)枚嘣瘮?shù)的誤差分析方法求其面積S=ab的絕對(duì)誤差

18、限和相對(duì)誤差限，并與四則運(yùn)算的誤差分析比較。5、如果用電表測(cè)得一個(gè)電阻兩端的電壓和通過(guò)的電流分別是V=110±2(V)，I=20±0.5(A)試運(yùn)用歐姆定律求這個(gè)電阻值R的近似值，并估計(jì)所求出的近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。6、已知近似值a1=2.21,a2=4.63,a3=7.98是由四舍五入得到的，它們的絕對(duì)誤差界都是0.005試估計(jì)和的相對(duì)誤差界。分析與解答1、2、提示：內(nèi)角和為180°，而且180是準(zhǔn)確數(shù)，沒(méi)有誤差。3、由已知，x1=1.03，x10.01，x2=0.45，x20.01。所以，(x1)x10.01，(x2) x20.01。所以，y的絕對(duì)誤差限為將有關(guān)數(shù)據(jù)代入函數(shù)表達(dá)式，可以求出函數(shù)值的近似值為，則y的相對(duì)誤差限為進(jìn)一步地，本題的絕對(duì)誤差限可以看作是0.05，那么計(jì)