等腰三角形常用輔助線專題練習(xí)含答案

1、1 .如圖：已知，點(diǎn) D、E在三角形 ABC的邊 BC上，AB=AG AD=AE求證：BD=CE證明：作 AFI BC,垂足為 F, WJ AFI DE v AB=AC AD=AE又AF，BG AF± DE,BF=CF DF=EF（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）。BD=CE.2 .如圖，在三角形ABCt, AB=AC,AFMT BC于F, D是AC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到E, 使AE=AD連接DE,試判斷直線AF與DE的位置關(guān)系，并說明理由解：AF± DE 理由：延長(zhǎng) ED交 BC于 G, AB=AC AE=AD. / B=/ C, / E=/ ADE，/ B

2、+/ E=/ C+/ ADE/ ADEW CDG. / B+/ E=/ C+/ CDG. / B+/ E=/ DGC / C+Z CDG = BGE /BGE+CGD=180 . . / BGEW CGD=90 . . EG! BC v AF/ BC, AF± DE解法2:過A點(diǎn)作ABC®邊上的高，再用 / BACN D+AED =2/ADE,即/ CAG= AED證明 AG/ DE利用 AF/ BC證明 AF± DE3 .如圖， ABC中，BA=BC點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF,AC交BC于E,求證： DBE®等腰三角形 證明：在 ABC中，v BA=

3、BC-./A=/ C, DF，AG / C+/ FEC=90 , / A+/D=90° , ./FECW D . /FEC之 BED / BEDW D, . BD=BE 即 DBE®等腰三角形.4 .如圖，4ABC中，AB=AC,ES AC上，且AD=AE,DE勺延長(zhǎng)線與 BC相交于F。求證：DF, BC.證明：v AB=AC B=/ C,又 v AD=AE / D=/ AED/ B+/ D=/ C+/ AED/ B+/ D=/ C+/ CEF ./EFCWBFE=180 X 1/2=90 ° , a DF± BC;若把"AD=AE與結(jié)論&qu

4、ot; DF! BC互換，結(jié)論也成立。若把條件" AB=AC與結(jié)論" DF! BC'互換，結(jié)論依然成立。5.如圖，AB=AE,BC=ED, B=Z E,AMCD,A求證：CM=MD.證明：連接AC,ADv AB=AEZ B=Z E,BC=E» AB登 AED(SAS)AC=AD AMLCD,. /AMC=AMD=90 -AM=AIM(共邊) RTAC陣RTAADM(HL)CM=DM6.如圖，已知 AD是 ABC的中線，BE交AC于F,且AE=EF求證：BF=AC證明：過B點(diǎn)做AC的平彳T線，交AD的延長(zhǎng)線于G點(diǎn). AD為中線，. BD=CD BG¥

5、;行于 AC, . / FGBW CAF / DBG=ACD在4AFE和GFBt,/ FGBW CAF / GFBW AFE； AAFEAGFB / FGBW FAEAE=EFJ/ FAE士 AFE ./BFGW G， GF斯等腰三角形，且 BF=B(3±AADCJP GBDK-/ DBG= ACD BD=CD/ BDG= CDA. AD(C GBD. BG=ACBF=AC7 .已知：如圖， ABC(A字AC)中,D E在BC上，且DE=EC過D點(diǎn)作DF/ BA,交AE于點(diǎn) F,DF=AC,求證：AE平分/ BAC證明：延長(zhǎng) AE,過D作DMI AC交AE延長(zhǎng)線于 M； / M叱1,

6、 / C=/2在 DEMWCEAt/M=Z 1, / C=/ 2,DE=CE - DE陣 CEA - DM=CAL = DF=CAJ DM=DF； / M=/ 3AB| FD, 二 / 3=/ 4,/ 4=3 1AE平分/ BAC8 .已知：如圖， ABC中，AB=AC在AB上取一點(diǎn)D,在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) E,連接DE交BC于點(diǎn)F,若F是DE中點(diǎn)。求證：BD=CE 證明：過 D作 DF/ AC交 BC于 F, v DF/ AC （已知），. / DFCW FCE / DFBW ACB（平 行線的性質(zhì)）. AB=AC已知），/B=/ ACB（等邊對(duì)等角），/B=/ DFB（等量代換）， .BD=D

7、F（等角對(duì)等邊），= BD=CE已知），.二DF=CE（等量代換）, /DFCW FCE /DGF=CGE（已證）,. .DF®zECG（AAS ,. DG=G E對(duì)應(yīng)邊相等）9.已知：如圖，在 ABC中,AB=AC=CE,BI AD上一點(diǎn)，BEXCB交 CD于 E,ACDC,求證： BE=1/2BC證明：過點(diǎn)A作AF, BC交BC于點(diǎn)F.ABC是等腰三角形，AB=AC / ABF玄ACF（1） ；AF是BC上的垂直平分線，AF±BGBF=CF=BC/ 2(2)BE! BG . BE/AF / DBEW BAF (3)./CBE=90 . / DBEABF=90 =/ACF

8、吆 ECB (4)由(1)和(4)知道：/ DBE=/ECB (5)由(3)和(5)知道：/ BAF=/ ECER v AB=CE / BFA4 EBC=90.R3BFARTAEBC(角角邊)BF=EB (6)由(2)和(6)知道:BE=BC/210.如圖，AD為4ABC的角平分線，M為BC的中點(diǎn)，ME/ DA交BA延長(zhǎng)線于E,求證:BE=CF=1/2(AB+AC)證明：(1)延長(zhǎng)EMJ使EM=M,G連接CG.點(diǎn) M是 BC的中點(diǎn)，. .BM=CM/BME=CMG ABME3 ACMG( SAS)BE=CGZ E=/ G AD平分/ BAC/. / BADW CADME/ DA,； / BAD

9、W E, / CADW AFE； / E=/ AFEAE=AF/ AFE玄 CFG 二 / G之 CFG. CF=CG : BE=CG : BE=CF(2) v BE=AB+AE2BE=2AB+2AEv CF=BE AC=CF+AF AE=AF2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE=AF+C F 2BE=AB+ACBE=CF=1/2(AB+AC)11 .如圖，已知 ABC, ACL BC,/ABC=Z C.試說明AB+BD=CD理由。證明：在 DC上截 取 DE=BD 連接 AEADL BC, / ADBN ADE=90 = AD=AD RTA ADB

10、 RIA ADE (SAS)； AB=AE /ABCW AEBvZ AEBW C+/ EAC-/ ABC=Z C (已知). / EACW CAE=CE AB=CE, CD=CE+DE； AB+BD=CD12 .已知：如圖，AD是AABC的角平分線，且 AC=AB+BD證：/ B=2/ C.證明：在 AC上作 AE= AB,連結(jié) DEAC=AB+BDAE+CE.BD= CEAD是角平分線， . / BAD=/ EAD又 v AB=AE AD=AD. AABtD EAD. / B= / AED BD= DE= CE ./ EDCW C, / AED= 2/C即：/ B= 2/C13.如圖所示，已

11、知在 ABC中AD是/A的平分線，且/ B=2/ C.求證：AC=AB+BD.證明：延長(zhǎng) AB到E,使AC=AE連接DE: AD是/ BACK角平分線BADW DAC（角平分線的定義）二.公共邊 AD=ADAC=AHBAD=/ DAC，AACIDAED（SAS），/ ACBW DEA（全等三角形形的對(duì)角相等）/ BDE廿 DEBW CBA CBA=Z AC" ACBW DEA. / BDEW DEA，BD=BE（等角對(duì)等邊）v AB+BE=AE,AC=AE,BD=BEAB+BD=AC14 .如圖，點(diǎn)E是等邊 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EBABC外一點(diǎn)D滿足BD=AC旦BE平分/BDE求/

12、 BDE的度數(shù)解：連接 CE， v AC=BC AE=BE CE為公共邊，. BC陷AACE ./BCEW ACE=30 又. BD=AC=B C/DBEW CBE BE 為公共邊，BD竄 ABCE ./BDEW BCE=3015 .如圖，已知在 ABC中，AB=BC=CA,是 AD上一點(diǎn)，并且 EB=BD=DE證：BD+DC=AD.A提示：證明 AB草ABCCSP可EBC16 .已知：如圖， ABC中，Z C=9(J , CW AB于 M,AT平分/ BAC CMT D,交 BC于 T,過D 作 DE/ AB交 BC于 E,求證：CT=BE證明1 :作DF/ BC交AB于F,貝U:/ AFDW B=/ ACD,AT%/ BAC的角平分線，AD為公共邊AF陰 ACD,AF=AC1接 TFAF=AC,AT%/ BAC的角平分線,AT 為公共邊ACH AFT,TF± AF,TF / CMDF/ CT/BE,TF/CD,DE/BF.四邊形 CTFDffi四邊形 BEDFtB是平行四邊形CT=DF=BE證明 2:作 T