平面向量及其線性運算

1、第01講 平面向量及其線性運算 高考考試大綱的要求： 了解向量的實際背景。 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。 理解向量的幾何表示。 掌握向量的加法、減法的運算，并理解其幾何意義。掌握向量數(shù)乘的運算及其意義,理解兩個向量共線的含義;了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義； 了解平面向量的基本定理及其意義;（一）基礎(chǔ)知識回顧：1.向量的定義: 既有_又有_的量叫做向量.向量的_也即向量的長度,叫做向量的_.2.零向量: 模長為_的向量叫做零向量,記作_.零向量沒有確定的方向.3.單位向量: 模長等于_的向量叫做單位向量,記作_. 4.共線向量(平行向量):方向_的非零向量叫做共線向量. 規(guī)

2、定:_與任意向量共線. 其中模長相等方向相同的向量叫做_;模長相等且方向相反的向量叫做_;5.向量的運算: 加法、減法、數(shù)乘運算的運算法則,運算率，及其幾何意義.6.向量共線定理:向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個實數(shù),使得_.7.平面向量基本定理: 如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù),使=_.8.三點共線定理:平面上三點A,B,C共線的充要條件是:存在實數(shù),使_,其中+=_, O為平面內(nèi)任意一點.9.中點公式：若M是線段AB的中點, O為平面內(nèi)任意一點,則 =_在ABC中, 若G為重心,則 =_, =_.（二）例題分析：例1.下列命題中

3、，正確的是（ ）A若，則 B對于任意向量，有C若，則或 D對于任意向量，有例2（2007北京理)已知是所在平面內(nèi)一點，為邊中點，且，那么（ ） 例3(2008廣東理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F. 若, ,則（ ） AB. C. D. （三）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.(2006上海理)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D）2（2007湖南文）若O、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（ ） A B. C. D. 3（2003遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（

4、不包括端點A、C），則（ ）ABCD4.(2008遼寧理)已知O，A，B是平面上的三個點,直線AB上有一點C，滿足,則（ ） ABCD5（2003江蘇；天津文、理）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足的軌跡一定通過的( )（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心6（2005全國卷理、文）已知點，設(shè)的平分線與相交于，那么有，其中等于( )（A） （B） （C） （D）7設(shè)是兩個不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則k=_.8.（2007江西理）如圖，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若 m，n，則mn的值為 9（2005全國卷理）的外

5、接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)m = 10.（2007陜西文、理）如圖，平面內(nèi)有三個向量、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且1，.若的值為 .（四）拓展與探究：11、（2006全國卷理）設(shè)平面向量、的和。如果向量、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）A B C DAOMPB12. （2006湖南理）如圖2,OMAB,點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動,且,則的取值范圍是 ;當(dāng)時,的取值范圍是 . 第02講 平面向量的坐標(biāo)表示 高考考試大綱的要求： 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 學(xué)會用坐標(biāo)表示平面

6、向量的加法、減法與數(shù)乘運算; 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。（一）基礎(chǔ)知識回顧： 1. 平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示:.2. 平面向量的坐標(biāo)運算:若=(x1,y1),=(x2,y2),R,則=_; =_ ; =_.3. 向量平行的坐標(biāo)表示: _ .4. 向量模的公式:設(shè)=(x,y),則_6. 若已知點A(x1,y1), B(x2,y2) , 則向量=_;若M(xO,yO)是線段AB的中點，則有中點坐標(biāo)公式（二）例題分析：例1.(2008安徽理)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,若,則=( )A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4） 例2.(2004春招安徽文)已知向量,

7、且,則的值分別是( )（A）2，1 （B）1，2 （C）2，1 （D）1，2例3.(2005全國卷III理、文)已知向量,且A、B、C三點共線，則k= _ .（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1(2008四川文)設(shè)平面向量，則( )（）（）（）（）2（2006全國卷文）已知向量（4，2），向量（，3），且/,則( ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)33.（2004浙江文）已知向量且，則= ( ) （A） （B） （C） （D）4(2007海南、寧夏文、理)已知平面向量，則向量（ ）5(2008遼寧文)已知四邊形的三個頂點，且，則頂點的坐標(biāo)為（ ） ABCD6（2006山東文）設(shè)向量=(1,3), =(2

8、,4),若表示向量4,32,的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量為（ ）(A)（1，1） (B)（1， 1） (C) （4，6） (D) （4，6）7（2005湖北文）已知向量=(2, 2) , =(5, k). 若不超過5，則k的取值范圍是( )A4，6B6，4C6，2D2，68(2008廣東文)已知平面向量，且，則=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）9（2004天津理、文）若平面向量與向量的夾角是，且，則( ) A. B. C. D. 10(2008湖南文) 已知向量，則=_.11、（2004上海文）已知點A(-1,5)和向量=（

9、2,3）,若=3,則點B的坐標(biāo)為 .12(2008全國卷文、理)設(shè)向量，若向量與向量共線，則 （四）拓展與探究：13.（2004上海理）已知點A(1, 2),若向量與=（2,3）同向, =2,則點B的坐標(biāo)為 14.(2004春招安徽理)已知向量集合M|(1，2)(3，4)，R，N|(2，2)(4，5)，R. 則MN( ) A.(1，1)B.(1，1)，(2，2) C.(2，2)D. 第03講 平面向量的數(shù)量積 高考考試大綱的要求： 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義; 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算 能運用數(shù)量積表示兩個 向量的夾角，

10、會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。（一）基礎(chǔ)知識回顧：1.平面向量數(shù)量積的定義:兩個非零向量,其夾角為,則=_叫做 和的數(shù)量積.其中_叫做向量在方向上的投影.2.數(shù)量積的坐標(biāo)運算:設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2),則=_;3.兩個向量垂直的充要條件:設(shè)兩個非零向量,則有 向量式: _; 坐標(biāo)式：_.4.幾個重要性質(zhì): ； 若與同向，則=_;若與反向，則=_; 兩個非零向量,其夾角為,則=_.（二）例題分析：例1. (2008江蘇) ，的夾角為， 則 例2.（2007四川文、理）設(shè)A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)，為坐標(biāo)平面上三點，O為坐標(biāo)原點，若上的投影相同，則a與b滿足的關(guān)系

11、式為（ ）(A)(B) (C)(D)例3.(2005江西理、文)已知向量,則的夾角為( )A30° B60° C120° D150°例4. （2004浙江文、理）已知平面上三點A、B、C滿足|=3，|=4，|=5， 則·+·+·的值等于 。（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1（2006全國卷文）已知向量滿足，且，則與的夾角為（ ）A B C D2（2005福建理）在ABC中，C=90°，則k的值是（ ）A5 B5 C D3(2008湖北文、理)設(shè)=(1,-2), =(-3,4), =(3,2), 則 =（ ）A.(-15,12)B

12、.0 C.-3 D.-114.（2007山東文）已知向量，若與垂直，則（ ）AB CD45（2006湖北理）已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則( )A（） B（） C（） D（）6（2006浙江文）設(shè)向量滿足,則 （ ）(A)1 (B)2 (C)4 (D)57（2004重慶文、理）若向量的夾角為，,則向量的模為：（ ） A 2 B. 4 C. 6 D .128（2007江西文）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的對角線OB的兩端點分別為O(0，0)，B(1，1)，則· 9（2006天津文、理）設(shè)向量與的夾角為，則10.（2007上海文）若向量的夾角為，則= 11.（2006北京

13、文）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b與a-b的夾角的大小是 . 12（2004天津文）已知向量若與垂直，則實數(shù)等于_（四）拓展與探究：13(2008天津理)如圖，在平行四邊形中，則 .14、（2005江蘇）在中，O為中線AM上一個動點，若AM=2，則的最小值是_。第04講 平面向量的應(yīng)用高考考試大綱的要求： 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題 會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題（一）例題分析：例1.(2005湖南文）P是ABC所在平面上一點，若，則P是ABC的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心例2（2005全國卷理、文）點在平面上作

14、勻速直線運動，速度向量（即點的運動方向與相同，且每秒移動的距離為個單位）設(shè)開始時點的坐標(biāo)為（，），則秒后點的坐標(biāo)為（ ）（A）（-2，4） （B）（-30，25） （C）（10，-5） （D）（5，-10）例CD3.（2007重慶理）如圖，在四邊形ABCD中，=0, 則的值為（ ）A.2 B. C.4 D.BA（二）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.(2007湖南理)設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有（）ABCD2(2008湖南文)在中，AB=3，AC=2，BC=，則 ( )A B C D3（2008浙江理）已知，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（ ） （A）1 （B）2 （

15、C） （D）4（2002全國新課程文、理，天津文、理）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點，若點滿足，其中有且，則點的軌跡方程為( )（A）（B）（C） （D）5（2004遼寧）已知點、，動點，則點P的軌跡是( )A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線6. (2008湖南理)設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且則與( )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直7.（2006福建理）已知=1，=,=0,點C在AOB內(nèi)，且AOC=30°， 設(shè)=m+n(m、nR)，則等于（ ）A. B.3 C. D. 8（2005全國卷III理、文）已知雙曲線的焦點為

16、F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為（ ）A B C D9（2004春招上海）在中，有命題 ； ；若，則為等腰三角形； 若，則為銳角三角形.上述命題正確的是 （ ）（A） （B） （C） （D）10.（2007上海理）直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量在直角三角形 中，若，則的可能值個數(shù)是（） 1 2 3 411.（2007天津文）在中，是邊的中點，則= 12.（2007天津理）如圖，在中，是邊上一點，則（三）拓展與探究：13.(2006陜西文、理)已知非零向量與滿足(+)·=0且·= ,則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等

17、腰非等邊三角形 D.等邊三角形14.(2008山東文)已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量若，且，則角的大小分別為（ ）ABCD參考答案第01講 平面向量及其線性運算 （二）例題分析：例1. B 例2 例3B. （三）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1. C； 2B. 3A 4. A 5B 6C； 7_4_；8. 2 9 1 ；10. .（四）拓展與探究：11、D； 12. ，. 第02講 平面向量的坐標(biāo)表示 （二）例題分析：例1. B； 例2. D； 例3. ； （三）基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1； 2B； 3. A； 4； 5A； 6D； 7C； 8。C； 9A. ；10_2_ ； 11。 （5，14） ； 12 2 （四）拓展與探究：13. (5,4) ； 1