數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義——直線與圓的方程_第1頁
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1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義直線與圓的方程一、例題例1 求函數(shù)的值域.例2 當(dāng)實(shí)數(shù),滿足時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.例3 過直線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為, ,試求的垂心的軌跡方程.二、練習(xí)題1. 若直線,與能圍成一個(gè)三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.2. 方程表示的曲線是_.3. 以兩圓與的公共弦為直徑的圓的方程為_.4. 已知當(dāng)且時(shí),圓總與直線相切,則直線的方程是_.5. 在平面直角坐標(biāo)系中,橫縱坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn),則過點(diǎn)且其上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)的直線的條數(shù)為_.6. 在平面直角坐標(biāo)系中,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),則平面上的整點(diǎn)到直線的距離的最小值是_.7. 已知矩形的頂點(diǎn)

2、的坐標(biāo)為,頂點(diǎn)在圓 上移動(dòng),且,兩邊始終分別平行于軸,軸,求矩形面積的最小值,以及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).8. 已知直線與圓相交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在上,且.當(dāng)變化時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程.9.(2012年全國(guó)聯(lián)賽)在平面直角坐標(biāo)系中,菱形的邊長(zhǎng)為4,且.(1)求證:為定值;(2)當(dāng)點(diǎn)在半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡.10. 直線與相離,點(diǎn)為上任意一點(diǎn),過點(diǎn)引的兩條切線,切點(diǎn)分別為,求證:直線過定點(diǎn).數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義直線與圓的方程參考答案1.2.兩個(gè)半圓.3.4.5.答案:1.分析:顯然,若存在這樣的直線,則該直線必有斜率.下面用反證法證明斜率必為零.假設(shè)斜率不為零,設(shè)點(diǎn)與為該直線上的兩個(gè)不同的有理點(diǎn),則有,注意到

3、等號(hào)的左邊是個(gè)無理數(shù),而右邊是有理數(shù),矛盾.因此假設(shè)錯(cuò)誤,即滿足條件的直線的斜率必為零.注:此題屬競(jìng)賽級(jí)別.6.答案:分析:平面上的整點(diǎn)到直線的距離,因?yàn)榈谋稊?shù),故當(dāng)且僅當(dāng),即,亦即,()(根據(jù)數(shù)論中的孫子定理,當(dāng)然若想簡(jiǎn)單一點(diǎn),取便可)時(shí),取最小值.注:此題屬競(jìng)賽級(jí)別.7.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí),矩形面積最小且最小值為.8.答案:點(diǎn)的軌跡方程為.分析:易見點(diǎn)在圓的外部,即點(diǎn)在點(diǎn)、的同側(cè).否則,若點(diǎn)在線段上,則(這里為圓的半徑),矛盾.利用切割線定理,設(shè)直線與圓相切于點(diǎn),則有,于是,這表明點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,但不能說這個(gè)圓就是點(diǎn)的軌跡,因?yàn)辄c(diǎn)還有其他約束條件,即點(diǎn)在直線上,而是要與圓相交的.9.(1)(從幾何關(guān)系入手)設(shè)點(diǎn)為菱形的對(duì)角線的交點(diǎn),則注:此題的條件可以簡(jiǎn)化一下.(2)(利用圓的參數(shù)方程)因點(diǎn)在半圓上運(yùn)動(dòng),故可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,再利用(1)的結(jié)論,可得點(diǎn)的參數(shù)方程為(為參數(shù),且),即點(diǎn)的軌跡是一條線段,端點(diǎn)為,.10. 如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓的半徑為, 直線的方程為,上的動(dòng)點(diǎn),切點(diǎn),則切線,的方程分別為,因點(diǎn)在切線,上,故,上述兩個(gè)方程表明都在直線上,這恰是直線的方程.據(jù)此方程可知,直線恒過定點(diǎn).換個(gè)角度,由于,故點(diǎn),在以為直徑的圓上,從而直線成為圓與圓的公共弦所在的直線了.

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