一單項選擇題(本大題共5小題-每小題2分-共10分)

1、、單項選擇題(本大題共 5小題，每小題2分，共10分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號 內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè) f(x)=lnx且函數(shù)(x)的反函數(shù)1(x)=2(x+1)x-1，則 f (x)(2.3.x-2AJn 一x+20 tex1 cosxA. 0設(shè) y f(xoA. lim y 0x 0x+2B.ln 一 x-22 dt (B.x)C.CJn2-xx+2DJnx+22-x-1D.f(x0)且函數(shù)f (x)在x x0處可導(dǎo)，則必有(B. y 0C.dy 0d. ydy4.設(shè)函數(shù)f(x)=2x ,x 1 ,則 f(x)在點 x=1

2、處3x 1,x 1A.不連續(xù)5.設(shè) xf(x)dx=eB.-x2連續(xù)但左、右導(dǎo)數(shù)不存在C ,則 f(x)=C.連續(xù)但不可導(dǎo)D. 可導(dǎo)2A.xe "B.-xe2-x C.2e-x2D.-2e -x二、填空題(本大題共 10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。1 ,一1)的定義域是4則生產(chǎn)100件產(chǎn)品時的邊際成本MCg 1006 .設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0, 1上有定義，則函數(shù) f(x+ 1 )+f(x-47 . lim a aq aq2 Laqnnarctanx8 - lim x x H29 .已知某廣品廠量為g時,總成本是C=9+篇,10 .函數(shù)

3、f(x) x3 2x在區(qū)間0 , 1上滿足拉格朗日中值定理的點己是11 .函數(shù)y 2x3 9x2 12x 9的單調(diào)減少區(qū)間是 .312 .微分萬程xy' y 1 x的通解是.13.設(shè)a21n 2 出14.設(shè) Zet2cos x=,J®a1615.設(shè) D貝U dz= .y(x, y) 0 x 1,0 y 1 ,則xe 2ydxdy三、計算題)(本大題共5小題，每小題5分，共25分)16.設(shè) yx1 宙” 一，求 dy.xIn cot x17.求極限lim x 0 In x，一八1,18 .求不定積分dx.5x 1 In 5x 119 .計算定積分i= 0 va2x2dx.20

4、.設(shè)方程 x2y 2xz ez1 確定隱函數(shù) z=z(x,y),求 z'x,z'y四、計算題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）21 .要做一個容積為 v的圓柱形容器，問此圓柱形的底面半徑r和高h分別為多少時，所用材料最??？22 .計算定積分 xsin2xdx0 sin y2 23 .將二次積分I dx , 一ydy化為先對x積分的二次積分并計算其值。0 x y五、應(yīng)用題（本題 9分）224 .已知曲線y x2,求（1）曲線上當x=1時的切線方程；（2）求曲線y x2與此切線及x軸所圍成的平面圖形的面積， 以及其繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 Vx.六、證明題（本題 5

5、分）25 .證明：當 x>0 時，xln（x 小 x2） 1x2 1參考答案一、單項選擇題（本大題共 5小題，每小題2分，共10分）1 .答案：B2 .答案：A3 .答案：A4 .答案：C5 .答案：D二、填空題（本大題共 10小題，每空3分，共30分）-1 36 .答案： 一，一4 48.答案:9 .答案:10 .答案:0141311 .答案：(1, 2) 3 一 x12 .答案：一 1 Cx213 .答案：a ln2 21cos x14 .答案： 一 sin2xdx dyyy入 1215 .答案：一1 e4三、計算題（一）（本大題共5小題，每小題5分，共25分)2x2x ez四、計算

6、題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分)一116 .答案： ln x 1 dx x17 .答案：-1218 .答案：2Jln 5x 1 C5 ,219 .答案：-ah0V-2021 .答案：r0222 .答案：一423 .答案：1五、應(yīng)用題(本題 9分)24 .答案：(1) y=2x-1 (2),12 3031(2) 所求面積S (-Jy)dy-y 1 ， 2xy 2z )，20.答案：Zx一r，Zy2x e - y202431212125630所求體積Vx2dx六、證明題（本題 5分）25.證明:Q f (x)xln(x,rv)x2 1故當三.解答題（16計算lim(f '(

7、x)ln(xln(xln(xQx 0x .1 x2f '(x) ln(x1 x2).1 x2).1 x2)x 0時f（x）單調(diào)遞增，則xln(x每小題x x23解原式=lim e7分4x31, 2x 3x_ln x 3共28分）1戶4x1mA02xln 2ln 2x limx 0e3x 4xx原式=17.設(shè) f(x)解顯然18.設(shè) wlxm02x3 24 23 3工t：1 tf(1)0, f (x)f (x)dx212xsin x0解令u x 2y3xln3 4xln43x4x10xf(x)dx2xsin x2f(x)2dx2y 3z,xyz3z, vx x2x2 1 x2x1 x20

8、f(x)ln3uf1x1 x2f(0),即lim A ex 0In 2 ln3 ln 42sin x2x1 2x0.2 , 2sin x dxf (x)dx12一 cosx 2ln3 24cos1f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),f 2'''''zy 1 zf22 flif12xz'zy 2f21f22xzzf2''2'''2f11 x 2y zf12 xyz f22 zf2x19.求擺線ysin1 cos，（）的弧長L1 cos. 2,sin d綜合題（共18分）20 .修建一個容積等于 108 并求出它的最小表面積

9、。sin - dcos 82 0m3的無蓋長方體蓄水池，應(yīng)如何選擇水池長、寬、高尺寸，才使它的表面積最小,解 設(shè)水池長、寬、高分別為 x, y, z m，則問題是在條件x, y,z xyz 108下，求函數(shù) S xy 2yz 2zx x 0, y 0,z 0的最小值，作Lagrange函數(shù)L x, y, z xy 2yz 2zx xyz 108解方程組Lxy2zyz0Lyx2yxz0Lz2x2yxy0xyz 108得唯一可能極值點 6,6,3 ,由實際問題知表面積最小值存在，所以在長為 6 m,寬為6 m,高為3m時,表面積最小，最小值為108 m2 .21. 21、若f（x）在0,1上連續(xù)，

10、在 0,1內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，求證(1)存在0,1/2 ,使 f(1) 2 f (12) f (0) f (1/2) f ( ) /2(2)存在 0,1 ,使 f(1) 2f(12) f (0) f ( )/4證明(1)設(shè) Fx f (x 1/2) f(x) x0,1/2 ,則 F(x)在 0,12 上滿足Lagrage中值定理條件，所以，存在 0,12 ,使F 12F(0) F ( )/2 f (1) f (12) f (12) f (0)f(1) 2f(12) f (0) f (1. 2) f ( ) /2(2)由已知還有，f (x)在，1/20,1內(nèi)可導(dǎo)，再次用Lagrage中值定理所以，存在

11、 ，1/20,1 ,使f (12) f ( ) f ( )/2結(jié)合(1)有f(1) 2f(12) f (0) f (12) f ( ) /2 f ( )/4試題及答案、單項選擇題1.設(shè)f （x,y）在點（a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在,. f (a x, b)則 lim xf (a x, b)A、0； B、fx(2a,b); C、fx(a,b) ; D、2fx(a,b)。2.設(shè)曲面z f（x,y）與平面y yo的交線在點（x°, yO, f （x。，y。）處的切線與x軸正向所成的角為A、fx（xo,y。）C、fx（xo,y。）cos 6tg6、.3一；2,3一；3-1B、fy（xo,y。）c

12、os（-）-;2 62D、fy（xo,y。） tg（ ） V3 °2 63 . liQ u n 0是級數(shù) u n發(fā)散的 nn 0A、必要條件； B、充分條件； C、充要條件；D、既非充分又非必要。4 .在區(qū)域D： 0 y R R2 x2上的 xy2d 值為。D_ 2_ _ 22 _3A、R ; B、4 R ; C、 R ; D、0。5 .下列函數(shù)中，哪個是微分方程 dy 2xdx 0的解2A、y 2x ； B、y x ； C、y 2x ； D、y二、是非判斷題（15分）2y 1按逆時針轉(zhuǎn)一周（xdy ydx ,1.:2 =0,其中L為圓周L x y2.如果，均存在，則（x, y）沿任

13、何方向的方向?qū)?shù)均存在（3 .以f （x, y）為面密度的平面薄片 D的質(zhì)量可表為 f （x, y）d 。（）D4 . f（x）在（0,上連續(xù)且符合狄利克雷條件，則它的余弦級數(shù)處處收斂，且0,上收斂于f（x）°（1.微分方程的通解包含了所有的解。（）三、計算題（16分）21 .設(shè)f（x2 y2,exy）,其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。x x y2 .已知 yz zx xy 1,確定的 z z（x, y）,求 dz。四、（10分）求（x2 y2）dxdydz的值，其中為曲面x2 y2 2z和平面z 2所圍成的區(qū)域。五、（12分）驗證： 嗎 ydx在右半平面（x 0）內(nèi)是某個函數(shù)的全微分

14、，并求出一個這樣的函數(shù)。 x y六、（10分）求口 x2dydz z2dxdy,其中 為z x2 y2和z 1所圍立體邊界的外側(cè)。y y sin 2x 0七、（12分）求微分方程y（ ） 1的特解。y（ ） 1n八、（10分）求一x的和函數(shù)。n 0 n 1參考答案一i、單項選擇題（15分，每題3分）1、D; 2、C; 3、A; 4、D; 5、B。二、是非判斷題（15分，每題3分）1、X ;2、X;3V、；4、V;5、X。三、計算題（16分）1. -uf1 2xf2 yexy4 分x2xfii( 2y)f12 xexyyexy f21 ( 2y)f22xexyf2exyf2xyexy2 xy2x

15、yf11 2x e f122 xy2xyxyxy2y e f21xye f22 e f2 xye f2 10 分2. F yz zx xy 1 1 分Fxz yFyz x3 分Fz y xzFxzyxFzyxzFyzx5分yFzyx,1,dz (y z)dz (x z)dy -x y n n2四、(10 分) (x1 2 3 y2)dxdydz ° d, 6分22d 2o 一23dz16310分五、(12分)P 2 ) 2x y22p y x2 22X2y (x y ) xx22x y4分在右半平面內(nèi)恒成立，因此在右半平面內(nèi)xdy2 x草是某個函數(shù)的全微分 y(x,y) xdyydx

16、u(x,y)(10)22 .8 分(l,0) x y12分(2x 2z)dxdydz 4 分y xdy * y y x yrarctg - arctg 0 x yx 0 x22 .k、( 10 分)o x dydz z dxdy2112 d rdr (r cos z)dz8 分00r2八10分3七、(12 分) r故此萬程的通解為：y c1cosx c2 sinx sin2x10分 1 0r i2分設(shè)此萬程的特解為：y Acos2x Bsin2x代入原萬程得3Acos2x 3Bsin2x sin2xA 01 6分B -31代入初始條件Ci1。特解為:cosx31 -sin31 .x -sin

17、2x12 分3八、（10分）從而收斂域為設(shè) S(x)limn1,1)nxR 12分xsin( x)(xS(x)xS(x)nxn 0-dx1 xS(0)S(x)(x1)ln(1x)(1 x 1)8分0時,有S(x)11n(1 xx)lixm S(x) 11ln(1 x),x x1,x 01.0)(0.1)10分三、計算題（每小題11、求極限lim （x 1 ln x7分，共49分）解：購（In xx 1 In x(x 1) In xlxm1 xx 1 Iln x x2、求極限x 1 xln x2xlimx 1 1 ln x 1limx 12xx 1解:設(shè)y2x2xx 1則 limln故原式.2x

18、 2x lim lnx 1 x 1,2x lim-J x 1 x 1lxm1x2x2(x1) 2x2x(x 1)2112 x2&設(shè) y sin x cosx tan x cot x cscx.求y22y cosx sinx sce x csc x cscx cot x4、設(shè) y(x)，.1、cos(sin ),求 dy.dy y(x)dxx12x一 1、1 .sin(sin)cos - dx7、求函數(shù)y x5 5x4 5x3 1在1,2上的最大值，最小值 2-y 5x (x 1)(x 3)在 1, 2上的駐點：x10, x21而y(0) 1, y(1) 2, y( 1)10, y(2)7Ymaxy(1) 2ymin y( 1)10四、問答題(每小題6分，共