恒定電流場Steadyelectriccurrentsfield

1、恒定電流場Steadyelectriccurrentsfield1、恒定電場在分界面上的折射關(guān)系、恒定電場在分界面上的折射關(guān)系為為2121tantan若 ,則 。 210在理想導(dǎo)體表面上， 和 都垂直于邊界面。當電流由理想導(dǎo)電體流出進入一般導(dǎo)電媒質(zhì)時，電流線總是垂直于理想導(dǎo)電體表面。JE212En1E212J1J11111tanttnnJEJE22222tanttnnJEJE4.1 恒定電流場的邊界條件 Boundary condition 關(guān)于邊界條件的說明：1、由于導(dǎo)體內(nèi)存在恒定電場，根據(jù)邊界條件可知，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量又有切向分量。電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位

2、面。2 、若媒質(zhì)2是良導(dǎo)體，媒質(zhì)1是極不良導(dǎo)電媒質(zhì)，只要不接近，就可以近似地把良導(dǎo)體表面看作等位面。例：同軸線填充兩種介質(zhì)，結(jié)構(gòu)如圖所示。兩種介質(zhì)介電常數(shù)分別為 和 ，導(dǎo)電率分別為 和 ，設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體電壓為U。求：(1)導(dǎo)體間的 ， ， ； (2)分界面上自由電荷分布。1221EJ 2a2b2c11 22 解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應(yīng)用高斯定理求解。電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。12bcabUE drE dr例題例題: a22 11 EJ先假設(shè)電流為I求出電流密度J的表達式求出E1和E2確定出電流由導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)電場本構(gòu)關(guān)系，可知媒質(zhì)內(nèi)電

3、場為：111()2rJIEearbr222()2rJIEebrcr12bcabUE drE dr12(lnln )(lnln )22IIbacb設(shè)單位長度內(nèi)從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體電流為I。rIJeS()2rIearcr由邊界條件，邊界兩邊電流連續(xù)。201121()ln( / )ln( / )rUJEearbb ac b r102221()ln( / )ln( / )rUJEebrcb ac b r22()crE drbrc112()bcrbE drE drarb120212ln( / )ln( / )UIb ac b 12021()ln( / )ln( / )UJarcb ac b r 在 面上：

4、rc21021ln( / )ln( / )Ub ac b c 32SrD e 在 面上：rb221()SrDDe2112021()ln( / )ln( / )Ub ac b b 2）由邊界條件： 在 面上：ra12021ln( / )ln( / )Ub ac b a 11SD nE在導(dǎo)電媒質(zhì)中，自由電子移動時要與原子晶格發(fā)生碰撞，結(jié)果產(chǎn)生熱能，這是一種不可逆的能量轉(zhuǎn)換。這種能量損失將由外源不斷補給，以維持恒定的電流。 dlUJdS4.2 4.2 恒定電場的能量損耗恒定電場的能量損耗圓柱體的端面分別為兩個等位面。若在電場力作用下，d t 時間內(nèi)有d q電荷自圓柱的左端面移至右端面，那么電場力作的

5、功為 dddd dWqEq lEl電場損失的功率 P 為 lSEJlEIltqEtWPdddddddd單位體積中的功率損失為22JEEJpl當J和E的方向不同時，上式可以表示為下面一般形式 JE lpE表示某點的功率損耗等于該點的電場強度與電流密度的標積。 焦耳定律的微分形式設(shè)圓柱體兩端的電位差為U，則 ，又知 ，那么單位體積中的功率損失可表示為lUEdSIJdVUIlSUIplddd可見，圓柱體中的總功率損失為UIVpPld這就是電路中的焦耳定律。例1 已知一平板電容器由兩層非理想介質(zhì)串聯(lián)構(gòu)成，如圖示。其介電常數(shù)分別為 1 和 2 ，電導(dǎo)率分別為 1 和 2 ，厚度分別為 d1 和 d2 。

6、當外加恒定電壓為 V 時，試求兩層介質(zhì)中的電場強度，單位體積中的電場儲能及功率損耗。 1 12 2d1d2U解： 由于電容器外不存在電流，可以認為電容器中的電流線與邊界垂直，求得 2211EEUdEdE2211UddE122121UddE12211212nnJJ12JJ211122221 212eewEwE211222 llpEpE. . 恒定電流場與靜電場的比擬恒定電流場與靜電場的比擬靜電場和恒定電場性質(zhì)比較：相同點：場性質(zhì)相同，均為無旋場； 場均不隨時間改變； 均不能存在于理想導(dǎo)體內(nèi)部；不同點：源不同。靜電場的源為靜止電荷，恒定電場 的源為運動電荷。 存在區(qū)域不同。靜電場只能存在于導(dǎo)體外，

7、 恒定電場可以存在于非理想導(dǎo)體內(nèi)。當恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強度的分布特性完全相同可以利用已經(jīng)獲得的靜電場的結(jié)果直接求解恒定電流場可用邊界條件與靜電場相同的電流場來研究靜電場的特性靜電比擬例如，兩電極間的電流場與靜電場對應(yīng)分布如下圖示： PN電流場PN靜電場那么，利用已經(jīng)獲得的靜電場結(jié)果可以求解恒定電流場。 靜電場與恒定電場的對偶關(guān)系 電阻的計算電阻的計算SSllD dsE dsqCUE dlE dlllSSE dlE dlURIJ dsE ds一、電介質(zhì)隔開的導(dǎo)體之間漏電阻的計算CRCG若已知兩電極之間的電容，根據(jù)上述兩式，即可求得兩電極間的電阻及電導(dǎo)。 例如

8、，已知面積為 S ，間距為 d 的平板電容器的電容 ，若填充的非理想介質(zhì)的電導(dǎo)率為 ，則平板電容器極板間的漏電導(dǎo)為 dSCdSdSG又知單位長度內(nèi)同軸線的電容 。那么，若同軸線的填充介質(zhì)具有的電導(dǎo)率為 ，則單位長度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo))/ln(21abC12 ln( / )Gb a1RG如果同軸線的長度為l，總的漏電阻為R/l二、特定等位面之間導(dǎo)體材料電阻的計算二、特定等位面之間導(dǎo)體材料電阻的計算RUIEJRIUJE(1) 假設(shè)兩電極間流過的電流I,然后按(2) 假設(shè)兩電極的電壓U ，然后按的步驟計算。計算步驟：的步驟計算。例2 設(shè)一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，其形狀及尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。 U

9、yxtabr0(r,)0解 顯然，必須選用圓柱坐標系。設(shè)兩個端面之間的電位差為U，且令 當角度 時，電位 。001當角度 時，電位 。2U2那么，由于導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位 僅與角度 有關(guān)，因此電位滿足的方程式為0dd22此式的通解為 21CC 利用給定的邊界條件，求得 U2rUr2eeEJ導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流密度 J 為 那么由 的端面流進該導(dǎo)電媒質(zhì)的電流 I 為 2)d (2drtrUISeeSJS abUtrrUtbaln2d2因此該導(dǎo)電塊的兩個端面之間的電阻 R 為 abtIVRln2例：電導(dǎo)率為的無界均勻電介質(zhì)內(nèi)，有兩個半徑分別為R1和R2的理想導(dǎo)體小球，兩球之間的距離為d(d R1 ，d R

10、2)，試求兩小導(dǎo)體球面間的電阻。 解: 此題可采用靜電比擬的方法求解。v假設(shè)兩小球分別帶電荷q和-q，由于兩球間的距離dR1 、dR2 ，可近似認為小球上的電荷均勻分布在球面上。v由電荷q和-q的電位疊加求出兩小球表面的電位差，即可求得兩小導(dǎo)體球面間的電容，v再由靜電比擬求出兩小導(dǎo)體球面間的電阻。由靜電比擬，得到兩小導(dǎo)體球面間的電導(dǎo)為11211()4qRdR22111()4qRdR 12121241111qCRRdRdR兩小球表面的電位為 兩小導(dǎo)體球面間的電容為12112411112IGRRdRdR故兩個小導(dǎo)體球面間的電阻為1RG一、矢量磁位的引入0B()0A ( )BA r 式中： 稱為恒定

11、磁場的矢量磁位。( )A r引入矢量磁位的意義：引入輔助函數(shù)，可通過間接求解方法求解空間磁場分布，簡化電磁問題求解。 矢量磁位與標量磁位矢量磁位與標量磁位Vector and scalar Magnetic potential1、矢量磁位 的定義具有普遍性，既適用于靜磁場也適用于時變場 ( )A r2、矢量磁位不是唯一的。事實上，若是任意連續(xù)可微的標量函數(shù)，令 ，顯然有；( )( )( )A rA rr( )( )( )( )A rA rrA rB 說明：而： 2( )( )( )( )( )( )0A rA rrA rA rr 上式表明： 和 為性質(zhì)不同的兩種矢量場。這意味著滿足 的 有無限

12、多個。( )A r( )A r( )BA r( )A r3、為了確定矢量磁位的空間分布，還需規(guī)定矢量磁位的散度這種新引入的限定條件稱為規(guī)范條件。在恒定磁場中，一般采用庫侖規(guī)范條件( )0A r注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件，可根據(jù)問題設(shè)定不同的規(guī)范條件。 ( )BA r 0BH01( )HA rHJ0AJ 2()AAA 20()AAJ 0A20AJ 二、矢量磁位的求解二、矢量磁位的求解矢量泊松方程在直角坐標系中，矢量泊松方程可分解為三個標量泊松方程20 xxAJ 20yyAJ 20zzAJ 體電流、面分布電流和細導(dǎo)線電流回路產(chǎn)生的矢量磁位分別為0(4SJAdSCCR為常矢量）0(4SJAd

13、lCCR為常矢量）0(4VJAdVCCR為常矢量）1、不同電流分布時的矢量磁位20A在無源區(qū)中， = 0，則上式變?yōu)橄率鍪噶坷绽狗匠?J說明：E在直角坐標系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解為三個坐標分量的標量方程。E格林函數(shù)法以及分離變量法均可用于求解矢量磁位 的各個直角坐標分量所滿足的標量泊松方程及拉普拉斯方程。E鏡像法也可適用于求解恒定磁場的邊值問題。2、無源區(qū)的矢量磁位說明：1、矢量磁位 的方向與電流 的方向相同。AJ 2、引入矢量磁位可以大大簡化磁場的計算。小結(jié)：求解磁場的方法1、場源積分法（畢奧薩伐爾定律）2、非齊次方程法（ )2HJ 3、安培環(huán)路定律4、通過矢量磁位間接求解S

14、B dSSlAdSA dl 其中l(wèi)為曲面S的邊界三、利用矢量磁位求磁通三、利用矢量磁位求磁通四、標量磁位四、標量磁位0J式中標量 m 稱為標量磁位。0B0m2說明：1、標量磁位滿足拉普拉斯方程。這樣，根據(jù)邊界條件，求解標量磁位滿足的拉普拉斯方程，可得標量磁位，然后即可求出磁感應(yīng)強度。2、標量磁位的應(yīng)用僅限于無源區(qū)。 0Hm H無源區(qū)中磁感應(yīng)強度B 是無旋的，可以表示為一個標量場的梯度令scalar Magnetic potential在磁場作用下，磁介質(zhì)將產(chǎn)生磁化現(xiàn)象。一、磁化與磁化強度矢量 Simp1、分子電流模型v電子繞核運動，形成分子電流。v分子電流將產(chǎn)生微觀磁場。v分子電流的磁特性可用

15、分子極矩表示。mmiS 4.6 物質(zhì)的磁化現(xiàn)象物質(zhì)的磁化現(xiàn)象2、介質(zhì)的磁化現(xiàn)象 磁化前v磁化前，分子極矩取向雜亂無章，磁介質(zhì)宏觀上無任何磁特性。 B磁化后v磁介質(zhì)內(nèi)存在外加磁場時：大量分子的分子極矩取向與外加磁場趨于一致，宏觀上表現(xiàn)出磁特性。這一過程即稱為磁化。3、磁化強度矢量M 磁化強度矢量描述磁介質(zhì)被磁化的程度。0limiiVmMV 物理意義：單位體積內(nèi)分子磁矩的矢量和。Magnetization Vector v磁介質(zhì)被磁化后，內(nèi)部和表面可能會出現(xiàn)附加電流，稱這種電流為磁化電流（束縛電流）。v若媒質(zhì)的磁化強度為 ，則：M二、磁化電流二、磁化電流磁化電流體磁化電流密度面磁化電流密度mJMs

16、mJMn1、若媒質(zhì)被均勻磁化，無體磁化電流；磁化電流只會出現(xiàn)在介質(zhì)表面上 2、磁化介質(zhì)表面一般存在磁化電流；3、磁化電流仍然遵循電流守恒關(guān)系；4、若在磁介質(zhì)內(nèi)部存在自由線電流，則在自由電流處存在磁化線電流。%說明：說明：當磁介質(zhì)中存在磁場時： 0BmJB 磁介質(zhì)中的磁通量為：0BBB0BHM磁場強度矢量 ，定義H三、磁場強度矢量三、磁場強度矢量Magnetic field intensity一般介質(zhì)被磁化的程度與外加磁場強度成正比，即：mMH式中： 為磁介質(zhì)的磁化率（磁化系數(shù)）m0(1)mHB0rHB BH磁媒質(zhì)本構(gòu)關(guān)系式中： 稱為媒質(zhì)相對磁導(dǎo)率1rm 稱為媒質(zhì)磁導(dǎo)率(relative) pe

17、rmeability)0r 0mBHH (relative) Permittivity已知半徑為a，長度為l 的圓柱形磁性材料，沿軸線方向獲得均勻磁化。若磁化強度為M，試求位于圓柱軸線上距離遠大于圓柱半徑 P點處由磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。 xyzlP(0,0, z)0asJ解 取圓柱坐標系，令 z 軸與圓柱軸線一致，如圖示。又表面磁化電流密度nS eJM式中en 為表面的外法線方向上單位矢。因 ，所以表面磁化電流密度 僅存在于圓柱側(cè)壁，上下端面的磁化電流密度為零。因此zM eMSJ例例由于是均勻磁化，磁化強度與坐標無關(guān)，因此， ，即體分布的磁化電流密度為零。 0MJnzrMM eeeeSJM

18、xyzlP(0,0,z)zdz0asJ顯然，這種表面磁化電流在側(cè)壁上形成環(huán)形電流。位于z 處寬度為dz 的環(huán)形電流為( dz) ，那么該環(huán)形電流在軸線上 z 處(z a)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度 dB 為 SJzzzMazd)(2d320 eB那么側(cè)壁上全部磁化電流在軸線上z 處產(chǎn)生的合成磁感應(yīng)強度為 zzzMalzd)(12 0 320 eB2220 1)(14zlzMaze計算電流環(huán)產(chǎn)生的BxyzlP(0,0,z)zdz0asJSSIdlJ dz dlJ dz adezrRzz ea e 034IdlRdBR20223/20203020302200334()44242SzzrzzrSrzSzzJ

19、dz adezz ea eazzdezz ea eaJ dzzzdezza eaJ dzzzaaMdz eMdz ezzzz4.11 磁介質(zhì)中磁場的邊界條件磁介質(zhì)中磁場的邊界條件Boundary conditions for magnetic fields in magnetic material 2122BHn2111B H三、分界面上無自由電流時的折射關(guān)系12nnBB12ttHH11221122coscossinsinBBHH1212tantan1122tantan媒質(zhì)兩邊磁場方向與媒質(zhì)特性相關(guān)。媒質(zhì)兩邊磁場方向與媒質(zhì)特性相關(guān)。Boundary conditions for tangent

20、ial components of HBoundary conditions for normal components of Br 若媒質(zhì)2為空氣，媒質(zhì)1為鐵磁媒質(zhì)。即：2111rr ，1122tan1tan20物理意義：磁場由鐵磁體物體穿出進入一個非磁性物質(zhì)的區(qū)域時，磁場幾乎垂直于鐵磁體物質(zhì)的表面。在鐵磁媒質(zhì)表面，磁場方向與表面垂直。2111rr，290r 若媒質(zhì)1為空氣，媒質(zhì)2為鐵磁媒質(zhì)物理意義：磁場由非磁性物質(zhì)穿出進入一個鐵磁體物體的區(qū)域時，對任意一個不接近零的角度1，在磁體媒質(zhì)中的磁場幾乎與分界面平行。21mm1212mmnn五、五、A和和m的邊界條件的邊界條件( )BA r 12n

21、nBB12ttAAA在分界面上切向分量連續(xù)0J H1t=H2tB1n=B2n無限長線電流位于z軸，介質(zhì)分界面為水平面，求空間的 分布和磁化電流分布。B xz10I分析：電流呈軸對稱分布?？捎冒才喹h(huán)路定律求解。磁場方向沿 方向。e解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，在分界面兩邊， 連續(xù)而 不連續(xù)。HB由安培環(huán)路定律：CH dlI2HrI2IHer01(0)2(0)2IezrBHIezr例題例題4 4求磁化電流：介質(zhì)磁化強度為：1000()2IBMHer體磁化電流為：0rzmrzeeerrJMrzMrMM 面磁化電流為：101000()()22smzrIIJMneeerr在介質(zhì)內(nèi)r=0位置，還

22、存在磁化線電流Im。由安培環(huán)路定律，有：000(1)mllmrBHIIdldlIII1010()(1)msmrIIII分析:可由電流守恒的關(guān)系求如圖，鐵心磁環(huán)尺寸和橫截面如圖，已知鐵心磁導(dǎo)率 ，磁環(huán)上繞有N匝線圈，通有電流I。求:(1)磁環(huán)中的 ， 。 (2)若在鐵心上開一小切口，計算磁環(huán)中的 ， 。B0HBH NIbadh0r0rd解：(1)由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得CH dlI2HrNI2NIHer2NIBHer例題例題5 5 NIba0rt (2)開切口后，在切口位置為邊界問題。在切口處，磁場垂直于邊界面，由邊界條件知在分界面上 連續(xù)，大小為B, 不連續(xù)。設(shè)環(huán)內(nèi)外的H

23、分別為H1、H 2BH由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得CH dlI120(2)(2)HrtH tNIBBrttNI0(2)/2(1)rNINIBeerttrt由于鐵心很細，可近似認為磁力線均勻分布在截面上。02(1)rNIBert02(1)rBNIHert內(nèi)002(1)rrNIBHert外02(1)rNIB Shdrt v在各向同性線性媒質(zhì)中，穿過任意電流回路的磁通量與回路電流強度成正比。一、電感的定義v電感定義：穿過某電流回路的磁通量與回路中電流強度之比稱為電感（電感系數(shù)），用L表示，即：LI4.12 4.12 電感電感 Inductanceq L 稱為回路的電感，單位為H （

24、亨利）。由該定義可見，電感又可理解為與單位電流交鏈的磁通鏈。q 在線性媒質(zhì)中，單個回路的電感僅與回路的形狀及尺寸有關(guān)，但與回路中電流無關(guān)。說明：q 若回路由N匝線圈繞成，則線圈的總磁通量為各單匝線圈磁通量之和，稱為磁鏈。若N匝線圈密繞，回路總磁通量為： N 為單匝線圈磁通量 若有兩個回路存在，如圖示。與回路電流I1交鏈的磁通鏈是由兩部分磁通形成的，其一是I1本身產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈11，另一是電流I2 在回路I1中產(chǎn)生的磁通形成的磁通鏈 12 。 dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1同理，與回路電流 I2 交鏈的磁通鏈是由本身產(chǎn)生的磁通鏈 22 和電流 I1在回路l2中

25、產(chǎn)生的磁通鏈 21 共同形成的，即1211122212二、自感與互感21212IML11，L22分別稱為回路 l1、 l2的自感， 若周圍媒質(zhì)是線性的，則比值 ， 及 均為常數(shù)，令111I212I222I121I11111IL22222IL12121IMM12 、M21分別稱為回路l2 對 L1、 l1對 l2的互感。說明：若回路導(dǎo)線直徑較粗，則ioLLL式中： 為回路內(nèi)自感，即導(dǎo)體內(nèi)部磁場與部分電流交鏈所形成電感。iL 為回路外自感，即導(dǎo)體外磁場與回路交鏈所形成電感。oL三、互感的計算1212121222MMII 111222121SSMIB dSA dS112221lMIA dl22222

26、14()lIAdlR21212212214llIMIdl dlR 211212214lldl dlMR 諾伊曼公式2112MM1、互感具有互易關(guān)系，即 2、若dl1與dl2處處保持垂直，則互感 ；若處處保持平行，則互感 M 值達到最大。如果需要增強兩個線圈之間的耦合，應(yīng)彼此平行放置；若要避免兩個線圈相互耦合，則應(yīng)相互垂直。02112 MM3、互感可正可負，其值正負取決于兩個線圈的電流方向，但電感始終應(yīng)為正值。若互磁通與原磁通方向相同時，則使磁通鏈增加，互感應(yīng)為正值；反之，若互磁通與原磁通方向相反時，則使磁通鏈減少，互感為負值。四、自感與互感的特點：五、計算電感的一般步驟：五、計算電感的一般步驟

27、：1 1） 假設(shè)回路中通有電流假設(shè)回路中通有電流I I；2 2） 求出磁感應(yīng)強度求出磁感應(yīng)強度B B或矢量磁位或矢量磁位A A；3 3） 計算與回路交鏈的磁通；計算與回路交鏈的磁通；4 4） 由磁通與電流的比值求出電感。由磁通與電流的比值求出電感。分析：內(nèi)導(dǎo)體為粗導(dǎo)體，故內(nèi)導(dǎo)體存在內(nèi)自感。因此同軸線自感由同軸線內(nèi)自感和內(nèi)外導(dǎo)體間互感組成。設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體載流為I，則由安培環(huán)路定律，知020()2()2IreraaBIearbr 求同軸線單位長度的自感。設(shè)同軸線內(nèi)徑為a，外徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間為真空。導(dǎo)體磁導(dǎo)率為0例題例題6解：同軸線單位長度自感由內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)自感和內(nèi)外導(dǎo)體互感構(gòu)成。即：ioLLLbcr

28、cbaOdrIIeaIOaIO如圖，在內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)半徑為r處取一長為單位長度，寬為dr的矩形面元，則通過該面元的磁通為：022iIrdB dSdra 令與 所交鏈的電流為I,可知d2222IIrIraa若將整個內(nèi)導(dǎo)體電流看作1匝，則與 交鏈的電流匝數(shù)為 d22()IrNIa匝先求LibcrcbaOdrIIe 由磁鏈定義，知與 對應(yīng)的磁鏈為：d3042iiIrdNddra 整個內(nèi)導(dǎo)體單位長度的內(nèi)磁鏈為3004028aiiIrIddra 08iiLI 故內(nèi)導(dǎo)體單位長度的內(nèi)自感為內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度磁鏈為：00ln22boaIIbdrra 0ln2oobLIa00ln82iobLLLa求Lo求雙傳輸線單位

29、長度自感。設(shè)導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距為D。(Da) yxDIIdxxDx分析：導(dǎo)線為細導(dǎo)線，故只需考慮導(dǎo)體間的互感。解：由安培環(huán)路定律，可以求得在導(dǎo)體間：12BBB00()()22 ()yyIIeexDx則導(dǎo)體間單位長度的磁通量為0lnln()2D aD aaaIB dxxDx 0lnIDaa0lnDaLIa例題例題7 7一、電流回路系統(tǒng)的磁場能量 N個回路系統(tǒng)，i回路自感為Lii，i回路與j回路間互感為Lij，i回路電流為Ii，則磁回路系統(tǒng)的磁場能量為:1112NNmijijiiWL I I討論：1、若回路為單回路系統(tǒng)，則212mWLI 磁場能量磁場能量 Energy in a magneti

30、c fieldEnergy in a magnetic field考慮到回路電感 ，則電流為I 的單個回路周圍的磁場能量又可表示為ILIW21m式中 為與電流 I 交鏈的磁通鏈。 2、若電流為體電流分布，則其在空間中產(chǎn)生的磁能為：12mVWJ AdV 式中： 為體電流 在dV處產(chǎn)生的磁位。 V為整個空間。 AJ說明：q 是恒定磁場的總能量，且只適用于恒定磁場；是恒定磁場的總能量，且只適用于恒定磁場；q 不是磁場能量密度，因為的地方也存在磁場能量。不是磁場能量密度，因為的地方也存在磁場能量。12mVWJ AdV12J A若回路為雙回路系統(tǒng)，則2211 112 1 221 2 1222111122

31、22mWL IM I IM I IL I2211 112 1 22221122L IM I IL I12mVWJ AdV12VH AdV()()()ABA BB A 11)22VVHA dVHA dV(2211()0AHdSRRRRHA dS 12mVWH BdV 磁場能量11)22SVHA dSH BdV (二、磁能密度二、磁能密度 Magnetic Energy densityMagnetic Energy density定義：磁能密度為12mwB H meVWw dV三、利用磁能求回路電感22222121mVmWLH dVIIWLI221122mwHB對于線性均勻媒質(zhì)， a0解：設(shè)導(dǎo)體內(nèi)

32、電流為I，則由安培環(huán)路定律02()2IrBeraa則導(dǎo)體內(nèi)單位長度磁能為22220240011224mVVIWB dVr dVa222024001224aIrrdra2016I0228mWLI例題例題8 8求半徑為a的無限長直導(dǎo)線單位長度內(nèi)自感。利用虛位移法來計算磁場力。在N個電流回路系統(tǒng)中，假定第i個回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個虛位移xi 。如果，磁場力做功Fi xi，系統(tǒng)的能量增加Wm ， Ws是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。根據(jù)能量守恒定律，有 Ws=Fi xi+ Wm具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。各回路電流不變在這種情況下，與各電流

33、回路相連接的電源提供的能量為NiiiSIW14.14 磁場力磁場力 Magnetic force基本思路：而系統(tǒng)增加的磁能為:NiiimIW121mSWW2不變IimixWF Ws=Fi xi+ Wm各回路的磁通不變 magnetic flux在這種情況下，與各電流回路相連接的電源提供的能量。不變imixWF Ws=Fi xi+ WmWs 0注意：已規(guī)定廣義力的方向為廣義坐標的增加方向。因此，如果按照上述公式求得的廣義力數(shù)值為負，則表明廣義力的實際方向為廣義坐標的減小方向。磁場力的應(yīng)用比電場力更為廣泛，而且力量更強。例如，電磁鐵、磁懸浮軸承以及磁懸浮列車等，都是利用磁場力的作用。 計算無限長的載流導(dǎo)線與矩形電流環(huán)之間的作用力。電流環(huán)的尺寸及位置如圖示。abD0I1I2解 利用虛位移方法，且設(shè)位移過程中電流不變，則導(dǎo)線與電流環(huán)之間的相互作用力為m.I ConWFl2211m2121IIW式中例例9 922212122121111ILIMIMILMMM2112MIILILIW