恒成立問題的解題策略

1、關(guān)于“恒成立”問題的解題策略九峰實驗學(xué)校 張晶2007-5-27在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常會碰到帶有“恒成立”字樣的問題，這類問題學(xué)生往往感到困難。幫助學(xué)生領(lǐng)會問題實質(zhì)，把握問題的思維特點，是解決這類問題的關(guān)鍵。實際上，“恒成立”問題的思維特點和解題的突破口就在一個“恒”字上，解決此類問題需要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：(1) 一次函數(shù)型；(2) 二次函數(shù)型；(3) 變量分離型；(

2、4) 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)；(5) 直接根據(jù)函數(shù)的圖象；(6) 反證法。本文通過對具體問題的分析，來說明“恒成立”問題的解法思路。一、 一次函數(shù)型給定一次函數(shù)(0),若在m,n內(nèi)恒有>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（線段）可得上述結(jié)論等價于或也可合并成同理，若在內(nèi)恒有，則有nmoxynmoxy例1 、若不等式21>對一切都成立，求實數(shù)的取值范圍。解：令（）21，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)在區(qū)間-2，2內(nèi)函數(shù)值小于0恒成立的問題?？疾靺^(qū)間端點，只要0且0即可，解得（，）。本題的不等式中出現(xiàn)了兩個變量：x、m,并且是給出了m的范圍,要求x的相應(yīng)范圍。若直接從關(guān)于x的不等式正面出發(fā)求解較難，而

3、把 m看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間-2，2內(nèi)關(guān)于m的一次函數(shù)函數(shù)值小于0恒成立,求參變量x的范圍的問題,進而化難為易,問題得以解決.二、二次函數(shù)型若二次函數(shù)的函數(shù)值大于0恒成立，則有例如：關(guān)于的不等式對任意恒成立等價于，即。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及二次函數(shù)的圖象求解。例2、關(guān)于的方程恒有解，求實數(shù)的范圍。解法1（利用韋達定理）：設(shè),則。故原方程有解等價于關(guān)于的方程有正根。 即解得。解法2（利用二次函數(shù)的圖象）：4oxy4oxyo4xy圖(1) 圖(2) 圖(3)即關(guān)于的方程有正根，可設(shè).10.若=0,即,解得或。時，由,得，不合題意；

4、(如圖1)時，由,得,符合題意。.(如圖2)20. 若>0,即或時，,故只需對稱軸，即.。(如圖3)綜上可得.這是一個含參數(shù)的指數(shù)方程的問題。題目中出現(xiàn)了及，學(xué)生容易想到通過換元法轉(zhuǎn)化成一元二次方程求解，把原問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在區(qū)間上的恒成立問題。解法一體現(xiàn)了方程的思想，利用了韋達定理作等價轉(zhuǎn)化；解法二體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法，把二次方程根的分布問題進一步轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)圖象與x軸的交點的問題。這些都是常用的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)反復(fù)強調(diào)，以引起學(xué)生的重視,讓其在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中,不斷加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解,提高數(shù)學(xué)思維的靈活性。本題還可以用另一種方法來解決，就是

5、下面介紹的變量分離法。三、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域或最值問題求解。如果不等式對屬于某個區(qū)間的一切自變量都成立，那么只要在這個區(qū)間上的最小值大于M即可，即；同樣如果不等式對屬于某個區(qū)間的一切自變量都成立，那么只要在這個區(qū)間上的最大值小于M即可，即.例3、當為何值時，不等式恒成立？解： 又(+)2+3的最小值為4. 要使恒成立(-1)2<4. 解得 09. 當09時，不等式恒成立。本題中的不等式兩邊都有，若直接求解,則不太容易，因此可以先對

6、不等式進行化簡變形，把含有的項全部放在不等號一邊，另一邊看成關(guān)于cosx的二次函數(shù),從而得以解決. 特別要注意，用上述方法解不等式恒成立問題時，m必須是一個與自變量x無關(guān)的量，否則不能轉(zhuǎn)化！又如，在例2中對關(guān)于的方程在有解也可利用變量分離法。因為，所以可將寫成，原問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域。從解答過程可以看出，用變量分離解題，運算過程比較簡捷。四、 利用函數(shù)的性質(zhì)解決恒成立問題例4、已知函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為，求實數(shù)的值。解：根據(jù)題意，對任意的，都有即也即對任意都成立，所以只能這里雖然沒有“恒成立”的字樣，但是告訴對稱軸方程為，其實就是告訴了該函數(shù)的一個性質(zhì)，就是說對任意的，都有，這是一個恒

7、成立問題。所以我們要引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目中條件的本質(zhì)，在解題過程中要善于轉(zhuǎn)化.比如：函數(shù)為偶函數(shù)就等價于對定義域中的任何，都有；函數(shù)的最小值為就等價于對任意都有；等等。這些都是恒成立問題。本題有另外一個解法就是利用函數(shù)的圖象的對稱軸的特殊性去解。我們由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)知道函數(shù)在處取到最值，且圖象的對稱軸方程為。依照這個思路，由函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為，可得，可解得。五、把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像問題例5 若不等式對于任意都成立，求的取值范圍. 解：作出函數(shù)的圖像由題意知 在(0, ，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的上方.作直線=，與和的圖像分別交于A、B兩點，為保證在區(qū)間（0，上的圖像在圖像

8、的上方，不難從圖中得到其條件是點A在點B的上方.當=時，, 又 得<<1學(xué)生看到這個題目可能一開始束手無策，因為此題中的不等式左邊是對數(shù)式，右邊是三角式，很難用初等數(shù)學(xué)的知識去解這個不等式，但如果想到數(shù)形結(jié)合的方法，把左右兩邊分別看成兩個函數(shù)f(x)與g(x)。把左邊看成對數(shù)函數(shù)，右邊看成三角函數(shù)，這個不等式對任意（0，都成立，就轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像在區(qū)間（0，上都在函數(shù)圖像的上方，這就從一個代數(shù)的不等式問題轉(zhuǎn)化到了一個函數(shù)圖象的問題，然后從圖像中尋找條件，就能解決問題。由此我們可以看到，函數(shù)與不等式是緊密聯(lián)系的，我們在教學(xué)的過程中一定要重視初等函數(shù)的研究和把握，讓學(xué)生熟悉初等函數(shù)的圖

9、象和性質(zhì)，因為它們是解決好多其他問題的基礎(chǔ).同時在解題過程中要善于轉(zhuǎn)化，象這個問題的解決其實就用到了把一個很難解決的不等式的問題轉(zhuǎn)化到了一個可行的函數(shù)圖象的問題，這種轉(zhuǎn)化的思維方式和能力需要我們在平時的教學(xué)過程中逐漸培養(yǎng)起來，形成良好的解題思維策略。六、 采用逆向思維，考慮使用反證法。例6、設(shè)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，對任意實數(shù)都有，且存在實數(shù)，使。求證：對任意實數(shù)，恒成立。分析：這是一個抽象函數(shù)的證明題，由，只要令，就能得到，接下來要證明對任意實數(shù)，都不等于。這是一個恒成立問題。從正面直接證明比較困難，所以可以考慮反證法，即如果找到一個使，能推出矛盾就行了。事實上，若存在使，則對任意實數(shù)，有，顯然這與題設(shè)“存在實數(shù)，使”矛盾。恒成立問題有時候從正面很難入手，這時如果考慮問題的反面，會對解題帶來一定的幫助，所謂“正難則反”就是這個道理?？傊?，