數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義——直線與圓的方程

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義直線與圓的方程一、例題例1 求函數(shù)的值域.例2 當(dāng)實(shí)數(shù)，滿足時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例3 過直線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為， ，試求的垂心的軌跡方程.二、練習(xí)題1. 若直線，與能圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.2. 方程表示的曲線是_.3. 以兩圓與的公共弦為直徑的圓的方程為_.4. 已知當(dāng)且時(shí)，圓總與直線相切，則直線的方程是_.5. 在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)，則過點(diǎn)且其上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)的直線的條數(shù)為_.6. 在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，則平面上的整點(diǎn)到直線的距離的最小值是_.7. 已知矩形的頂點(diǎn)

2、的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)在圓 上移動(dòng)，且，兩邊始終分別平行于軸，軸，求矩形面積的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).8. 已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.9.（2012年全國(guó)聯(lián)賽）在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長(zhǎng)為4，且.（1）求證：為定值；（2）當(dāng)點(diǎn)在半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡.10. 直線與相離，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn).數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義直線與圓的方程參考答案1.2.兩個(gè)半圓.3.4.5.答案：1.分析：顯然，若存在這樣的直線，則該直線必有斜率.下面用反證法證明斜率必為零.假設(shè)斜率不為零，設(shè)點(diǎn)與為該直線上的兩個(gè)不同的有理點(diǎn)，則有，注意到

3、等號(hào)的左邊是個(gè)無理數(shù)，而右邊是有理數(shù)，矛盾.因此假設(shè)錯(cuò)誤，即滿足條件的直線的斜率必為零.注：此題屬競(jìng)賽級(jí)別.6.答案：分析：平面上的整點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)榈谋稊?shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即，（）（根據(jù)數(shù)論中的孫子定理，當(dāng)然若想簡(jiǎn)單一點(diǎn)，取便可）時(shí)，取最小值.注：此題屬競(jìng)賽級(jí)別.7.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，矩形面積最小且最小值為.8.答案：點(diǎn)的軌跡方程為.分析：易見點(diǎn)在圓的外部，即點(diǎn)在點(diǎn)、的同側(cè).否則，若點(diǎn)在線段上，則（這里為圓的半徑），矛盾.利用切割線定理，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則有，于是，這表明點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，但不能說這個(gè)圓就是點(diǎn)的軌跡，因?yàn)辄c(diǎn)還有其他約束條件，即點(diǎn)在直線上，而是要與圓相交的.9.（1）（從幾何關(guān)系入手）設(shè)點(diǎn)為菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則注：此題的條件可以簡(jiǎn)化一下.（2）（利用圓的參數(shù)方程）因點(diǎn)在半圓上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用（1）的結(jié)論，可得點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），即點(diǎn)的軌跡是一條線段，端點(diǎn)為，.10. 如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為， 直線的方程為，上的動(dòng)點(diǎn)，切點(diǎn)，則切線，的方程分別為，因點(diǎn)在切線，上，故，上述兩個(gè)方程表明都在直線上，這恰是直線的方程.據(jù)此方程可知，直線恒過定點(diǎn).換個(gè)角度，由于，故點(diǎn)，在以為直徑的圓上，從而直線成為圓與圓的公共弦所在的直線了.