選修1-1綜合水平測試2

1、.選修11綜合水平測試(二)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分，考試時間120分鐘第卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1若拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則拋物線的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x答案D解析拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，拋物線的開口方向向左且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其中p2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.2有下列四個命題：“若x2y20，則xy0”的否命題；“若xy，則x2y2”的逆否命題；若“x3，則x2x60”的否命題；“對頂角相等”的逆命題其中真命題的個數(shù)是()A0 B1

2、C2 D3答案A解析對于，否命題是“若x2y20，則xy0”，例如，x3，y0時，x2y20，但xy0，是假命題；對于，逆否命題是“若x2y2，則xy”，例如x0，y1時，x2y2，但xy，是假命題；對于，否命題為“若x3，則x2x60”，例如x4時，x2x60，是假命題；對于，“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”，是假命題所以真命題的個數(shù)為0.故選A.3若函數(shù)ya(x3x)的遞增區(qū)間是，則a的取值范圍是()Aa0 B1a0Ca1 D0a1答案A解析依題意得ya(3x21)0的解集為，a0.4命題“x1,2，x2a0”為真命題的一個充分不必要條件是 ()Aa4 Ba4Ca5 Da5答案

3、C解析x1,2，1x24，要使x2a0為真，則ax2，則a4，本題求的是充分不必要條件，結(jié)合選項(xiàng)，只有C符合，故選C.5設(shè)命題p：函數(shù)ysin2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)ycosx的圖象關(guān)于直線x對稱則下列判斷正確的是()Ap為真 B綈q為假Cpq為假 Dpq為真答案C解析函數(shù)ysin2x的最小正周期為，所以命題p為假；函數(shù)ycosx的圖象的對稱軸為xk，kZ，所以命題q為假，所以綈q為真，pq為假，pq為假6已知雙曲線my2x21(mR)與橢圓x21有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±3x答案A解析橢圓x21

4、的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±2)雙曲線my2x21(mR)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線my2x21(mR)與橢圓x21有相同的焦點(diǎn)， 2，m，雙曲線的漸近線方程為y±x.所以A選項(xiàng)是正確的7k±是直線ykx1與曲線x2y24僅有一個公共點(diǎn)的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件答案A解析由得(1k2)x22kx50.當(dāng)k21，即k±1時，有唯一解當(dāng)k21且0時，也有唯一解，此時k±.所以k±是直線ykx1與曲線x2y24，僅有一個公共點(diǎn)的充分不必要條件8函數(shù)yx2sinx的圖象大致是()答案C解析因?yàn)閥2cosx，所

5、以令y2cosx0，得cosx，此時原函數(shù)是增函數(shù)；令y2cosx0，得cosx，此時原函數(shù)是減函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)圖象，可得選項(xiàng)C正確9函數(shù)f(x)xsinxcosx的增區(qū)間是()A(0，) B.C(，2) D.答案D解析f(x)xsinxcosx，f(x)sinxxcosxsinxxcosx.當(dāng)x時f(x)0，f(x)的增區(qū)間為.10已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析由題知，x0，f(x)ln x12ax，由于函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)，則f(x)0有兩個不等的正根，即函數(shù)yln x1與y2ax的圖象有兩個

6、不同的交點(diǎn)(x0)，則a0.設(shè)函數(shù)yln x1上任一點(diǎn)(x0,1ln x0)處的切線為l，則kly，當(dāng)l過坐標(biāo)原點(diǎn)時，x01，令2a1a，結(jié)合圖象知0a.11過點(diǎn)P(4,0)的直線l與曲線C：x22y24交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)Q的軌跡方程為()A(x2)22y24B(x2)22y24(1x0)Cx22(y2)24Dx22(y2)24(1x0)答案B解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，則x1x22x，y1y22y，xx2(yy)kABkPQ(x2)22y24，AB中點(diǎn)Q的軌跡方程為(x2)22y24(1x0)12已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，雙曲線x2y21的漸近線

7、與橢圓C有四個交點(diǎn)，以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.雙曲線的漸近線方程為y±x，代入橢圓方程得1, 即1，所以x2b2，x±b.所以y±b，則在第一象限，雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4×b×bb216，所以b25，所以橢圓C的方程為1，選D.第卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13若“x，tanxm”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為_答案1解析若0

8、x，則0tanx1，“x，tanxm”是真命題，m1，實(shí)數(shù)m的最小值為1.14以等腰直角ABC的兩個底角頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，并且經(jīng)過另一頂點(diǎn)的橢圓的離心率為_答案解析設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為l，則其斜邊長為l，由題意可知，焦距2cl，cl，由橢圓的定義可知2a2l，al，所以離心率e.15已知點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN相切于點(diǎn)B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為_答案x21(x1)解析設(shè)圓與直線PM，PN分別相切于E，F(xiàn)，則|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422，點(diǎn)P

9、的軌跡是以M(3,0)，N(3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a1，c3，b28.故雙曲線的方程是x21(x1)16設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且g(x)0，當(dāng)x0時，f(x)g(x)f(x)g(x)，且f(3)0，則不等式0的解集是_答案(，3)(0,3)解析f(x)和g(x)(g(x)0)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f(x)f(x)，g(x)g(x)當(dāng)x0時，f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)0.當(dāng)x0時，0，令h(x)，則h(x)在(，0)上單調(diào)遞增，h(x)h(x)，h(x)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)h(x)在(0，

10、)單調(diào)遞增，f(3)f(3)0，h(3)h(3)0，0的解集為(，3)(0,3)三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分10分)已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍解由x28x200，得x2或x10，p：Ax|x2或x10由x22x1a20(a0)，得x1a或x1a，q：Bx|x1a或x1ap是q的充分不必要條件，A是B的真子集0a3.正實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,318(本小題滿分12分)已知命題p：方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線1的離心率e(1,2)，若p，q只有一個為真，求

11、實(shí)數(shù)m的取值范圍解將方程1，改寫為1，只有當(dāng)1m>2m>0，即0<m<時，方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，命題p等價于0<m<；因?yàn)殡p曲線1的離心率e(1,2)，所以m>0，且1<<4，解得0<m<15；所以命題q等價于0<m<15；若p真q假，則m；若p假q真，則m<15.綜上，m的取值范圍為m<15.19(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax22xln x.(1)當(dāng)a0時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)因?yàn)閒(x)ax2

12、2xln x，當(dāng)a0時，f(x)2xln x，則f(x)2，令f(x)0得x，所以x，f(x)，f(x)的變化情況如表：xf(x)0f(x)極小值所以當(dāng)x時，f(x)的極小值為1ln 2，無極大值(2)由已知f(x)ax22xln x，且x0，則f(x)ax2.若a0，由(1)知f(x)0得x，顯然不符合題意；若a0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以f(x)0對x恒成立，即不等式ax22x10對x恒成立，即a21對x恒成立，故amax.而當(dāng)x時，函數(shù)21的最大值為3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a3.20(本小題滿分12分)如圖，橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，且離心率為.(1)求橢圓

13、E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ斜率之和為2.解(1)由題設(shè)知，b1，結(jié)合a2b2c2，解得a，所以y21.(2)證明：由題意，設(shè)直線PQ的方程為yk(x1)1(k0)，代入橢圓方程y21，可得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知得(1,1)在橢圓外，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，則x1x2，x1x2，且16k2(k1)28k(k2)(12k2)0，解得k0或k2，則有直線AP，AQ的斜率之和為kAPkAQ2k(2k)2k(2k)·2k(2k)·2k2(k1

14、)2，即直線AP與AQ斜率之和為2.21(本小題滿分12分)已知點(diǎn)F為拋物線E：y22px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點(diǎn)G(1,0)，延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切解(1)由拋物線的定義得|AF|2.因?yàn)閨AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2) 證法一：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從

15、而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切證法二：設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而B.又G(1,0)，故直線GA的方程為2x3y20，從而r.又直線GB的方程為2x3y20，所以點(diǎn)F到直線GB的距離dr.這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切22(

16、本小題滿分12分)設(shè)f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M.(2)如果對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等價于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0或x，又x0,2，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1，故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，則滿足條件的最大整數(shù)M4.(2)對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等價于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)ming(x)max.由(1