數(shù)列 第一輪復(fù)習(xí)

1、第一輪復(fù)習(xí) 數(shù)列【考向指引】 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，故而在高考中占有重要地位。從近幾年的高考試題來(lái)看，數(shù)列部分的復(fù)習(xí)備課應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題目，應(yīng)切實(shí)注意與的關(guān)系。2、 探索性問題在數(shù)列中考察較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給予證明。探索性問題對(duì)分析問題解決問題的能力有較高的要求。3、 等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)為必考內(nèi)容，這類考題有容易題、中等題，也有難題。4、 求和問題也是常見的試題類型，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和。

2、5、 將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。6、 有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)，今后在這方面還會(huì)體會(huì)的更突出。7、 數(shù)列與新增內(nèi)容（如程序框圖）等綜合體也應(yīng)引起高度重視。第一講 數(shù)列的概念一、 考點(diǎn)解讀1、 數(shù)列的概念按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。各項(xiàng)一次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第項(xiàng)，數(shù)列的一般形式可簡(jiǎn)記為，其中是數(shù)列的第項(xiàng)。注意：（1） 數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成的兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列。（2） 定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)

3、必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)。2、 數(shù)列的分類（1） 根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列。無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列。（2） 按照數(shù)列的每一項(xiàng)的值隨項(xiàng)數(shù)變化的情況分 遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列3、 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成以自然數(shù)集或者其有限子集為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。4、 數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。注意：（1） 并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式。（2） 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的。（3） 數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是

4、該數(shù)列中的一項(xiàng)。5、 數(shù)列的三種表示形式列舉法，通項(xiàng)公式法和圖象法二、 典例根據(jù)有限項(xiàng)抽象數(shù)列的通項(xiàng)公式1、 寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1） 3，5，9，17，； （2）；（3）0,1,0,1，； （4）2，-6,12，-20,30，.由數(shù)列的前項(xiàng)和給出的遞推式變形2、 數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。用累加、累乘法探求數(shù)列的通項(xiàng)公式3、 已知數(shù)列滿足：。（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始及其后面各項(xiàng)均小于？ 已知遞推關(guān)系求指定項(xiàng)4、 已知數(shù)列滿足：，若，則m所有可能的取值為 。三、 練習(xí)1、 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是 。2、 *已知數(shù)列中

5、，則等于 。3、 若數(shù)列前項(xiàng)和，則等于 。4、 若是數(shù)列前項(xiàng)和，則= 。5、 已知數(shù)列中，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為= 。6、 數(shù)列 滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。第二講 等差數(shù)列一、 考點(diǎn)解讀1、 等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差。2、 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式的變形形式：或（其中是常數(shù)）3、 計(jì)算公差的幾種基本方法： 4、 等差中項(xiàng)：若等等差數(shù)列，那么A叫做的等差中項(xiàng)。5、 基本性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若，則6、 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：。 公式2： 公式3：，當(dāng)公差時(shí)，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式。二、

6、 典例等差數(shù)列求解的基本方法：還原基本量1、 等差數(shù)列中，（1） 已知，求；（2） 已知，求的值。 等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用2、 已知函數(shù)，等差數(shù)列的公差為2，若，則 。*等差數(shù)列概念的運(yùn)用3、 遞增數(shù)列1，5，7，11，13，17，包含所有既不能被2整除又不能被3整除的正整數(shù)，求此數(shù)列的第100項(xiàng)。等差數(shù)列應(yīng)用問題4、 在我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)。例如北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成，如圖所示，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊石板，共有9圈。問：（1） 第9圈共有多少塊石板？（2）

7、 不包括天心石，9圈共有多少塊石板？等差數(shù)列前項(xiàng)和運(yùn)用5、 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則= 。等差數(shù)列的概念的運(yùn)用6、 在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)能被3除余2，并求這些數(shù)的和。等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題7、 已知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，且。（1） 求的通項(xiàng)；（2） 求前項(xiàng)和的最大值。 等差數(shù)列綜合問題8、 設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足。（1） 若，求；（2） 求的取值范圍。三、 練習(xí)1、 已知數(shù)列前項(xiàng)和，則此數(shù)列 （ ）A、是等差數(shù)列， B、是等比數(shù)列，C、非等差數(shù)列， D、非等比數(shù)列，2、 數(shù)列是等差數(shù)列，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （ ）A、 B、C、或 D、或3、 在等差

8、數(shù)列中，若，則等于 （ ）A、-6 B、4 C、-2 D、04、 設(shè)，且兩數(shù)列和均為等差數(shù)列，那么的值是 （ ）A、 B、 C、 D、5、 成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)之積為40，則這四個(gè)數(shù)是 。6、 在等差數(shù)列中，則= 。7、 等差數(shù)列中，求此數(shù)列的通項(xiàng)。8、 一個(gè)等差數(shù)列共項(xiàng)，其和為90，這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)的和為25，后10項(xiàng)的和為75，則項(xiàng)數(shù)為（ ）A、14 B、16 C、18 D、209、 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則= 。10、 在等差數(shù)列中，則此數(shù)列前項(xiàng)和為的最小值為 。11、 一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27，求

9、公差。第三講 等比數(shù)列一、 考點(diǎn)解讀1、 等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，即：。2、 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：。3、 既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列。4、 等比中項(xiàng)：為與的等比中項(xiàng)。即。5、 等比數(shù)列的性質(zhì)：若，則。6、 等比數(shù)列的遞增性：當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列。7、 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，或 當(dāng)時(shí)，二、 典例等比數(shù)列基本公式的運(yùn)用1、 已知等比數(shù)列前三項(xiàng)的和為3，如果將第三項(xiàng)減去9則這三項(xiàng)又分別是一個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)和第七項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。構(gòu)造輔

10、助數(shù)列解題2、 數(shù)列的各項(xiàng)均為正值，對(duì)任意的，都成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系3、 已知數(shù)列是等差數(shù)列，已知（1） 求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 等比數(shù)列綜合問題4、 已知，點(diǎn)（）在函數(shù)的圖象上，其中（1） 證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 設(shè)，求及數(shù)列的通項(xiàng)。等比數(shù)列基本運(yùn)算5、 在等比數(shù)列中（1） 已知，求和的值；（2） 已知，求和的值。 等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用6、 已知等比數(shù)列中（1） ，求項(xiàng)數(shù)n和公比。（2） ，求的值。 等比數(shù)列應(yīng)用問題7、 已知某市2008年底人口數(shù)為100萬(wàn)，人均住房面積40平方米，如果該市每年人口增長(zhǎng)率為2%，每年平均新建住房面積20萬(wàn)

11、平方米，試求導(dǎo)2012年底人均住房面積。（精確到1平方米，參考數(shù)據(jù)：）等比綜合問題8、 已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，其中恰為等比數(shù)列，若，求的值。三、 練習(xí)1、 等比數(shù)列中，表示前項(xiàng)的積，若，則 （ ）A、 B、 C、 D、2、 已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是 （ ）A、數(shù)列是等差數(shù)列 B、數(shù)列是等比數(shù)列C、數(shù)列可能是常數(shù)列 D、數(shù)列不可能是常數(shù)列3、 等差數(shù)列中，成等比，那么該等比數(shù)列公比的值為 。4、 已知等比數(shù)列滿足，則等于 。5、 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值是 。6、 等差數(shù)列公差不為0，且是等比數(shù)列的相鄰三項(xiàng)，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。7、 一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的

12、和為，前2n項(xiàng)之和，則等于 。8、 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則等于 。9、 在等比數(shù)列中，則等于 。10、 各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為？11、 已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)的和為，且成等差數(shù)列。（1） 求；（2） 求證：成等差數(shù)列。第四講 數(shù)列求和問題一、 考點(diǎn)解讀數(shù)列求和是數(shù)列部分的一個(gè)重要內(nèi)容，常見的數(shù)列求和方法有如下幾種：1、 公式求和法直接運(yùn)用等差或等比數(shù)列的求和公式求和，運(yùn)用等比求和公式時(shí)注意對(duì)于公比是否等于1的討論，另外還有兩條公式偶爾也會(huì)用到：， 2、 分組求和法將原數(shù)列中的每一項(xiàng)分拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者將原數(shù)列中的多項(xiàng)合并為一項(xiàng)，而將原數(shù)列轉(zhuǎn)化成為多個(gè)或

13、一個(gè)可以求和的數(shù)列。3、 倒序相加求和法4、 錯(cuò)位相減求和法適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和。5、 裂項(xiàng)相消求和法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)均能化為兩項(xiàng)之差，而前面項(xiàng)的減數(shù)恰好與后面項(xiàng)的被減數(shù)相同，一減一加，中間項(xiàng)被消去，那么求原數(shù)列的各項(xiàng)之和就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。二、 典例運(yùn)用公式求和1、 設(shè)是一次函數(shù)，成等比數(shù)列，求的值。特殊公式和分組求和2、 求和：倒序法求和3、 已知函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)。（1） 求實(shí)數(shù)的值并證明；（2） 若數(shù)列中，記其前n項(xiàng)和為，求的值。 錯(cuò)位法求和4、 已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4.（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

14、裂項(xiàng)法求和5、 已知等差數(shù)列滿足：，的前項(xiàng)和為。（1） 求及；（2） 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和。三、 練習(xí)1 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則= （ ） A、3 B、2 C、 D、2 等差數(shù)列中，等比數(shù)列中，則等于 （ ） A、 B、 C、 D、無(wú)法確定3 求和：= 。4 數(shù)列的通項(xiàng)為，前項(xiàng)的和為，則= 。5 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，求的值。6 在數(shù)列中，且，求此數(shù)列前100項(xiàng)的和。第五講 數(shù)列綜合問題一、 考點(diǎn)解讀通常我們所遇到的數(shù)列問題往往不是單純的等差或等比，很多時(shí)候需要將兩個(gè)數(shù)列綜合考慮，比如某些數(shù)列可以既是等差又是等比，又或者某個(gè)等比數(shù)列的某些項(xiàng)可以成為等差數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)

15、往往能夠和其他的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起，比如數(shù)列與函數(shù)、不等式等章節(jié)的結(jié)合，以及周期數(shù)列的有關(guān)問題。二、 典例等差等比的簡(jiǎn)單綜合1、 已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，又依次成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三角形中的等差等比問題2、 已知中，三內(nèi)角的度數(shù)依次成等差數(shù)列，三邊依次成等比數(shù)列。求證：是等邊三角形。存在性問題與分類討論思想3、 是否存在互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，使它們同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：； 成等差數(shù)列； 將適當(dāng)排列后成等比數(shù)列。 函數(shù)中的數(shù)列問題4、 設(shè)一次函數(shù)，數(shù)列中，點(diǎn)（-1,0），在函數(shù)的圖象上。（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和。 數(shù)列與不等式5、 已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（4，），（5,1）（1） 求函數(shù)的解析式；（2） 記，是正整數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，解關(guān)于的不等式。 探索性問題6、 首項(xiàng)為，公差為的整數(shù)等差數(shù)列滿足下列兩個(gè)條件： ；滿足>100的的最小值是15。試求公差和首項(xiàng)的值。三、 練習(xí)1、 若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則成 （ ）A、等差數(shù)列