淺議數(shù)學(xué)概括_數(shù)學(xué)論文

1、淺議數(shù)學(xué)概括_數(shù)學(xué)論文         我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家華羅庚先生生前十分重視中學(xué)數(shù)學(xué)教育事業(yè)。他提出的讀書公式：“豹厚北在中學(xué)數(shù)學(xué)界乃至整個(gè)教育界廣為流傳和稱頌。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的過(guò)程是一個(gè)從不知到知，從知之不多到知之甚多的不斷積聚的過(guò)程。這就是公式的第一步：“從薄到厚”。公式的第二步：“從厚到北是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的總結(jié)概括，思想方法的提煉升華的過(guò)程。而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力，對(duì)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，優(yōu)化學(xué)習(xí)效果都有相當(dāng)重要的作用。 數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科，它的本質(zhì)特征之一是

2、高度的抽象性和高度的概括性，數(shù)學(xué)本身就是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的最抽象、最概括的反映。就數(shù)學(xué)教育而言，培養(yǎng)學(xué)生概括能力無(wú)疑是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的一項(xiàng)重要內(nèi)容。 什么是數(shù)學(xué)概括？曹才翰教授在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論中指出了它的意義：“其一，指在思想上把具有相同本質(zhì)特性的事物聯(lián)系起來(lái)；其二，是把被研究對(duì)象的本質(zhì)特性推廣為范圍更廣的包含這個(gè)對(duì)象的同類事物的本質(zhì)特性?！?#160;本文擬從中學(xué)數(shù)學(xué)教育的角度淺議數(shù)學(xué)概括，著重討論中學(xué)數(shù)學(xué)教材涉及的數(shù)學(xué)通則通法的概括和數(shù)學(xué)遷移概括。 數(shù)學(xué)通則通法的概括概括和再概括數(shù)學(xué)通則通法是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要素材，包括定理、性質(zhì)、公式和法則在內(nèi)的數(shù)

3、學(xué)教學(xué)內(nèi)容是前人研究和總結(jié)出來(lái)的數(shù)學(xué)成果，是真知。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)任務(wù)就是要把這些數(shù)學(xué)成果用科學(xué)的教學(xué)方法傳授給學(xué)生，使之能理解、掌握和應(yīng)用。是把知識(shí)總結(jié)概括的過(guò)程停留在課本內(nèi)容（包括每章后面的“小結(jié)”）上，還是讓學(xué)生繼續(xù)參與概括的過(guò)程去發(fā)現(xiàn)所知？我們采取了后者的做法。如最簡(jiǎn)三角方程（）的解，課本從實(shí)例出發(fā)最后概括為（），（），（）三種情形分別給出了解的公式。能否在這一層次上再度概括？教師首先提出比較三種情形的重要程度，學(xué)生從它們的應(yīng)用范圍出發(fā)而認(rèn)為第一種最重要。教師繼續(xù)提出能否將三種情形的討論歸結(jié)為一種情形？學(xué)生經(jīng)過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)第一種情形的解（）（）對(duì)第二種情形完全適用。即當(dāng)時(shí)不論為齊數(shù)或偶數(shù)，恒

4、有（），對(duì)亦然。對(duì)第三種情形也能解釋：即當(dāng)時(shí)不存在，所以。這就是說(shuō)，第一種情形的解的公式實(shí)質(zhì)上已經(jīng)概括了第二、三種情形的解。所以（）的解就是（）（）。又如在實(shí)數(shù)集中研究含絕對(duì)值不等式的解，及的解課本是按，三種情形討論的，同上例一樣，解的公式能再度概括。 建模和擴(kuò)模不論是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是單純解數(shù)學(xué)題，都離不開把問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法進(jìn)行比較分類，抽象概括出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式，然后利用這種結(jié)構(gòu)形式來(lái)熟練地解決同類型的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題。這就是從狹義的角度來(lái)認(rèn)識(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象概括的結(jié)果。數(shù)學(xué)中每一個(gè)計(jì)算公式、每一類方程、每一種函數(shù)都可以看作一個(gè)數(shù)

5、學(xué)模型。在建模用模的同時(shí)，不應(yīng)把模型看成僵化的、一成不變的東西，而應(yīng)考慮模型及其功能的變化發(fā)展。如在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)的平方根后，學(xué)生會(huì)解時(shí)的實(shí)系數(shù)一元二次方程，此后課本中又出現(xiàn)可用因式分解方法求解的虛系數(shù)一元二次方程，學(xué)生就提出：復(fù)數(shù)系數(shù)的一元二次方程是否有求根公式？經(jīng)師生共同探討，注意到復(fù)數(shù)集對(duì)加減乘除、乘方開方各級(jí)運(yùn)算都是封閉的，只是虛數(shù)的平方根尚無(wú)統(tǒng)一的符號(hào)表示，因此（，）的求根公式應(yīng)該是，（）的平方根，這一概括形式窮盡了實(shí)系數(shù)一元二次方程求實(shí)根、求虛根以及教材上沒(méi)有給出的一般虛系數(shù)一元二次方程的求根問(wèn)題，若把實(shí)系數(shù)一元二次方程求實(shí)根、求虛根公式分別看作兩個(gè)模型，則上述公式是包含這兩個(gè)模型的更

6、大的模型，建模擴(kuò)模的結(jié)果滿足了學(xué)生的求知欲。又如柱體、錐體作為臺(tái)體的特例，它們的體積公式都可以統(tǒng)一為臺(tái)體的體積公式，把三個(gè)體積公式看作三個(gè)模型，那么臺(tái)體體積公式無(wú)疑是包含前兩者的較大的模型，擬柱體體積公式（）是一個(gè)更大的模型，它把柱錐臺(tái)甚至球體的體積公式都作為它的特殊形式，它還可以跨越空間圖形和平面圖形的界限來(lái)表示梯形的面積（表示梯形中位線長(zhǎng)），這一公式作為數(shù)學(xué)模型，它的形式未見(jiàn)變化，但它的功能擴(kuò)大了，這是另一意義下的擴(kuò)模。 數(shù)學(xué)遷移概括在學(xué)習(xí)過(guò)程中，先行學(xué)習(xí)和后續(xù)學(xué)習(xí)總是互相影響、互相干擾的，我們把這兩者之間的影響、干擾稱為“遷移”。 學(xué)習(xí)甲時(shí)獲得的一般數(shù)學(xué)原理方法如能適用于學(xué)習(xí)乙

7、時(shí)，若能從學(xué)習(xí)甲、乙過(guò)程中概括出它們的共同的數(shù)學(xué)原理和方法，我們稱之為數(shù)學(xué)遷移概括。求解二次方程，無(wú)論是分解因式還是開平方，都是為了降為一次方程，引導(dǎo)學(xué)生把降次法遷移到解特殊的高次方程上來(lái)，這就是一種數(shù)學(xué)遷移概括。許多學(xué)生對(duì)“”這一推理的正確性持懷疑態(tài)度，認(rèn)為結(jié)論中的“”在前提中不存在，是無(wú)論如何推導(dǎo)不出的。又如對(duì)“，”學(xué)生也覺(jué)得不可思議。從邏輯學(xué)的角度看，上述兩例均屬選言判斷。即（，）為第個(gè)事件，則對(duì)（，）恒成立。但學(xué)生接受有困難，換個(gè)講法學(xué)生就容易接受：前一例結(jié)論改為，后一例結(jié)論改為（即結(jié)論改用等價(jià)命題形式）。集合觀念較強(qiáng)的學(xué)生能對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行概括，利用子集的定義予以透徹的解釋。依據(jù)“”，

8、則對(duì)前一例設(shè)，有。而即，即。對(duì)后一例，設(shè)，可作同樣解釋。再如充分條件、必要條件分別作為具有某種條件的元素構(gòu)成的集合，那么命題的前提和結(jié)論的關(guān)系就是兩個(gè)集合間的包含關(guān)系?？梢?jiàn)把這一類問(wèn)題提到集合思想觀念的高度來(lái)認(rèn)識(shí)處理，這實(shí)際上就是把子集概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)遷移概括到一些特殊數(shù)學(xué)事實(shí)的認(rèn)識(shí)和處理上了。對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)體系，學(xué)生一般了解不深，但能粗淺地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教材總是從建立公理、定義概念開始，一步步演繹出一系列的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，有的同學(xué)還能注意到教材中定理、公式出現(xiàn)的邏輯順序，并從自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中意識(shí)到用前一個(gè)定理的結(jié)果去推證后一定理（或推論），比用定義、概念出發(fā)去推證更為簡(jiǎn)易。所有這些實(shí)質(zhì)上是對(duì)數(shù)

9、學(xué)公理化思想的點(diǎn)滴意會(huì)。高中代數(shù)“不等式”一章著重介紹了兩個(gè)重要不等式：定理和定理。其中定理的證明用到初中因式分解一個(gè)要求較高的題目：“（）（）”。學(xué)生對(duì)此覺(jué)得突然，能不能另辟蹊經(jīng)？能不能把定理作為定理的推論來(lái)證明？同學(xué)們經(jīng)過(guò)嘗試后很快就得到新的證法：。驗(yàn)證各式等號(hào)成立的條件綜合為。學(xué)生的思維活動(dòng)實(shí)質(zhì)上是把公理化這一數(shù)學(xué)思想遷移概括到教材定理的推理論證，從而獲得了新知。 數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)必須重視數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過(guò)程的教學(xué)數(shù)學(xué)具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，新概念（新知識(shí)）往往是在原有概念（舊知識(shí)）的基礎(chǔ)上引進(jìn)和建立的。合理組織教學(xué)活動(dòng)，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系是把新知識(shí)納入學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的

10、重要途經(jīng)。重視新知識(shí)（包括概念、定理、公式、法則等）的發(fā)生、發(fā)展、鞏固和系統(tǒng)化（小結(jié)）的教學(xué)，從教材中發(fā)掘培養(yǎng)學(xué)生概括能力的因素，并利用它來(lái)提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的概括水平，這是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中不同程度的存在“概念知識(shí)一帶而過(guò)，練習(xí)課代替復(fù)習(xí)課”的傾向，無(wú)論對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能的掌握還是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)都是有百弊而無(wú)一利的。 必須摒棄“題海戰(zhàn)”的教學(xué)模式當(dāng)前考試指揮教學(xué)的功能仍有增無(wú)已。為應(yīng)付考試，教師企圖窮盡考試要求范圍內(nèi)的所有題型（及各種變形），將其全部塞給學(xué)生訓(xùn)練。這種題型加題量的訓(xùn)練模式（俗稱“題海戰(zhàn)”）是一種就題論題式的、缺乏概括的模式?；〞r(shí)多，收效少，學(xué)生負(fù)

11、擔(dān)重。這種只知改變題目的外在形式，不顧學(xué)生內(nèi)在的思維活動(dòng)的教學(xué)方式，是不能達(dá)到知識(shí)、能力廣泛遷移的目的的。因?yàn)橐环矫嬗?xùn)練題量的多少和培養(yǎng)能力的大小并非成正比例，題量題型過(guò)多并不能提高學(xué)生區(qū)分事物的現(xiàn)象和本質(zhì)、聯(lián)系事物共同的本質(zhì)屬性的思維水平；另一方面，過(guò)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)產(chǎn)生過(guò)重的心理負(fù)擔(dān)，使學(xué)生不能以愉悅的、有興趣的心情和積極、主動(dòng)的態(tài)度對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而產(chǎn)生學(xué)習(xí)態(tài)度的負(fù)遷移，這是最為令人擔(dān)憂的教學(xué)后果。 必須重視解題思路的概括解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要途經(jīng)。對(duì)解法典型概括內(nèi)容較多的數(shù)學(xué)題，教師幫助學(xué)生建立題型模式，使學(xué)生能識(shí)模、用模，熟練同類題目的解法思路。在這過(guò)程中教師要自己暴露（或讓學(xué)生經(jīng)歷）從直覺(jué)思維到理性思維的過(guò)程，