整體思想解數(shù)學(xué)題的常見(jiàn)技巧探求

1、整體思想解數(shù)學(xué)題的常見(jiàn)技巧探求湖南省祁東縣育賢中學(xué) 黃愛(ài)民 421600整體思維是一種重要而常用的數(shù)學(xué)思維方法。運(yùn)用整體思想解題，是指通過(guò)觀察和分析，把解題的注意力和著眼點(diǎn)放在老頭子問(wèn)題的整體形式和結(jié)構(gòu)特征上，從而觸及問(wèn)題的本質(zhì)，使之為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到求解的目的。它是數(shù)學(xué)解題中一個(gè)極其重要而有效的策略，是提高解題速度的有效途徑。一、整體構(gòu)式例1、已知a,b為兩不相等的實(shí)數(shù)，且滿足2a=5-2a,2b2=5-3b,求的值。分析：依據(jù)常規(guī)，習(xí)慣于先求出，需分四種情況討論，運(yùn)算較繁，且易出錯(cuò)。若能整體把握。只需求出與ab易聯(lián)想到韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，問(wèn)題可迎刃而解。解：2a=5-2a,2b2=5

2、-3b且ab與b是方程2x2+3x-5=0的兩不相等實(shí)根，a+b=5-3a,ab=-易求-點(diǎn)評(píng)：本題求解關(guān)鍵是如何把握條件及結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)，構(gòu)造一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系二、整體補(bǔ)式例2、求sin2200+cos2500+sin200cos500的解。解：令A(yù)= sin2200+cos2500+sin200cos500B= cos 2200+ sin 2500+ cos 200 sin 500則A+B=2+sin700 A-B= - +得A=，故原式=三、整體構(gòu)形例3、已知 x,y,z求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1分析：觀察到：x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)

3、=1及乘積式，聯(lián)想到用面積公式。證明：如圖1，構(gòu)造正三角形，則SABD+SEFC+SBDF= x(1-y)sin600+ y(1-z) )sin600+ z(1-x) )sin600SABC=11sin6001，故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1。四、整體設(shè)元例4、已知密碼3BCPQR=4PQRABC其中每個(gè)字母都表示一個(gè)十進(jìn)制數(shù)字，試將這個(gè)密碼譯成數(shù)字形式。解析：此題有6個(gè)未知數(shù)，若依次求解，無(wú)法達(dá)到目的確良，注意到ABCPQR與PQRABC之間的輪換關(guān)系，可將ABC與PQR視為兩個(gè)整體，分別設(shè)ABC=x,PQR=y,則3（1000x+y）=4(1000y+x)428x=571yx

4、,y為三位數(shù)且428與571互奇,x=571,y=428所求密碼為3571428=4428571.五、整體代換例5、已知，求cosx+cosy的取值范圍。解：設(shè)u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：，（1）。（2）（1）+（2）得：，即，因?yàn)椋裕獾?。所以。點(diǎn)評(píng)：利用整體代換構(gòu)建不等式也是求解此類(lèi)問(wèn)題的最基本的方法。六、整體換元例6、已知的最大值解析：由首先想到用三角換元即令，則，直接求解較困難，于是又令，從而有點(diǎn)評(píng)：本題利用整體換元成功地實(shí)現(xiàn)了二元函數(shù)問(wèn)題一元化轉(zhuǎn)化的目的，這是求解二元函數(shù)最值問(wèn)題的最常用的思想方法。七、整體補(bǔ)形例7、如圖2，已知三棱錐子PABC，則三棱錐子

5、PABC的體積為（ ）。分析：若按常規(guī)方法利用體積公式求解，底面積可用海倫公式求出，但頂點(diǎn)到底面的高無(wú)法作出，自然無(wú)法求出。若能換個(gè)角度來(lái)思考，注意到三棱錐的有三對(duì)邊兩兩相等，若能把它放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中，則問(wèn)題不難解決。 解析：如圖3所示，把三棱錐PABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBGFPDC，易知三棱錐PABC的各邊分別是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線。，則由已知有：，從而知八、整體運(yùn)算例8、橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，1），一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與橢圓交于P1，P2兩點(diǎn)，弦P1P2被點(diǎn)P平分，求直線P1P2的方程。分析：遵循常規(guī)思路，只需求出直線P1P2的斜率K，待定系數(shù)法寫(xiě)出直線P1P2的點(diǎn)斜式與橢圓方程聯(lián)立消元后得一元

6、二次方程，其兩根為P1，P2兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理可得關(guān)于K的方程，但運(yùn)算量較大。解：設(shè)P1（x1,y1），P2(x2,y2)則， 兩式相減得：,又P為P1P2中點(diǎn)，x1+x2=2,y1+y2=2當(dāng)x1x2時(shí)k=,故所求的直線為：y-1=-(x-1)，即2x+3y-5=0,當(dāng)x1=x2時(shí)，直線不滿足條件，故故所求的直線為2x+3y-5=0。我們觀察與思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，著眼結(jié)構(gòu)的整體性，可以簡(jiǎn)化解題思路，有利于確定解題的突破口或者總體思路，在教學(xué)中，我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生裝全面考慮問(wèn)題，養(yǎng)成整體分析的思維習(xí)慣，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，以?xún)?yōu)化其數(shù)學(xué)素質(zhì)。九、整體聯(lián)想例9、若均為銳角，且滿足=1，求證分析：由題設(shè)條件，易聯(lián)想到長(zhǎng)方體對(duì)角線的性質(zhì)：“長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱所成的角的余弦的平方和等于1”，于是構(gòu)造長(zhǎng)方體解題。證明：如圖4，設(shè)以a，b，c為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體ABCD-A1