數(shù)學(xué)建模教室用電

1、 教室用電的優(yōu)化設(shè)計(jì)專業(yè)：電氣工程及其自動化班級：電氣14-8班學(xué)號：2014022319（27）姓名：呂剛 摘 要學(xué)校教室的資源優(yōu)化配置問題，是現(xiàn)如今各大學(xué)比較普遍的管理問題，教室開放座位數(shù)與上自習(xí)的學(xué)生人數(shù)之間始終難以得到協(xié)調(diào)統(tǒng)一。一方面，學(xué)校希望節(jié)約用電，提高基本資源的利用率；另一方面，學(xué)生希望能在環(huán)境較好，人數(shù)不多的教室上自習(xí)，即學(xué)生上自習(xí)的滿意度要求較高。本文提出了0-1整數(shù)規(guī)劃，多目標(biāo)規(guī)劃等兩種方法來對教室用電等相關(guān)問題進(jìn)行求解。針對問題一，求解安排開放教室的方案。即以各教室用電的總功率最小為目標(biāo)函數(shù)，建立一個(gè)整數(shù)規(guī)劃模型（0-1整數(shù)規(guī)劃，利用LINGO軟件進(jìn)行求解）得到問題一的（

2、教室）開放方案，結(jié)果見表1。針對問題二，以節(jié)約用電和提高學(xué)生的滿意程度為目的，重新求解安排開放教室的方案，給出合理的滿意程度的度量。即考慮節(jié)約用電和提高學(xué)生的滿意程度，建立了一個(gè)多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃模型。利用“極差標(biāo)準(zhǔn)化法”對教室用電的總功率和學(xué)生的滿意程度指標(biāo)進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理，最后進(jìn)行綜合加權(quán)將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)。以教室容量，上自習(xí)人數(shù)，學(xué)生滿足率，教室滿座率和開放的教室集中程度為約束條件，引入分散度，對開放的教室集中程度進(jìn)行衡量，使決策更具有有效性。運(yùn)用LINGO軟件進(jìn)行求解，得到了問題二新的（教室）開放方案結(jié)果見表6。關(guān)鍵字：資源優(yōu)化配置 整數(shù)規(guī)劃 分散度 極差標(biāo)準(zhǔn)化法 LINGO軟件 一、問

3、題背景 近年來，大學(xué)用電浪費(fèi)比較嚴(yán)重，集中體現(xiàn)在學(xué)生上晚自習(xí)上，一種情況是去某個(gè)教室上自習(xí)的人比較少，但是教室內(nèi)的燈卻全部打開，第二種情況是晚上上自習(xí)的總?cè)藬?shù)比較少，但是開放的教室比較多，即要求提供一種最節(jié)約、最合理的管理方法。1.3需要解決的問題1、假如學(xué)校有8000名同學(xué)，每個(gè)同學(xué)是否上自習(xí)相互獨(dú)立，上自習(xí)的可能性為0.7.要使需要上自習(xí)的同學(xué)滿足程度不低于95%，開放的教室滿座率不低于4/5，同時(shí)盡量不超過90%。問該安排哪些教室開放，能達(dá)到節(jié)約用電的目的.2、假設(shè)這8000名同學(xué)分別住在10個(gè)宿舍區(qū)，現(xiàn)有的45個(gè)教室分為9個(gè)自習(xí)區(qū)，按順序5個(gè)教室為1個(gè)區(qū)，即1,2,3,4,5為第1區(qū)，

4、41,42,43,44,45為第9區(qū)。學(xué)生到各教室上自習(xí)的滿意程度與到該教室的距離有關(guān)系，距離近則滿意程度高，距離遠(yuǎn)則滿意程度降低。假設(shè)學(xué)生從宿舍區(qū)到一個(gè)自習(xí)區(qū)的距離與到自習(xí)區(qū)任何教室的距離相同。請給出合理的滿意程度的度量，并重新考慮如何安排教室，既達(dá)到節(jié)約用電目的，又能提高學(xué)生的滿意程度。另外盡量安排開放同區(qū)的教室。 二、問題分析考慮問題的題設(shè)條件和要求，要解決的是學(xué)校自習(xí)教室的資源優(yōu)化配置問題，在滿足每題要求的前提情況下，設(shè)計(jì)出教室開放的最節(jié)約，最合理的優(yōu)化方案，從而達(dá)到節(jié)約用電并且滿足同學(xué)們需求度，資源優(yōu)化配置問題是一類典型的規(guī)劃問題，對于規(guī)劃問題的求解步驟基本是：第一步，建立目標(biāo)函數(shù)；

5、第二步，搜索約束條件；第三步，對規(guī)劃函數(shù)進(jìn)行求解。2.1 對問題一的分析問題問該安排哪些教室開放，能達(dá)到節(jié)約用電的目的，即以節(jié)約用電為目標(biāo)，通過安排是否開放教室，設(shè)計(jì)出一個(gè)最優(yōu)化的合理方案。因此可以引入0-1變量，運(yùn)用整數(shù)規(guī)劃模型建立目標(biāo)函數(shù)，再以題目中需要上自習(xí)的同學(xué)滿足程度即滿座率要求得出約束條件，最后用LINGO編程求解出教室管理安排的最優(yōu)方案。2.2 對問題二的分析問題要求給出合理的滿意程度的度量，并重新考慮如何安排教室，既達(dá)到節(jié)約用電目的，又能提高學(xué)生的滿意程度。即首先考慮第一區(qū)的教室數(shù)是否滿足學(xué)生上自習(xí)的人數(shù)，然后建立目標(biāo)函數(shù)，求出最優(yōu)解，并且考慮兩個(gè)方面，一是對學(xué)校來講，節(jié)約用電

6、是最優(yōu)目的，即所使用電的總功率最小；二對于學(xué)生來說，應(yīng)該盡可能的提高學(xué)生的滿意度，達(dá)到學(xué)生的需求。對于學(xué)生的滿意度的度量問題，我們以宿舍區(qū)和自習(xí)區(qū)的距離來度量滿意度，對于開放同區(qū)的教室，引入分散度的概念來進(jìn)行規(guī)劃，將用電量與學(xué)生滿意度加權(quán)之差最小作為目標(biāo)函數(shù)，建立0-1規(guī)劃模型，利用Lingo軟件對其求解。 三、模型假設(shè) 1、全校學(xué)生是否上自習(xí)是相互獨(dú)立事件；2、假設(shè)教室所有的座位完好，且環(huán)境相同，不存在同學(xué)愿不愿去坐的狀況， 每位同學(xué)僅占一個(gè)座位；3、假設(shè)教室的燈管都完好，如果一個(gè)教室被使用，即將教室內(nèi)所有燈管全 部打開；4、假設(shè)學(xué)生去上自習(xí)概率不受外界客觀因素的影響，如天氣，病假等；5、假

7、設(shè)學(xué)生到各個(gè)教室的意愿相同，無不想去的教室；6、假設(shè)學(xué)生上晚自習(xí)的時(shí)間相同，不存在早退晚回的情況；7、需搭建教室時(shí)，忽略不同型號教室之間搭建費(fèi)用的差異；8、假設(shè)僅考慮正常上課的情況，不考慮假期教室空閑、臨近考試階段緊張 復(fù)習(xí)等因素；9、所有同學(xué)都有一個(gè)相同的滿足的標(biāo)準(zhǔn)，即在滿座率低于一定水平時(shí)認(rèn)為 得到滿足。 四、符號定義符號定義與說明第個(gè)教室是否開放（0表示不開放，1則表示為開放）開放的第個(gè)教室的座位數(shù)開放的第個(gè)教室的燈管數(shù)開放的第個(gè)教室每只燈管的功率從宿舍區(qū)到自習(xí)區(qū)的學(xué)生人數(shù)從宿舍區(qū)到自習(xí)區(qū)的學(xué)生滿意度總體學(xué)生滿意度第個(gè)教室的滿座率第個(gè)教室的用電量 五、模型的建立和求解5.1問題一模型建立

8、和求解5.1.1模型建立學(xué)校有8000名同學(xué)，每個(gè)同學(xué)是否上自習(xí)相互獨(dú)立，上自習(xí)的可能性為0.7.要使需要上自習(xí)的同學(xué)滿足程度不低于95%，開放的教室滿座率不低于4/5，同時(shí)盡量不超過90%，問該安排哪些教室開放，能達(dá)到節(jié)約用電的目的。設(shè)表示學(xué)生滿足率、表示第個(gè)教室的滿座率，代表所有開放的教室消耗的電功率，考慮到用電的總功率與開放教室的方案有關(guān)，同時(shí)用0-1規(guī)劃模型來確定教室開放的方案，所以建立如下模型的目標(biāo)函數(shù)：首先，目標(biāo)是達(dá)到節(jié)約用電的目的，即目標(biāo)函數(shù)應(yīng)該為。然后，需要上自習(xí)的同學(xué)滿足程度不低于95%，即上自習(xí)的人數(shù)至少為人。 最后，需要滿足的限制條件為開放的教室滿座率不低于4/5，同時(shí)盡

9、量不超過90%，即即整數(shù)規(guī)劃模型為：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：5.1.2模型求解根據(jù)題目中建立的整數(shù)規(guī)劃模型，運(yùn)用LINGO軟件進(jìn)行編程求解，可以得到45個(gè)教室的開放情況及教室的滿座率如下表1所示：表1 各個(gè)教室的開放情況及教室的滿座率情況教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率100.901010.901910.902810.903710.90200.851100.852010.902910.903810.90310.901210.902110.903010.903910.90410.901310.902210.903110.894010.9051

10、0.901410.902310.893210.904100.87610.901500.852410.903300.854200.90710.901600.852510.883410.904310.90810.901710.902610.903510.904400.80910.901810.902710.903610.904500.80其中，開放情況中0表示對應(yīng)教室關(guān)閉，1表示教室開放?？偣查_放教室35個(gè)，占教室總數(shù)的77.78%，其中第1，2，11，15，16，33，41，42，44，45教室關(guān)閉，開放的教室消耗的最少電功率為74093.0W。5.2問題二模型建立和求解5.2.1模型建立首先，

11、對滿意度做一個(gè)合理的規(guī)定。如果純粹用路程的倒數(shù)來作為滿意度的衡量未免有失偏頗，所以假設(shè)在每個(gè)宿舍區(qū)的學(xué)生到各個(gè)自習(xí)區(qū)都有一個(gè)最大滿意度，并把這個(gè)度量規(guī)定為1，即表示每個(gè)同學(xué)都有一個(gè)最滿意的自習(xí)區(qū)，當(dāng)滿意度的量值為1 的時(shí)候?qū)W生們最滿意。如果學(xué)生不是最滿意， 則滿意度將小于1。則依據(jù)以上對學(xué)生上自習(xí)滿意度的度量標(biāo)準(zhǔn)可得各個(gè)宿舍區(qū)到各個(gè)自習(xí)區(qū)的學(xué)生滿意度。如下圖圖一所示，對應(yīng)的學(xué)生滿意度表如表2所示。表2 從A宿舍區(qū)到B自習(xí)區(qū)的學(xué)生滿意度表B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.85921.00000.466350.80260.72790.53980.73670.62500.9356A20.5

12、6120.73170.83160.77080.89860.82451.00000.73310.6457A30.75000.69061.00000.84960.62640.67130.79340.72870.6214A40.98770.59151.00000.68670.75830.49231.00000.52720.4651A50.55460.62660.81260.77351.00000.69300.90190.56430.6531A60.82800.64380.94590.80880.57210.67191.00000.60530.6975A70.87850.81200.57270.563

13、40.69420.58680.64660.97801.0000A80.71761.00000.67180.53230.90500.97130.55960.56170.9967A91.00000.81650.57380.95050.68680.55520.52300.53210.9192A100.74900.75680.81861.00000.63330.62240.61080.73520.6916下來對滿意度作如下規(guī)定：表示從第宿舍區(qū)到自習(xí)區(qū)的學(xué)生人數(shù)；表示從宿舍區(qū)到自習(xí)區(qū)的學(xué)生滿意度；設(shè)滿意度的函數(shù)指標(biāo)為，每個(gè)學(xué)生從宿舍區(qū)到自習(xí)區(qū)的滿意，其中可由從 A 宿舍區(qū)到 B自習(xí)區(qū)的學(xué)生滿意度表表三查

14、得。最后，再設(shè)為從宿舍區(qū)到自習(xí)區(qū)的學(xué)生人數(shù)。規(guī)定滿意度的指標(biāo)函數(shù)等于所有上自習(xí)學(xué)生的滿意度之和，即：用電量指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)與模型一相同。而模型二考慮了兩個(gè)目標(biāo)，為了同時(shí)使用電功率和滿意度達(dá)到最優(yōu)，定義一個(gè)綜合指數(shù)作為和的衡量標(biāo)準(zhǔn)，這里使用的是線性權(quán)值法。但是由于不同的指標(biāo)性質(zhì)不同，量綱不同，之間不具有可比性和可加性。為了得到一個(gè)實(shí)用性更強(qiáng)的資源配置模型，將各指標(biāo)抽象成同質(zhì)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)處理，得到單一目標(biāo)。先對用電量指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，采用的是極差標(biāo)準(zhǔn)化法： 是各教室的用電量，表示標(biāo)準(zhǔn)化后的各教室的用電量。 再對學(xué)生滿意度指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：表示從宿舍區(qū)到自習(xí)區(qū)的學(xué)生滿意度；表示標(biāo)準(zhǔn)化后的學(xué)生的

15、滿意度，如下表表3所示。表3 學(xué)生滿意度標(biāo)準(zhǔn)化B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10.74610.0330.6440.5090.1710.5250.3240.883A20.2090.5160.6960.5870.8170.68310.5190.361A30.5490.44210.7290.3270.4080.6270.5110.318A40.8990.2170.9210.3810.5040.04610.1060A50.1970.3270.6620.59210.4470.8230.2150.375A60.6900.3580.9020.6550.2290.40910.2890.455A70.7

16、810.6610.2300.2130.4490.2550.3630.9601A80.49110.4080.1570.8280.9480.2060.2100.994A910.6690.2320.9100.4350.1980.1400.1570.854A100.5470.5620.67310.3390.3190.2990.5230.444現(xiàn)在定義和分別為用電功率和學(xué)生滿意度的權(quán)值，有如下目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式：即：下來我們找出相應(yīng)的約束條件：1、 若表示這個(gè)教室開放；反之表示這個(gè)教室不開放2、 因?yàn)閺拿總€(gè)宿舍區(qū)到各個(gè)不同的自習(xí)區(qū)上自習(xí)的人數(shù)等于現(xiàn)在所有開放 的教室所容納的人數(shù)，所以有如下關(guān)系： 3、用表示

17、學(xué)生能上自習(xí)的滿足率，根據(jù)已知條件有： 4、用表示第個(gè)教室的滿座率，根據(jù)已知條件有： 5、假設(shè)每個(gè)宿舍區(qū)人數(shù)相等均為800人，而上自習(xí)的可能性為0.7，則每 個(gè)宿舍區(qū)需要上自習(xí)的學(xué)生為560人；且有到各個(gè)自習(xí)區(qū)的第宿舍的 人數(shù)之和為，應(yīng)等于第宿舍區(qū)上自習(xí)的人數(shù)。即滿足關(guān)系： 6、去每個(gè)自習(xí)區(qū)的人數(shù)不能超過其最大容量與滿座率的乘積。去每個(gè)自習(xí) 區(qū)的人數(shù)為，第個(gè)自習(xí)區(qū)的最大容量與滿座率的乘積 ，則對于第個(gè)自習(xí)區(qū)來說，它滿足的關(guān)系為： 7、另外題目要求盡量安排開放同區(qū)的教室，據(jù)此定義為自習(xí)區(qū)教室的 分散度，然后定義為第個(gè)自習(xí)區(qū)的教室開放比例，因?yàn)槊總€(gè)區(qū) 有5個(gè)教室，所以的取值只有 5個(gè)，即 下面說明

18、的值怎么確定： 第自習(xí)區(qū)開放的教室數(shù)量為，那么第自習(xí)區(qū)的開放比例為由此，可以確定所有開放教室的分散度為：由于當(dāng)開放教室的數(shù)量一定，即是定值。因?yàn)樗兄蜑槎ㄖ担灾e越大，則說明之間的差異越小，也就是說教室的開放越分散；反之，之積越小，分散度越小，說明之間的差異越大，表示開放的教室越集中。即建立如下數(shù)學(xué)模型：這里的表示可以承受的最大分散度，計(jì)算的時(shí)候可以給它賦予一定的值，以此來求出教室開放的方案。 求解時(shí)，學(xué)校安排教室最主要的目的是節(jié)約用電，所以教室的用電量占的權(quán)重較大，分配為0.6，其次考慮學(xué)生滿意度的問題，分配權(quán)重為0.4。5.2.2模型求解對以上模型利用 Lingo軟件求解，由于本題中

19、的分散度沒有指定要求，先指定當(dāng)分散度為 0.1的時(shí)候，教室的開放情況及各個(gè)教室的滿座率方案如下表4所示：表4 教室的開放情況及各個(gè)教室的滿座率教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率教室開放情況滿座率110.8910001910.902810.903710.90210.9011002010.902910.893810.90310.901210.902110.903010.903910.90410.901310.892210.903110.904010.90510.901410.902310.903210.904110.9060015002410.903310.8

20、94210.907001610.902510.903410.904310.90810.901710.902610.903510.9044009001810.902710.903610.904510.90各個(gè)宿舍區(qū)A到各個(gè)自習(xí)區(qū)B的學(xué)生人數(shù)如下表5所示： 表5 各個(gè)宿舍區(qū)A到各個(gè)自習(xí)區(qū)B的學(xué)生人數(shù)B1B2B3B4B5B6B7B8B9A10104001111446A21111035311961A30040341101460A4224017301115510A5111051635001A600041154810A711010005511A811110551000A93710188111191A100

21、0154911120合計(jì)599108581648521945707899540綜合表4，表5可得，共開放教室38個(gè)，與模型一求解的結(jié)果相比多增加開放了3個(gè)教室，在45個(gè)教室中，第6,7,9,10,11,15,44教室關(guān)閉，可以看出6，7，9，10屬于第2自習(xí)區(qū)，即符合題中的盡量安排開放同區(qū)的教室。每個(gè)自習(xí)區(qū)在滿足自習(xí)人數(shù)的條件下，B1自習(xí)區(qū)有599名學(xué)生上自習(xí)； B2自習(xí)區(qū)有108名學(xué)生上自習(xí)；B3有581名學(xué)生上自習(xí)；B4有648名學(xué)生上自習(xí)；B5有521名學(xué)生上自習(xí)；B6有945名學(xué)生上自習(xí)；B7有707名學(xué)生上自習(xí)；B8有899名學(xué)生上自習(xí)；B9有540名學(xué)生上自習(xí)。六、模型評價(jià)及推廣6

22、.1 模型優(yōu)點(diǎn)1、 引入了“分散度”的概念，很好的衡量了教室的集中性問題；2、 合理的將宿舍區(qū)和教室之間的距離問題轉(zhuǎn)換為學(xué)生的滿意度來衡量；3、 運(yùn)用極差標(biāo)準(zhǔn)化將用電量與學(xué)生滿意度進(jìn)行了統(tǒng)一，簡化了問題的求解過程； 4、以用電總功率最小為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型，采用0-1整數(shù)規(guī)劃模型進(jìn)行求解，并且利用LINGO軟件編程得到比較合理的教室開放方案，此方法計(jì)算復(fù)雜度低，合理性強(qiáng)，并能夠達(dá)到優(yōu)化目的；而且模型比較簡潔。6.2 模型缺點(diǎn)1、將多目標(biāo)優(yōu)化問題加權(quán)規(guī)劃成單目標(biāo)優(yōu)化問題，確定各目標(biāo)的權(quán)值時(shí)人為的對各因素條件賦予不同權(quán)值，即主觀性比較強(qiáng)。 2、對問題沒有考慮周全，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。七、參考文獻(xiàn)1 母麗

23、華，周永芳.數(shù)學(xué)模型.北京：科學(xué)出版社,2011.2 王兵團(tuán).數(shù)學(xué)建?；A(chǔ).北京：清華大學(xué)出版社；北京交通大學(xué)出版 社,2004.3 謝金星,薛毅.優(yōu)化建模與LINGO/LINGO軟件.北京：清華大學(xué)出版社， 2004.4 張興永.數(shù)學(xué)建模簡明教程.江蘇徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社,2001. 八、附錄 表1 教室相關(guān)數(shù)據(jù)教室座位數(shù)燈管數(shù)開關(guān)數(shù)一個(gè)開關(guān)控制的燈管數(shù)燈管的功率/每只1644231440w2884231440w31934841250w41935051048w51283621845w61203621845w7120364948w81203631245w91103631240w10120364945w1164273940w1224