2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖南卷(文)

1、2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)(文科) 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試時間 120 分鐘 第卷 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1已知（1i）2z1i(i 為虛數(shù)單位)，則復數(shù) z( ) A1i B1i C1i D1i 2在一次馬拉松比賽中，35 名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示 1314150 0 3 4 5 6 6 8 8 8 91 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 80 1 2 2 3 3 3 若將運動員按成績

2、由好到差編為 135 號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取 7 人，則其中成績在區(qū)間139，151上的運動員人數(shù)是( ) A3 B4 C5 D6 3設 xR，則“x1”是“x31”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 4若變量 x，y 滿足約束條件xy1，yx1，x1，則 z2xy 的最小值為( ) A1 B0 C1 D2 5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 n3，則輸出的 S( ) A.67 B.37 C.89 D.49 6若雙曲線x2a2y2b21 的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為( ) A.73 B.54 C.43 D.53 7若實數(shù)

3、 a，b 滿足1a2b ab，則 ab 的最小值為( ) A. 2 B2 C2 2 D4 8設函數(shù) f(x)ln(1x)ln(1x)，則 f(x)是( ) A奇函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù) B奇函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù) C偶函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù) D偶函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù) 9已知點 A，B，C 在圓 x2y21 上運動，且 ABBC.若點 P 的坐標為(2，0)，則|的最大值為( ) A6 B7 C8 D9 10某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為 材料利用率新

4、工件的體積原工件的體積( ) A.89 B.827 C.24（ 21）3 D.8（ 21）3 第卷 二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分把答案填在題中橫線上) 11已知集合 U1，2，3，4，A1，3，B1，3，4，則 A(UB)_ 12在直角坐標系 xOy 中，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系若曲線 C 的極坐標方程為 2sin ，則曲線 C 的直角坐標方程為_ 13若直線 3x4y50 與圓 x2y2r2(r0)相交于 A，B 兩點，且AOB120 (O 為坐標原點)，則 r_ 14若函數(shù) f(x)|2x2|b 有兩個零點，則實數(shù) b 的取值范圍是

5、_ 15已知 0，在函數(shù) y2sin x 與 y2cos x 的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為 2 3，則 _ 三、解答題(本大題共 6 小題，共 75 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16(本小題滿分 12 分)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎抽獎方法是：從裝有 2 個紅球 A1，A2和 1 個白球 B 的甲箱與裝有 2 個紅球 a1，a2和 2個白球 b1，b2的乙箱中，各隨機摸出 1 個球若摸出的 2 個球都是紅球則中獎，否則不中獎 (1)用球的標號列出所有可能的摸出結果； (2)有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的

6、概率你認為正確嗎？請說明理由 17(本小題滿分 12 分)設 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，abtan A. (1)證明：sin Bcos A； (2)若 sin Csin Acos B34，且 B 為鈍角，求 A，B，C. 18(本小題滿分 12 分) 如圖，直三棱柱 ABC- A1B1C1的底面是邊長為 2 的正三角形，E，F(xiàn) 分別是 BC，CC1的中點 (1)證明：平面 AEF平面 B1BCC1； (2)若直線 A1C 與平面 A1ABB1所成的角為 45 ，求三棱錐 F- AEC 的體積 19(本小題滿分 13 分)設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn.已知 a11

7、，a22，且 an23SnSn13，nN*. (1)證明：an23an； (2)求 Sn. 20(本小題滿分 13 分)已知拋物線 C1：x24y 的焦點 F 也是橢圓 C2：y2a2x2b21(ab0)的一個焦點，C1與 C2的公共弦的長為 2 6.過點 F 的直線 l 與 C1相交于 A，B 兩點，與 C2相交于 C，D 兩點，且 (1)求 C2的方程； (2)若|AC|BD|，求直線 l 的斜率 21(本小題滿分 13 分)已知 a0，函數(shù) f(x)aexcos x(x0，)記 xn為 f(x)的從小到大的第 n(nN*)個極值點 (1)證明：數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列； (2)若對一切

8、nN*，xn|f(xn)|恒成立，求 a 的取值范圍 參考答案與詳解 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試時間 120 分鐘 第卷 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1 解析： 選 D 由（1i）2z1i， 得 z（1i）21i2i1i2i（1i）（1i）（1i）1i，故選 D. 2解析：選 B 35 75，因此可將編號為 135 的 35 個數(shù)據(jù)分成 7 組，每組有 5 個數(shù)據(jù)，在區(qū)間139，151上共有 20 個數(shù)據(jù)，分在 4 個小組中，每組取 1 人，共取 4 人 3解析：選

9、 C 由于函數(shù) f(x)x3在 R 上為增函數(shù)，所以當 x1 時，x31 成立，反過來，當 x31 時，x1 也成立因此“x1”是“x31”的充要條件，故選 C. 4解析：選 A 畫出可行域如圖中陰影部分所示 由 z2xy，得 y2xz，平移直線 2xy0，當直線過 A 點時，z 取得最小值 由xy1，yx1，得x0，y1， A(0，1) 當 x0，y1 時，zmin2 011，故選 A. 5解析：選 B 第一次循環(huán)：S11 3，i2； 第二次循環(huán)：S11 313 5，i3； 第三次循環(huán)：S11 313 515 7，i4， 滿足循環(huán)條件，結束循環(huán) 故輸出 S11 313 515 712(113

10、13151517)37，故選 B. 6解析：選 D 由雙曲線的漸近線過點(3，4)，知ba43， b2a2169. 又 b2c2a2，c2a2a2169， 即 e21169，e2259，e53. 7解析：選 C 由1a2b ab， 知 a0，b0， 所以 ab1a2b22ab，即 ab2 2， 當且僅當1a2b，1a2b ab，即 a42，b242時取“”，所以 ab 的最小值為 2 2. 8解析：選 A 由1x0，1x0，得1x0， 故 f(x)在(0，1)上為增函數(shù)故選 A. 9 法三：同法一，得 設 B(cos ，sin )，則|2(2，0)(cos 2，sin )|(6cos ，sin

11、 )|（6cos ）2sin23712cos 37127(當 cos 1， 即 B 落在點(1，0)處時取等號) 故的最大值為 7. 10 解析： 選 A 由三視圖知原工件為一圓錐， 底面半徑為 1， 母線長為 3， 則高為32122 2，設其內(nèi)接正方體的棱長為 x，則2x22 2x2 2，x2 23. V新工件x316 227. 又 V原工件13 12 2 22 23， V新工件V原工件16 2272 2389.故選 A. 第卷 二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分把答案填在題中橫線上) 11解析：UB2，A(UB)1，321，2，3 答案：1，2，3 12解析：2s

12、in ，22sin ，x2y22y，即曲線 C 的直角坐標方程為 x2y22y0. 答案：x2y22y0 13解析： 如圖，過點 O 作 ODAB 于點 D，則|OD|532（4）21. AOB120 ，OAOB， OBD30 ， |OB|2|OD|2，即 r2. 答案：2 14解析： 由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐標系中畫出 y|2x2|與 yb 的圖象，如圖所示， 則當 0b2 時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù) f(x)|2x2|b 有兩個零點 答案：(0，2) 15解析：由y2sin x，y2cos x得 sin xcos x， tan x1，xk4(k

13、Z) 0，xk4(kZ) 設距離最短的兩個交點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取 x14，x254，則|x2x1|544. 又結合圖形知|y2y1|2222222 2， 且(x1，y1)與(x2，y2)間的距離為 2 3， (x2x1)2(y2y1)2(2 3)2， 2(2 2)212，2. 答案：2 三、解答題(本大題共 6 小題，共 75 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16解：(1)所有可能的摸出結果是 A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2 (2)不正確理由如下： 由(

14、1)知，所有可能的摸出結果共 12 種，其中摸出的 2 個球都是紅球的結果為A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共 4 種，所以中獎的概率為41213，不中獎的概率為 1132313，故這種說法不正確 17解：(1)證明：由 abtan A 及正弦定理， 得sin Acos Aabsin Asin B， 在 ABC 中，sin A0，所以 sin Bcos A. (2)因為 sin Csin Acos Bsin180 (AB)sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bsin Acos Bcos Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以 cos Asi

15、n B34. 由(1)知 sin Bcos A，因此 sin2B34. 所以 sin B32，又 B 為鈍角，故 B120 . 由 cos Asin B32，知 A30 . 從而 C180 (AB)30 . 綜上所述，A30 ，B120 ，C30 . 18解：(1)證明： 如圖，因為三棱柱 ABC- A1B1C1是直三棱柱，所以 AEBB1. 又 E 是正三角形 ABC 的邊 BC 的中點，所以 AEBC. 因此 AE平面 B1BCC1. 而 AE 平面 AEF， 所以平面 AEF平面 B1BCC1. (2)設 AB 的中點為 D，連接 A1D，CD. 因為 ABC 是正三角形，所以 CDAB

16、. 又三棱柱 ABC- A1B1C1是直三棱柱，所以 CDAA1. 因此 CD平面 A1ABB1，于是CA1D 為直線 A1C 與平面 A1ABB1所成的角 由題設，CA1D45 ，所以 A1DCD32AB 3. 在 Rt AA1D 中，AA1A1D2AD231 2， 所以 FC12AA122. 故三棱錐 F- AEC 的體積 V13S AEC FC133222612. 19解：(1)證明：由條件，對任意 nN*，有 an23SnSn13， 因而對任意 nN*，n2，有 an13Sn1Sn3. 兩式相減，得 an2an13anan1， 即 an23an，n2. 又 a11，a22，所以 a33

17、S1S233a1(a1a2)33a1. 故對一切 nN*，an23an. (2)由(1)知，an0，所以an2an3. 于是數(shù)列a2n1是首項 a11，公比為 3 的等比數(shù)列；數(shù)列a2n是首項 a22，公比為 3的等比數(shù)列 因此 a2n13n1，a2n2 3n1. 于是 S2na1a2a2n (a1a3a2n1)(a2a4a2n) (133n1)2(133n1) 3(133n1) 3（3n1）2， 從而 S2n1S2na2n3（3n1）22 3n132(5 3n21) 綜上所述，Sn32（5 3n321），n是奇數(shù)，32（3n21），n是偶數(shù). 20解：(1)由 C1：x24y 知其焦點 F

18、的坐標為(0，1) 因為 F 也是橢圓 C2的一個焦點， 所以 a2b21. 又 C1與 C2的公共弦的長為 2 6，C1與 C2都關于 y 軸對稱，且 C1的方程為 x24y， 由此易知 C1與 C2的公共點的坐標為 6，32， 所以94a26b21. 聯(lián)立，得 a29，b28. 故 C2的方程為y29x281. (2)如圖，設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4) 即 x1x2x3x4， 于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4. 設直線 l 的斜率為 k，則 l 的方程為 ykx1. 由ykx1，x24y，得 x24kx40. 而 x1，x2是這個方程的兩根， 所以 x1x24k，x1x24. 由ykx1，y29x281，得(98k2)x216kx640. 而 x3，x4是這個方程的兩根， 所以 x3x416k98k2，x3x46498k2. 將代入，得 16(k21)162k2（98k2）24 6498k2， 即 16(k21)162 9（k21）（98k2）2， 所以(98k2)216 9， 解得 k64，即直線 l 的斜率為64. 21解：(1)證明：f(x)aexcos xaexsin x 2