第3章 §3 3.2 分析法

1、.3.2分析法1理解分析法的思維過程、特點重點2會用分析法證明數(shù)學(xué)問題難點根底·初探教材整理分析法閱讀教材P61P63，完成以下問題1分析法的定義從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探究保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等，這種思維方法稱為分析法2分析法證明的思維過程用Q表示要證明的結(jié)論，那么分析法的思維過程可用框圖3­3­6表示為：圖3­3­63綜合法和分析法的綜合應(yīng)用在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的構(gòu)造特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的構(gòu)造特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間

2、結(jié)論P.假設(shè)由P可以推出Q成立，即可證明結(jié)論成立判斷正確的打“，錯誤的打“×1分析法就是從結(jié)論推向2分析法的推理過程要比綜合法優(yōu)越3并不是所有證明的題目都可使用分析法證明【解析】1錯誤分析法又叫逆推證法，但不是從結(jié)論推向，而是尋找使結(jié)論成立的充分條件的過程2錯誤分析法和綜合法各有優(yōu)缺點3正確一般用綜合法證明的題目均可用分析法證明，但并不是所有的證明題都可使用分析法證明【答案】1×2×3質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型應(yīng)用分析法證明不等式a>b>0，

3、求證：<<.【精彩點撥】此題用綜合法不易解決，由于變形后均為平方式，因此要先將式子兩邊同時開方，再找出使式子成立的充分條件【自主解答】要證<<，只需證<<.a>b>0，同時除以，得<1<，同時開方，得<1<，只需證<2，且>2，即證<，即證b<a.a>b>0，原不等式成立，即<<.1分析法證明不等式的思維是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件為或已證的不等式2分析法證明數(shù)學(xué)命題的過程是逆向思維，即結(jié)論，因此，在表達(dá)過程中，“要證“只需證“即證等詞

4、語必不可少，否那么會出現(xiàn)錯誤再練一題1a>0，求證：a2.【證明】要證a2，只需證2a，即證22，即a24 4a22 4，只需證2 .只需證42，即a22.上述不等式顯然成立，故原不等式成立用分析法證明其他問題求證：以過拋物線y22pxp>0焦點的弦為直徑的圓必與直線x相切【精彩點撥】【自主解答】如下圖，過點A，B分別作AA，BB垂直準(zhǔn)線于點A，B，取AB的中點M，作MM垂直準(zhǔn)線于點M.要證明以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，只需證|MM|AB|.由拋物線的定義有|AA|AF|，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|，因此只需證|MM|AA|BB|根據(jù)梯形的中位線原理可知上式是成立的，

5、所以以過拋物線y22px焦點的弦為直徑的圓必與直線x相切1分析法是逆向思維，當(dāng)條件與結(jié)論之間的聯(lián)絡(luò)不夠明顯、直接或證明過程中所需要用的知識不太明確、詳細(xì)時，往往采用分析法2分析法的思路與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近，即條件、已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法那么等再練一題21，求證：cos sin 3cos sin 【證明】要證cos sin 3cos sin ，只需證3，只需證3，只需證1tan 31tan ，只需證tan .1，1tan 2tan ，即2tan 1.tan 顯然成立，結(jié)論得證探究共研型綜合法與分析法的綜合應(yīng)用探究1綜合法

6、與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？【提示】綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，它們的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，從而得到的每一個結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜測探究2綜合法與分析法有什么區(qū)別？【提示】綜合法是從條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因在某兩個正數(shù)x，y之間，假設(shè)插入一個數(shù)a，那么能使x，a，y成等差數(shù)列；假設(shè)插入兩個數(shù)b，c，那么能使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：a12b1c1. 【導(dǎo)學(xué)號：67720199】【精彩點撥】可用分析法找途徑，用綜合法由條件順次推理，易于使條件與結(jié)論聯(lián)絡(luò)起來【自主解答】由

7、條件得消去x，y得2a，且a>0，b>0，c>0.要證a12b1c1，只需證a1，因，只需證a1，即證2abc.由于2a，故只需證bc，只需證b3c3bcb2c2bcbcbc，即證b2c2bcbc，即證bc20.因為上式顯然成立，所以a12b1c1綜合法推理明晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其構(gòu)造特點是根據(jù)條件的構(gòu)造特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的構(gòu)造特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P；假設(shè)由P可推出Q，即可得證再練一題3ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求證：.【證明】要證，即證3

8、，即證1，只需證cbcaababbc，只需證c2a2acb2.A，B，C成等差數(shù)列，2BAC，又ABC180°，B60°.c2a2b22accos B，c2a2b2ac，c2a2acb2，成立構(gòu)建·體系1要證明>2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是A綜合法B分析法C比較法D歸納法【解析】由分析法和綜合法定義可知選B.【答案】B2a0，b0，且ab2，那么AaBabCa2b22Da2b23【解析】ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.【答案】C3.<成立的充要條件是Aabba>0Bab>0且a>bCab<0且a&l

9、t;bDabba<0【解析】<3<3ab33<ab<ab2<a2babba<0.【答案】D4設(shè)a>0，b>0，c>0，假設(shè)abc1，那么的最小值為_【解析】因為abc1，且a>0，b>0，c>0，所以33222369.當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立【答案】95a，b，cR且不全相等，求證：a2b2c2>abbcca.【證明】法一：分析法要證a2b2c2>abbcca，只需證2a2b2c2>2abbcca，只需證a2b22abb2c22bcc2a22ca>0，只需證ab2bc2ca2>0，因為a，b，cR，所以ab20，bc20，ca20.又因為a，b，c不全相等，所以ab2bc2ca2>0成立所以原不等式a2b2c2>abbcca成立法二：綜合法因為a，b