高中數(shù)學課程內(nèi)容主線幾何

1、高中數(shù)學課程內(nèi)容主線（二）一幾何主線知識結(jié)構(gòu)圖:1.幾何的教育功能我們常常聽到這樣的一些詞，空間想像能力，“幾何直觀”能力，把我圖形能 力，幾何洞察能力，等等。這些詞都是數(shù)學家提出來的?！翱臻g想像能力”是我國著名數(shù)學家華羅庚提出來的；“幾何直觀”能力是20世紀最著名的數(shù)學家希爾 伯特提出來的，他寫了一本重要的著作“直觀幾何”；“把我圖形能力”數(shù)著名數(shù) 學家、20世紀最有影響的數(shù)學教育家弗賴登塔爾提出的；“幾何洞察能力”是著 名華人數(shù)學家項武義提出的。這些詞的內(nèi)涵可能有些不同，我們感到這些詞的基 本含義是相同的。這些能力不僅對數(shù)學研究是極為重要的、 基本的，對于數(shù)學教 育、數(shù)學課程的設(shè)計同樣是重

2、要、 基本的。培養(yǎng)幾何直觀能力不僅僅是幾何課程 的任務(wù)，而是整個數(shù)學課程的基本任務(wù)。 因此，幾何是貫穿于整個高中數(shù)學課程 中的主線之一，在其他的數(shù)學內(nèi)容學習中，也要強調(diào)通過直觀，通過圖形來認識 相關(guān)的數(shù)學本質(zhì)。高中數(shù)學課程中，幾何的作用主要在于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和推理論證能力。這兩種能力對于學生思維的發(fā)展和對數(shù)學本質(zhì)的理解都是非常重要的。在高中數(shù)學課程中，幾何是“圖” “文”并茂的內(nèi)容，他把數(shù)學所特有的邏輯 思維和形象思維有機地結(jié)合起來。 幾何主要體現(xiàn)在幾何直觀能力，即把握圖形的 能力。幾何直觀能力主要包括空間想像能力、 直觀洞察能力、用語言來思考的能 力。借助幾何這個載體，可以培養(yǎng)學生的

3、邏輯推理能力。 但僅僅把幾何作為培養(yǎng) 形式推理能力載體的認識是片面的。在中學數(shù)學課程中重視幾何內(nèi)容是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，也是共識。但是， 如何運用幾何思想、把握圖形的能力去學習其它的數(shù)學內(nèi)容， 卻沒有引起足夠的 重視。最令我們感到遺憾的是：教師不太喜歡御圖”，講解析幾何時也不畫圖。事實上，幾何學能夠給我們提供一種直觀的形象， 通過對圖形的把握，可以 發(fā)展空間想象能力，這種能力是非常重要的，無論是數(shù)學本身、數(shù)學學習本身， 還是在其他方面，都是一種基本能力。搞藝術(shù)的人就經(jīng)常說，這種空間想象能力 與他們藝術(shù)上的想象能力、藝術(shù)創(chuàng)作能力是一種殊途同歸的感覺。英國著名數(shù)學 家M.阿蒂亞曾說過，幾何是數(shù)學中

4、這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位， 而代數(shù)是數(shù)學中有序思維占主導地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對詞更好， 即“洞察”與“嚴格”，兩者在真正的數(shù)學研究中起著本質(zhì)的作用。即，幾何是 直觀邏輯，代數(shù)是有序邏輯。這表明，幾何學不只是一個數(shù)學分支，而且是一種 思維方式，這種思維方式滲透到數(shù)學的所有分支。因此，培養(yǎng)學生的幾何直觀能 力、把我圖形能力應成為高中學習幾何的主要目的。我們知道，邏輯推理是數(shù)學的基本思維方式， 在中學階段，幾何是培養(yǎng)學生 推理能力的重要載體，但是，這里我們要說的是，我們還應該認識到幾何更本質(zhì) 的作用，這就是上面所說的：應當重視培養(yǎng)學生的幾何直觀能力， 包括空間想像 力、直觀

5、洞察力、用圖形語言來思考問題的能力等。在高中數(shù)學課程中，我們更加關(guān)注通過對整體圖形的把握去培養(yǎng)和發(fā)展空間 想像能力；關(guān)注在空間想像能力中人的認識規(guī)律， 并概括了人們認識和探索幾何 圖形的位置關(guān)系和有關(guān)性質(zhì)的規(guī)律，建議通過“直觀感知、操作確認、思維論證、 度量計算”等學習過程，培養(yǎng)和發(fā)展空間想像能力，這對幾何課程的學習應該是 有幫助的。例如，在立體幾何的學習中，建議從對空間幾何體的整體入手，認識 整體圖形，再以長方體為載體，直觀認識空間點、線、面的位置關(guān)系，抽象出有關(guān)概念，并用數(shù)學語言表述有關(guān)性質(zhì)和判定。事實上，相關(guān)研究表明，個體的認識是先從對整體的認識開始的。 大家知道， 立體幾何的學習中，

6、異面直線和異面直線之間的距離是比較難理解的兩個概念， 如果先講平行平面， 那么， 異面直線就是兩個平行平面內(nèi)兩條不平行的直線， 而異面直線之間的距離問題， 也會因為平行平面距離的確定性而變得容易理解了。這也體現(xiàn)了整體把握圖形的優(yōu)越性。2中學幾何研究的對象中學幾何主要是研究圖形的位置關(guān)系和度量的。 最基本的幾何圖形是點、 線、面， 由線可圍成平面圖形， 由面可圍成幾何體。 中學幾何研究的圖形可分為兩類，一類是直邊或直面圖形，例如，直線，由直線圍成的三角形，由平面圍成的四面體、長方體等；另一類是曲邊或曲面圖形，例如，圓，球等。在中學幾何中，基本幾何圖形點、 線、 面之間的位置關(guān)系主要有平行、 垂直

7、、 包含 （如點在直線上，線在平面內(nèi)，線與線、面與面重合等） ，由基本圖形圍成的平面圖形之間的關(guān)系主要有全等、相似、位似等。圖形的度量主要有夾 角、長度、 面積、體積等。3幾何研究圖形的方法中學幾何研究圖形的方法主要有： 綜合幾何的方法， 解析法， 向量幾何的方法，函數(shù)的方法等。綜合幾何的方法是利用幾何的方法研究圖形的性質(zhì)， 即用已知的基本圖形的性質(zhì)去研究組合圖形的性質(zhì)。 這種方法的基本特點就是把復雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形， 把空間的圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。 例如， 把兩條線段相等問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形全等或一個三角形內(nèi)兩邊相等關(guān)系， 空間兩直線垂直問問題轉(zhuǎn)化為平面上兩直線的垂直（如，三垂線定理）

8、，利用三視圖研究空間幾何體等。在綜合幾何方法中，平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等是研究圖形性質(zhì)的基本方法。解析幾何方法是利用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)。 用解析幾何方法研究圖形，首先要建立坐標系，建立起“點”與“數(shù)對”之間的一一對應關(guān)系。然后是建立幾何圖形與方程之間的聯(lián)系。 再通過用代數(shù)的方法研究方程來實現(xiàn)研究幾何圖形性質(zhì)的目的。 值得注意的是， 同一個幾何圖形， 由于建立坐標系時坐標原點的選擇不同， 在不同坐標系下方程的代數(shù)表現(xiàn)形式是不同的， 用解析幾何方法研究圖形時， 常常要通過代數(shù)的方法把表示幾何圖形的方程化成標準形式。 解析幾何方法很好地體現(xiàn)了數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合的思想： 可以用代數(shù)的方法討論幾何的問

9、題，也可以用幾何圖形表示代數(shù)性質(zhì)。向量幾何的方法就是用向量及其運算來研究幾何圖形的位置關(guān)系和度量問題。用向量及其運算可以表示幾何圖形，例如，用向量表示點，用兩個不共線向量的線性組合表示平面， 用向量的數(shù)量積表示由一個點和一個法向量確定的平面等。 用向量的運算可以研究幾何圖形的位置關(guān)系和度量。 例如， 利用向量的數(shù)乘運算、數(shù)量及運算可以刻畫線線、線面、面面的平行于垂直關(guān)系，里用向量的數(shù)量積可以度量角度、長度、面積、體積等。用向量法研究幾何圖形有時比解析幾何方法中的坐標法更具有優(yōu)越性。 這是因為， 向量是自由向量， 不需要選擇原點，這就使得向量方法更加靈活、方便。例如，求兩條異面直線之間的距離，用

10、向量法就比較簡單。 只要求出這兩條異面直線的公垂線的方向向量， 再在這兩條直線上分別任意取一個點， 由這兩個點確定的向量在公垂線的方向向量上的投影的長度就是兩異面直線間的距離。函數(shù)的方法就是利用函數(shù)的性質(zhì)，比如，單調(diào)性，來研究圖形的性質(zhì)。也就是說， 用函數(shù)來表示幾何圖形， 再利用函數(shù)的性質(zhì)來研究幾何圖形的性質(zhì)。 這種方法與解析幾何方法是一致的。4幾何內(nèi)容的設(shè)計幾何課程的設(shè)計分為兩部分。一部分是將 “把握圖形” 的能力作為指導思想，貫穿在整個數(shù)學課程的始終。另一部分是設(shè)計了相應的幾何內(nèi)容。“把握圖形”的能力，幾何直觀能力，幾何（圖形）洞察力，空間想像能力等，這些說法在很大程度上具有同樣的含義。

11、“把握圖形”的能力或幾何直觀能力是利用圖形生動形象地描述數(shù)學問題， 直觀地反映和揭示思考、 討論問題的思路， 揭示豐富多彩的數(shù)學思想。 幾何直觀在幾何課程本身的學習中發(fā)揮著不可替代的作用， 并且貫穿在整個數(shù)學學習中， 在數(shù)學的研究中期巨大的威力也是不可替代的。將“把握圖形”的能力，幾何直觀能力，作為指導思想，貫穿在整個高中數(shù)學課程的始終，使設(shè)計幾何課程的基本思想。例如 在函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的學習中， 強調(diào)函數(shù)圖形的作用是貫穿始終的， 要求把對函數(shù)思想的認識、 函數(shù)性質(zhì)的理解、 函數(shù)的應用與函數(shù)圖形的掌握有機地聯(lián)系起來。又如， 討論統(tǒng)計問題時， 描述和表示數(shù)據(jù)是反映統(tǒng)計規(guī)律的重要手段， 圖形和圖表是直觀、生動呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律的基本方式。在高中數(shù)學課程中，介紹了直方 圖、扇形圖、莖葉圖等等。實際上，并不限于這些圖形，我們還可以選擇其他的 圖形，選擇的原則就是根據(jù)具體問題，直觀地反映統(tǒng)計數(shù)據(jù)的規(guī)律，一目了然。在討論線性規(guī)劃問題時，有兩個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，一個是可行域（目標函數(shù)的定義 域）的理解，另一個是認識目標函數(shù)的變化趨勢。 平面區(qū)域圖形非常清晰地表達 了可行域（目標函數(shù)的定義域）的特征，等高線直觀地給出了目標函數(shù)的變化趨 勢。框圖（包括算法框圖）雖然不是幾何研究的對象，但是，它利用最簡單的圖 形直觀地反映了完成一項工作的邏輯關(guān)系和順序，這正是幾何給我們的一種幫