排列數(shù)組合數(shù)公式常見題型例析

1、排列數(shù)、組合數(shù)公式常見題型例析廣東省佛山市順德區(qū)沙滘中學(xué) 528315 何健文縱觀近10年高考，有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)公式的運(yùn)用一直都是出題的冷點(diǎn)，試題偶有所見，大都是以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，屬容易題，但2001年全國高考題的第一大題的出現(xiàn)，令眾多考生束手無策，也引起了師生們的極大關(guān)注。本文擬從以下兩方面介紹有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)公式常見題型和解題分析，供廣大讀者參考。一、 排列數(shù)、組合數(shù)公式及變形公式1、排列數(shù)公式=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=，特別地=n(n-1)(n-2)321，規(guī)定0！=1；2、組合數(shù)公式=. 注意：且都是正整數(shù)，可以為0，即=1.3、兩個(gè)重要性質(zhì)(1) ，為了簡(jiǎn)化

2、計(jì)算，當(dāng)時(shí)，通常將轉(zhuǎn)化為；(2) +=.由這些性質(zhì)可以得到幾個(gè)常用變形公式（組合恒等式）：() =() +=.() (n+1)!=(n+1)n!=nn!+n!. nn!= (n+1)n!n!.() +=等等.二、排列數(shù)、組合數(shù)公式常見題型例析1、 求值例1 求+的值.解：由題意可知, 原式中的正整數(shù)n必須滿足下列條件： 07nn,09-nn+1, 解得4n9. (nN)nN.n=4, 5, 6, 7. 將n=4, 5, 6, 7.代入+可得到分別為5，25，41，29.評(píng)析 本題從組合數(shù)成立的條件（0且都是自然數(shù)）入手，既找到了解題路，又使問題完滿地得到了解決，可謂一舉兩得. 另一方面，我們從

3、中又得到一個(gè)啟發(fā)：利用組合數(shù)的性質(zhì)解決某些問題，要比純用組合數(shù)公式解決問題方便的多.例2 計(jì)算+.解：利用組合數(shù)性質(zhì)：=+.原式=+=+=1 =329.評(píng)析 正確使用組合數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)的計(jì)算公式是解本題的關(guān)鍵。解題時(shí)，要抓住公式的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用時(shí)可以結(jié)合題目的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用公式變形，達(dá)到解題的目的。本題還可以利用性質(zhì)（2）的變形恒等式：=.原式=（）+（）+（）=1=329.2、解方程或不等式例3 解方程3=5.解：由排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程 . . (x3)(x6)=40. x=11或x=2.經(jīng)檢驗(yàn)知x=11是原方程的根，x=2是原方程的增根，所以方程的根為x=11.評(píng)析 排列數(shù)和組合數(shù)

4、公式都有兩種形式： 乘積形式；介乘形式，前者多用于具體數(shù)字計(jì)算，后者多用于含字母的組合數(shù)恒等變形，證明等式或不等式。例4 解不等式 .解：原不等式=.>.(舍去).原不等式的解集為.評(píng)析 化歸為常規(guī)方程或不等式是解決這類問題的常用方法。解出方程或不等式后，一定要對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否滿足條件，然后把不符合的解舍去.3、在二次展開式中的應(yīng)用例5 求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解：設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則有 , . 即 , , 即 . . 解得 r. r, r=3.r=3時(shí)，為所求的系數(shù)最大的項(xiàng).評(píng)析 求解系數(shù)最大的項(xiàng)此類問題的關(guān)鍵是運(yùn)用通項(xiàng)公式，正確列出不等式組，同時(shí)還應(yīng)重視整數(shù)解的尋找

5、。解題時(shí)要審清題意，搞清所求最大項(xiàng)是指數(shù)值最大項(xiàng)，還是系數(shù)最大項(xiàng)，還是指二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。除此之外還應(yīng)注意公式的兩種形式（乘積形式介乘形式）的應(yīng)用，變形時(shí)要觀察有沒有含介乘的公因式，若有，要及時(shí)提出公因式。二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有如下性質(zhì)(參見全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B）第109頁)：在的展開式中當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)(第項(xiàng)和第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大為和；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大為.4、證明恒等式或不等式例6 求證：+2+3+n=n.證法一：利用組合數(shù)性質(zhì)的變形公式，則有左邊=n+n+n+n= n(+)=n=右邊.（其中+=，下同）證法二：邊=

6、 = = n(+)=n=右邊.證法三：構(gòu)造一個(gè)組合問題數(shù)學(xué)模型：“某班有n人，現(xiàn)組織一些人做交通安全宣傳隊(duì)，選一名同學(xué)做隊(duì)長(zhǎng)，這樣的有隊(duì)長(zhǎng)的宣傳隊(duì)共可組成多少組？”。一種解法是選確定隊(duì)長(zhǎng)，有種方法，然后對(duì)余下(n1)人分別選擇，每個(gè)人有選上和選不上兩種可能，由分步計(jì)數(shù)原理知共有n種組隊(duì)方法；另一種解法是按宣傳隊(duì)的人數(shù)分類計(jì)數(shù)，在每類中分別選隊(duì)長(zhǎng)，由分類計(jì)數(shù)原理可知應(yīng)有+2+3+n種組隊(duì)方法。所以+2+3+n=n.評(píng)析 組合數(shù)公式有許多變形式，在證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的恒等式時(shí)，特別要注意公式的變形式的應(yīng)用，此題就用到了最常用的變形式：=。若此題作如下改變：（1） 求證：+2+4+=（提示：利用二

7、項(xiàng)展開式，賦字母以適當(dāng)?shù)闹蒂x值法）；（2）求值：2+34+(n+1)（答案為0）.上述問題如何解決呢，它的推廣形式又是什么？留給讀者自己思考。例7 （2001全國高考題改編） 已知,是正整數(shù)，且1<.(1)證明：；(2)證明：.(1) 證明：對(duì)于1<, 有=同理,由于<,對(duì)整數(shù)1,2,3, -1, 都有, 所以>,即.(2) 證明：由二項(xiàng)式定理有=+； =+。又=，而>.>>>又=,=.評(píng)析 本題以排列、組合、二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識(shí)為載體，把它們?nèi)谟诓坏仁降淖C明之中，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、精巧，富有創(chuàng)意，突出了數(shù)學(xué)的抽象推理，是一道以能力立意命題的范題。本大題

8、有多種解法此就不一一贅訴。5、在數(shù)列中的應(yīng)用特別說明：例6的第四種證法就是應(yīng)用數(shù)列求和方法之倒序相加法證明（此略）.上題可作推廣：設(shè), , ,成等差數(shù)列，求證：+ + +=(+)例8 已知數(shù)列滿足()，是否存在等差數(shù)列，使對(duì)一切自然數(shù)成立？并證明你的結(jié)論.解：假設(shè)等差數(shù)列，使對(duì)一切自然數(shù)成立。當(dāng)=1時(shí)，得1=，所以=1；當(dāng)=2時(shí)，得4=+，所以=2；當(dāng)=3時(shí)，得12=+，所以=3.猜測(cè)=時(shí), .=.=.故存在等差數(shù)列, 使已知等式對(duì)一切成立.6、在實(shí)際應(yīng)用題中的應(yīng)用例 9 一條鐵路原有n個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)的需要，新增加了m個(gè)車站（m>1）, 客運(yùn)車票增加了62種，問原有多少車站？現(xiàn)有多少個(gè)車站？解：原有n個(gè)車站，原有車票種. 又現(xiàn)有n+m個(gè)車站,現(xiàn)有車票種.依題意有-=62, 整理得2+-=62, .又nN，即-62<0且m>1.1<m<且mN, m=2,3,4,5,6,7,8.當(dāng)m=2時(shí)，n=15；當(dāng)m=3,4,5,6,7,8時(shí)，n都不是自然數(shù)，n=15,m=2.故原有車站15個(gè)，現(xiàn)有車站