數(shù)模期末論文

1、院 系： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 統(tǒng)計學(xué) 年 級： 09 課程名稱： 數(shù)學(xué)模型 學(xué)號姓名： 王妹 09063034 馬雨 09063043 秦肖 09063027 授課教師： 楊薇娜 機械產(chǎn)品生產(chǎn)計劃摘要本文主要采用多目標(biāo)線性規(guī)劃的方法解利潤最大化問題,根據(jù)利潤=總銷售費用-總庫存費用建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)題中所列條件分別建立約束條件，利用lingo軟件編程求解，問題（1）（2）（3）同為一個模型，只是分析數(shù)據(jù)部分有所差別，分別對影子價格，靈敏度，剩余時間等的分析，可以得出各個問題的解。問題（4）的模型在模型一的基礎(chǔ)上，設(shè)備使用時間的約束條件有所變動，其余條件均與模型一一樣，也利用lingo軟

2、件編程求解，得出設(shè)備優(yōu)化后的最大利潤2943608元并與優(yōu)化前2890575比較，利潤增加了53033元。關(guān)鍵字：lingo 線性優(yōu)化 影子價格 靈敏度分析一、 問題重述機械加工有以下設(shè)備：表1設(shè)備名稱車床立鉆水平鉆鏜床刨床臺數(shù)104542該廠生產(chǎn)5種品（產(chǎn)品編號為產(chǎn)品1產(chǎn)品5），每種產(chǎn)品的利潤（元/件），以及生產(chǎn)單位產(chǎn)品需要的各種設(shè)備的加工工時（小時）如下表：表2 產(chǎn)品利潤（元/件）和需要加工的設(shè)備工時（小時）產(chǎn)品12345利潤60100304050車床0.50.70.3立鉆0.10.20.3水平鉆0.20.60.8鏜床0.050.030.070.10刨床-0.010.05根據(jù)預(yù)測，每個月各

3、種產(chǎn)品的市場銷量的上限如表3：表3 產(chǎn)品的市場銷量上限（件/月）產(chǎn)品12345一月20005000150015004000二月3000250010005002000三月150030005005002500四月10001500200025001000五月50050025005005000六月2500250050015005500根據(jù)設(shè)備狀況，在這六個月中，這五種設(shè)備要求檢修的臺數(shù)如下表：表4 設(shè)備檢修臺數(shù)設(shè)備名稱車床立鉆水平鉆鏜床刨床檢修臺數(shù)42311該廠制定了一個一月至六月的檢修表，如下表：表5 設(shè)備檢修計劃設(shè)備名稱一月二月三月四月五月六月檢修臺數(shù)1臺車床1臺水平鉆1臺車床1臺立鉆1臺車床1臺

4、鏜床1臺車床1臺水平鉆1臺立鉆1臺刨床1臺水平鉆任何一臺設(shè)備如果在某個月被安排檢修，該設(shè)備全月不能用于生產(chǎn)。每種產(chǎn)品的最大庫存量為100件，庫存費用為每月每件5元，在一月初所有產(chǎn)品都有50件庫存，而要求在六月底，每種產(chǎn)品仍然保持50件庫存。工廠每天開兩班，每班8小時。為了不使模型過分復(fù)雜，對以下問題作了一些必要的簡化：1. 假定每班8小時都能正常生產(chǎn)，即不考慮上班后的準(zhǔn)備工時和下班前的清理工時；2. 假定每月都是22個工作日，不考慮每月工作日的不同；3. 假定對任何一種產(chǎn)品，生產(chǎn)過程中，各種設(shè)備的加工沒有先后次序的要求。并且，每個月末所有產(chǎn)品都完成所有的加工工序，沒有產(chǎn)品只完成一部分加工，留到

5、下個月加工。即任何一個月末沒有在制品。4. 同一種設(shè)備中，所有設(shè)備性能完全相同。如安排檢修某種設(shè)備時，只需要考慮這種設(shè)備數(shù)量的減少，不必考慮具體檢修哪幾臺。5. 產(chǎn)品的利潤和生產(chǎn)批量無關(guān)建立模型，編制這5種產(chǎn)品6個月的生產(chǎn)庫存銷售計劃。并利用模型分析評價制約該工廠利潤進(jìn)一步增加的各種瓶頸因素，討論以下問題：1. 在最優(yōu)生產(chǎn)計劃中，提高哪幾個月中哪些產(chǎn)品的市場銷量上限可以增加利潤？其中對利潤影響最大的銷售量是哪些？在保持最優(yōu)生產(chǎn)計劃不變的前提下，這些市場銷量上限提高的幅度是多大？如果采用促銷手段來增加市場銷量，促銷費用應(yīng)該如何控制？2.哪幾個月中哪些產(chǎn)品的最大庫存量對增加利潤構(gòu)成限制，庫存費用的

6、變化是否會導(dǎo)致最優(yōu)生產(chǎn)庫存銷售計劃變化？3.現(xiàn)有的設(shè)備檢修計劃是否合理？列出其中不合理的因素。4.建立最優(yōu)設(shè)備檢修計劃模型，使在這半年中完成表4列出的各種設(shè)備的應(yīng)檢修臺數(shù)，讓每種設(shè)備被安排在最合適的月份檢修，對利潤的影響最小。比較設(shè)備檢修計劃優(yōu)化前后，效益變化的情況。根據(jù)分析結(jié)果寫出綜合性的分析報告，分析報告用文字、表格，對該工廠5種產(chǎn)品6個月的生產(chǎn)庫存銷售量、產(chǎn)品倉庫容量、設(shè)備利用和檢修、產(chǎn)品銷售價格、產(chǎn)品市場容量等相關(guān)因素做出詳細(xì)描述，并對其中值得注意的問題做出討論。二、問題分析 這是一個比較常見的線性優(yōu)化問題，對于問題（1），要達(dá)到生產(chǎn)計劃最優(yōu)化，即使利潤最大化，根據(jù)條件建立利潤最大化模

7、型，建立約束條件。分析哪些產(chǎn)品的市場銷量上限可以增加利潤，既是分析影子價格；將每個月的總影子價格進(jìn)行比較就可得出對利潤影響最大的銷售量是哪些；分析這些市場銷量上限提高的幅度是多大既是分析靈敏度；促銷手段根據(jù)哪幾個月提高哪幾種產(chǎn)品的銷量利潤會上升，查看這些產(chǎn)品在當(dāng)月的庫存，如果還有庫存，結(jié)合此種產(chǎn)品的價格靈敏度分析（降價多少對模型不會有影響），以及此種產(chǎn)品的銷售上限。對于問題（2），只需分析模型的Reduced Cost（庫存量每增加以單位，利潤減少多少），庫存費用的變化也需考慮庫存費用的價格靈敏度。對于問題（3）只需分析設(shè)備使用時間的Slack or Surplus（在最優(yōu)解條件下，設(shè)備的使用

8、時間是否有剩余）。對于問題（4）根據(jù)（3）中五種設(shè)備在每個月的剩余時間情況，與352（一個設(shè)備使用一個月的時間）做比較，如大于352，則此種設(shè)備在此月可以檢修，再結(jié)合表四的檢修表，給出新的檢修表，重新建立模型，得到設(shè)備檢修計劃優(yōu)化后的模型。三、模型假設(shè)（1） 假設(shè)每月工作22日（2） 在進(jìn)行部分產(chǎn)品價格上調(diào)時，設(shè)備的檢修方案不變（3） 在優(yōu)化檢修設(shè)備方案時，產(chǎn)品的價格是上漲后的價格（4） 產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中都是完成品，而且每月要求的產(chǎn)量也完成（5） 產(chǎn)品的利潤和生產(chǎn)的批量無關(guān)（6） 假定每班8小時都能正常生產(chǎn)，即不考慮上班后的準(zhǔn)備工時和下班前的清理工時；（7） 同一種設(shè)備中，所有設(shè)備性能完全相同

9、。如安排檢修某種設(shè)備時，只需要考慮這種設(shè)備數(shù)量的減少，不必考慮具體檢修哪幾臺。四、符號說明： 第種產(chǎn)品（=1，2，3，4，5）： 第個月（=1，2，3，4，5，6）：機械加工的第種設(shè)備（=1，2，3，4，5）：第種產(chǎn)品在第個月里的產(chǎn)量：第種產(chǎn)品在第個月里的庫存量：第種產(chǎn)品在第個月里的銷售量：生產(chǎn)第種產(chǎn)品需要的第種設(shè)備時間：機械加工的第種設(shè)備第個月的使用時間：第種產(chǎn)品在第個月里的銷售上限：機械加工的第種設(shè)備的臺數(shù)：機械加工的第種設(shè)備在第個月里的檢修臺數(shù)： 第種產(chǎn)品每件的利潤： 第種產(chǎn)品的銷售費用： 第種產(chǎn)品的庫存費用： 所有產(chǎn)品的總利潤五、模型建立與求解5.1問題1的模型建立與求解通過對問題的分

10、析，我們建立最優(yōu)化模型來求解。目標(biāo)函數(shù)：總利潤=總銷售費用總庫存費用 第種產(chǎn)品在第月里的銷售量第種產(chǎn)品的銷售費用為6個月的總銷售量的費用，即總銷售費用=第種產(chǎn)品的庫存費用為6個月的總庫存量的費用，即總庫存費用=所以得到目標(biāo)函數(shù)為：-再根據(jù)題目建立約束條件：由題目可以知道，每月有22天的工作日，每天有兩班，每班有8小時，故每月的工作為=22*2*8=352（時）。設(shè)備的工作時長約束：機械加工的第種設(shè)備第個月的使用時間為設(shè)備每月的工作時在第個月里產(chǎn)品的所需的第種設(shè)備的時間為，有庫存約束：每種產(chǎn)品的最大庫存量為100，有，每種產(chǎn)品在6月份底仍然為50件庫存，有銷售約束： 第種產(chǎn)品在第月里的銷售量應(yīng)小

11、于或等于銷售上限，一月初所有產(chǎn)品都有50件庫存，即有通過lingo軟件求解，我們可以得到在最優(yōu)化生產(chǎn)計劃中產(chǎn)品市場銷售上限的影子價格（見附錄一） Row Slack or Surplus Dual Price62 786.2500 0.000000 63 2991.250 0.000000 . . . 90 0.000000 40.00000 91 0.000000 50.00000通過對數(shù)據(jù)的分析得到每種產(chǎn)品在每個月的市場銷售上限的影子價格如下表：表1-1產(chǎn)品123451月40202月40203月40204月52.577.540505月52.577.540506月274050因此，在某月提高

12、產(chǎn)品市場銷售上限可以增加利潤的安排情況如下：表1-2（月份）123456（產(chǎn)品）4,54,54,51,2,4,51,2,4,51,4,5在保持最優(yōu)化生產(chǎn)計劃不變時，通過（1）的分析，我們知道，第1種產(chǎn)品在6個月內(nèi)市場銷售上限總的影子價格為132；第2種產(chǎn)品在6個月內(nèi)市場銷售上限總的影子價格為155；第4種產(chǎn)品在6個月內(nèi)市場銷售上限總的影子價格為240；第5種產(chǎn)品在6個月內(nèi)市場銷售上限總的影子價格為210。由此可知，對利潤影響最大的是第4種產(chǎn)品，第5種產(chǎn)品影響較大，第2種產(chǎn)品次之，第1種產(chǎn)品影響最小。此題通過lingo軟件的靈敏度分析來求解（見附錄一）Objective Coefficient

13、Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease62 1950.000 INFINITY 786.2500 63 4950.000 INFINITY 2991.250 64 1450.000 INFINITY 1450.000 . . . . 90 1550.000 1306.667 1550.000 91 5550.000 5761.000 5550.000通過對數(shù)據(jù)的分析得到在保持最優(yōu)化生產(chǎn)計劃不變的前提下，這些市場銷售上限提高的幅度情況如下表：表1-3產(chǎn)品123451月1549.583103

14、4,4442月8505603月2085.8331215.5564月1540513.33338604393.3335月26001857.143242017206月45901306.6675761Variable Value Reduced CostB11 0.000000 0.5000000B12 0.000000 0.5000000B13 0.000000 53.00000. . .B54 0.000000 0.5000000B55 0.000000 0.5000000B56 50.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowa

15、ble AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseA11 60.00000 2.857143 26.66667A12 60.00000 2.857143 26.66667A13 60.00000 2.857143 26.66667. . . .A55 50.00000 0.5000000 0.5000000A56 50.00000 INFINITY 0.5000000對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：第種產(chǎn)品在第月的庫存量如下表：表1-4123451月1002月3月4月5月1001006月50505050501月份：第5種產(chǎn)品有100件庫存，且通過靈敏度分析知

16、：的系數(shù)范圍為：，即說明產(chǎn)品此時最多降價19.5元，并且其他商品不能有所變動。5月份：第1種產(chǎn)品和第2種產(chǎn)品都有100件庫存，且通過靈敏度分析知：和系數(shù)范圍為：和，即說明1產(chǎn)品和2產(chǎn)品此時最多降價0.5元，并且其他產(chǎn)品不能有所變動。6月份：每種產(chǎn)品均有庫存，且都為50件，故不用采取促銷手段。假設(shè)做促銷活動后商品全賣出，1月份降價幅度比較大，比較具有現(xiàn)實意義，在1月份做促銷活動，營業(yè)額增加5000元，庫存費減少100元，因此促銷費用要小于5100元。5.2問題2的求解此題模型為上述模型：求解庫存量對增加利潤構(gòu)成限制是從降低的價格進(jìn)行分析 Variable Value Reduced Cost B

17、11 0.000000 0.5000000 B12 0.000000 0.5000000 B13 0.000000 53.00000 . . . B54 0.000000 0.5000000 B55 0.000000 0.5000000 B56 50.00000 0.000000通過對數(shù)據(jù)的分析得到結(jié)論：表2-11234561,2,3,41,2,3,4,51,2,3,4,51,2,3,4,53,4,5此題從靈敏度分析角度考慮，當(dāng)庫存費用在一定允許的范圍內(nèi)變動時，不會改變生產(chǎn)庫存銷售最優(yōu)計劃。考慮庫存費用的價格靈敏度，取交集，價格在0.5，19.5之間變動均可。5.3問題3的求解此題模型建立如上

18、模型：此題是在最優(yōu)解不變的條件下，考慮設(shè)備的使用時間是否有剩余。Row Slack or Surplus Dual Price2 0.000000 100.00003 0.000000 100.00004 0.000000 100.0000. . .29 650.1500 0.00000030 86.00000 0.00000031 426.5000 0.000000通過對數(shù)據(jù)的分析，我們能得到設(shè)備使用時間的剩余量如下表：表3-1123451月464.875784.55501.52月2551007.86043月625.75628.35794月13182581038650.155月1300726

19、825866月1224392576.1426.5=1在4,5,6份有剩余(車床也可以調(diào)到5,6月份檢修)；=2在6個月均有剩余（立鉆可以調(diào)到1,3,4,6月份檢修）；=4在6個月均有剩余（鏜床在任何一月檢修均可）；=5在6個月均有剩余（刨床在任何一月檢修均可）。故現(xiàn)有的設(shè)備檢修計劃不是合理的。5.4問題4的模型建立與求解根據(jù)3中5種設(shè)備在每個月的剩余時間情況與=352（一個設(shè)備使用一個月的時間）做比較，若剩余時間大于，則此種設(shè)備在此月可以檢修，再結(jié)合表四的檢修表，給出新的檢修表如下：表4-1設(shè)備名稱車床立鉆水平鉆鏜床刨床檢修臺數(shù)32311表4-2設(shè)備名稱一月二月三月四月五月六月檢修臺數(shù)1臺立鉆

20、1臺水平鉆1臺刨床1臺立鉆1臺車床1臺水平鉆1臺車床1臺鏜床1臺水平鉆1臺車床對設(shè)備檢修計劃優(yōu)化前：Variable Value Reduced CostA11 1163.750 0.000000A12 1930.000 0.000000A13 1367.500 0.000000. . .B54 0.000000 0.5000000B55 0.000000 0.5000000B56 50.00000 0.000000對數(shù)據(jù)分析有：生產(chǎn)量產(chǎn)品123451月116419590145040502月19302290050020003月13682478050025004月1000150038525001

21、0005月600600160050050006月24501530015505500庫存量產(chǎn)品123451月1002月3月4月5月1001006月5050505050 銷售量產(chǎn)品123451月1214200950150040002月19302290050021003月13682478050025004月10001500385250010005月500500160050050006月25001580015005450此時所有產(chǎn)品在6個月里的總利潤為2890575元。優(yōu)化后：將上述模型中的第種產(chǎn)品需要設(shè)備的工作時間進(jìn)行改動即可（見附錄二），由此可得一下結(jié)果： Variable Value Reduc

22、ed Cost A11 1950.000 0.000000 A12 3000.000 0.000000 A13 1500.000 0.000000 . . . B54 0.000000 0.5000000 B55 0.000000 0.5000000 B56 50.00000 0.000000對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析有：生產(chǎn)量產(chǎn)品123451月195016970145040502月30001933050020003月15002433050025004月10001500385250010005月600600160050050006月24501530015505500庫存量產(chǎn)品123451月1002月3月4

23、月5月1001006月5050505050 銷售量產(chǎn)品123451月2000174750150040002月30001933050021003月15002433050025004月10001500385250010005月500500160050050006月25001580015005450此時所有產(chǎn)品在6個月里的總利潤為2943608元。利潤增加了53033元，生產(chǎn)銷售計劃也有變動。六、模型評價 (1) 建立模型時，充分利用了線性規(guī)劃與最優(yōu)化的有關(guān)知識，考慮到了設(shè)備能力，最大庫存量等多方面因素，統(tǒng)籌規(guī)劃，尋求最優(yōu)方案。（2） 運用lingo對模型進(jìn)行求解，并進(jìn)行靈敏度，影子價格等的分析。（

24、3） 根據(jù)實際情況，對模型做了符合實際的假設(shè)，使模型簡單化。參考文獻(xiàn)：12姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，高等教育出版社，2010，9附錄一：max=60*(a11+a12+a13+a14+a15+a16)+100*(a21+a22+a23+a24+a25+a26)+30*(a31+a32+a33+a34+a35+a36)+40*(a41+a42+a43+a44+a45+a46)+50*(a51+a52+a53+a54+a55+a56)-0.5*(b11+b12+b13+b14+b15+b16+b21+b22+b23+b24+b25+b26+b31+b32+b33+b34+b35+b36+b4

25、1+b42+b43+b44+b45+b46+b51+b52+b53+b54+b55+b56);0.5*a11+0.7*a21+0.3*a51<=3168;0.5*a12+0.7*a22+0.3*a52<=3168;0.5*a13+0.7*a23+0.3*a53<=3168;0.5*a14+0.7*a24+0.3*a54<=3168;0.5*a15+0.7*a25+0.3*a55<=3520;0.5*a16+0.7*a26+0.3*a66<=3520; !第i產(chǎn)品需要車床設(shè)備的工作時間;0.1*a11+0.2*a21+0.3*a41<=1408;0.1*

26、a12+0.2*a22+0.3*a42<=1056;0.1*a13+0.2*a23+0.3*a43<=1408;0.1*a14+0.2*a24+0.3*a44<=1408;0.1*a15+0.2*a25+0.3*a45<=1056;0.1*a16+0.2*a26+0.3*a46<=1408; !第i產(chǎn)品需要立鉆設(shè)備的工作時間;0.2*a11+0.6*a21+0.8*a31<=1408;0.2*a12+0.6*a22+0.8*a32<=1760;0.2*a13+0.6*a23+0.8*a33<=1760;0.2*a14+0.6*a24+0.8*a3

27、4<=1408;0.2*a15+0.6*a25+0.8*a35<=1760;0.2*a16+0.6*a26+0.8*a36<=1408; !第i產(chǎn)品需要水平鉆設(shè)備的工作時間;0.05*a11+0.03*a21+0.07*a41+0.1*a51<=1408;0.05*a12+0.03*a22+0.07*a42+0.1*a52<=1408;0.05*a13+0.03*a23+0.07*a43+0.1*a53<=1056;0.05*a14+0.03*a24+0.07*a44+0.1*a54<=1408;0.05*a15+0.03*a25+0.07*a45+0

28、.1*a55<=1408;0.05*a16+0.03*a26+0.07*a46+0.1*a56<=1408; !第i產(chǎn)品需要鏜床設(shè)備的工作時間;0.01*a31+0.05*a51<=704;0.01*a32+0.05*a52<=704;0.01*a33+0.05*a53<=704;0.01*a34+0.05*a54<=704;0.01*a35+0.05*a55<=352;0.01*a36+0.05*a56<=704;!第i產(chǎn)品需要刨床設(shè)備的工作時間;b11<=100;b21<=100;b31<=100;b41<=100;b

29、51<=100;!第i產(chǎn)品第j月的庫存量;b12<=100;b22<=100;b32<=100;b42<=100;b52<=100;b13<=100;b23<=100;b33<=100;b43<=100;b53<=100;b14<=100;b24<=100;b34<=100;b44<=100;b54<=100;b15<=100;b25<=100;b35<=100;b45<=100;b55<=100;b16=50;b26=50;b36=50;b46=50;b56=50;5

30、0+a11-b11<=2000;50+a21-b21<=5000;50+a31-b31<=1500;50+a41-b41<=1500;50+a51-b51<=4000;!第i產(chǎn)品第j月的銷售量;a12+b11-b12<=3000;a22+b21-b22<=2500;a32+b31-b32<=1000;a42+b41-b42<=500;a52+b51_b52<=2000;a13+b12-b13<=1500;a23+b22-b23<=3000;a33+b32-b33<=500;a43+b42-b43<=500;a5

31、3+b52-b53<=2500;a14+b13-b14<=1000;a24+b23-b24<=1500;a34+b33-b34<=2000;a44+b43-b44<=2500;a54+b53-b54<=1000;a15+b14-b15<=500;a25+b24-b25<=500;a35+b34-b35<=2500;a45+b44-b45<=500;a55+b54-b55<=5000;a16+b15-b16<=2500;a26+b25-b26<=2500;a36+b35-b36<=500;a46+b45-b46&

32、lt;=1500;a56+b55-b56<=5500; Global optimal solution found. Objective value: 2890575. Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 47 Variable Value Reduced Cost A11 1163.750 0.000000 A12 1930.000 0.000000 A13 1367.500 0.000000 A14 1000.000 0.000000 A15 600.0000 0.000000 A16 2450.000 0.00000

33、0 A21 1958.750 0.000000 A22 2290.000 0.000000 A23 2477.500 0.000000 A24 1500.000 0.000000 A25 600.0000 0.000000 A26 1530.000 0.000000 A31 0.000000 10.00000 A32 0.000000 10.00000 A33 0.000000 10.00000 A34 385.0000 0.000000 A35 1600.000 0.000000 A36 0.000000 103.3333 A41 1450.000 0.000000 A42 500.0000

34、 0.000000 A43 500.0000 0.000000 A44 2500.000 0.000000 A45 500.0000 0.000000 A46 1550.000 0.000000 A51 4050.000 0.000000 A52 2000.000 0.000000 A53 2500.000 0.000000 A54 1000.000 0.000000 A55 5000.000 0.000000 A56 5550.000 0.000000 B11 0.000000 0.5000000 B12 0.000000 0.5000000 B13 0.000000 53.00000 B14 0.000000 0.5000000 B15 100.0000 0.000000 B16 50.00000 0.000000 B21 0.000000 0.5000000 B22 0.000000 0.5000000 B23 0.000000 78.00000 B24 0.000000 0.5000000 B25 100.0000 0.000000 B26 50.00000 0.00