高中數(shù)學(xué)論文集淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用

1、淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象的概念與具 體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，這就是數(shù)形結(jié)合的思想.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一條重要的 數(shù)學(xué)原則，主要體現(xiàn)在平面解析幾何和立體幾何中，在處理邊角關(guān)系的問題中也有較多 的應(yīng)用.在解決集合問題、方程及不等式問題中，如果能注意數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用， 能使許多數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化.下面舉一些例子作詳細(xì)說明：一、數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問題中的應(yīng)用.1、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題.一般用圓來表示集合，兩圓相交則表 示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒有公共元素.利用韋恩圖法能直觀地 解答有關(guān)集合

2、之間的關(guān)系的問題.如：例1、有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為6人，同時(shí)參加理化小組28, 25, 15,同時(shí)參加數(shù)理小組的8人，同時(shí)參加數(shù)化小組的的7人，問同時(shí)參加數(shù)理化小組的有多少人?分析：我們可用圓A、B、C分別表小參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如右圖），則三圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù).用n表示集合的元素，則有:n(A)n(B) n(C)n(A B) n(A C) n(BC) n(A即：2825 15 86 7 n(A B C) 48n(AB C) 1,即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有1人.例2、設(shè)I 小于10的自然數(shù)，已知A B2 ,A求 A, B.分

3、析：如圖，用長(zhǎng)方形表示全集I,用圓分別表示集合A和B,用n表示集合1,9, A B 4,6,8.的元素，則有：n(A) n(B) n(A B) n(A B) I從韋恩圖我們可以直觀地看出：A 2,3,5,7,B2,4,6,8 .2、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問題.例 3、設(shè) A x|x2 16 0 ,B x|x2 4x 3 0 ,I R.求 A B, A B, AB, AB.d+、+ h匕 ?b 分析:分別先確定集合A,B的元素，-4 - 2012 34A x| 4 x 4 , B x| x 3或x 1 ,然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案：AB

4、x| 4x 1或3x 4（公共部分）A B I（整個(gè)數(shù)軸都被覆蓋）ABx |x4或1 x3或x4 （除去重合部分剩下的區(qū)域）A-（除去覆蓋部分剩下的區(qū)域）例4、已知集合 A x| 1 x 3 ,B x|a x 3a ,（a 0）若A B ,求a的范圍.若B A ,求a的范圍.分析：先在數(shù)軸上表示出集合 A的范圍，i I 1 :要使a b,由包含于的關(guān)系可知集合b應(yīng)該a _73"Ma 1覆蓋集合A,從而有：，這時(shí)a的值不可能存在.要使B A,這時(shí)集合應(yīng)該覆蓋3a 3a 1集合B,應(yīng)有 成立.3a 3可解得1 a 1為所求a的范圍.二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題.1、 利用二次

5、函數(shù)的圖像求一元二次不等式的解集例5、解不等式x2 x 6 0 .分析：我們可先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y x2 x 6的圖像草圖.從x2 x 6 0解得x12, x2 3知該拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2, 3,當(dāng)x取交點(diǎn)兩側(cè)的值時(shí)，即x2或x 3時(shí),y 0 .即x2 x 6 0.故可得不等式x2 x 6 0 .的解集為:x|x2或x 3 .同理，根據(jù)圖像，我們還可以直觀地看出:x| 2 x 3等等.例6、求不等式 x2 2x 3 0的解集.分析:我們先聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)yx2 2x 3的圖像草圖，拋物線開口向下，與x軸沒有交點(diǎn)，很明顯，無論x取任何值時(shí)都有 y 0.即 x2 2x 3 0,.-.

6、x2 2x 3 0的解集為空集. 而x2 2x 3 0的解集為全體實(shí)數(shù).x2 x 6 0的解集為因此，我們要求一元二次不等式的解集時(shí)，只要聯(lián)想對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像，確定 拋物線的開口方向和與x軸的交點(diǎn)情況，便可直觀地看出所求不等式地解集2、 利用二次函數(shù)的圖像解決一元二次方程根的分布情況問題.例7、a為何值時(shí)，方程2a2x2 2ax 1 a2 0的兩根在1,1之內(nèi)?分析：顯然a2 0,我們可從已知方程聯(lián)想到相應(yīng)的二次函數(shù)y2a2x22ax1 a2的草圖，從圖像上我們可以看出，要使拋物線與 x軸的兩個(gè)f( 1) 0(a交點(diǎn)在1,1之間必須滿足條件：f( -a) 0即-22f(1) 0(a從而可解

7、得a的取值范圍為a 型或a22這兩個(gè)函數(shù)圖像都是開口向上，形狀相同且有公共對(duì)稱軸的拋物線(如圖).要使方程x2 2ax k 0的兩實(shí)根在方程x2 2ax a 4 0的兩實(shí)根之間，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像 y1與x軸的交點(diǎn)應(yīng)在函數(shù)圖像y2與x軸的交點(diǎn)之內(nèi)，它等價(jià)于拋物線 必的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不大于零且大于拋物線 y2的頂點(diǎn)縱 坐標(biāo).由配方方法可知y與y2的頂點(diǎn)分別為：P1 a, a2 k , P2 a, a2 a 4.故 a2 a 4 a2 k 0.故可求出a與k應(yīng)滿足的關(guān)系式為:a 4 k a2 .3、 利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個(gè)數(shù)問題.例9、解方程3x 2 x分析：由方程兩邊的表達(dá)式我們可以聯(lián)想

8、起函數(shù)y 3、與丫 2 x,作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x 0.4.例10、設(shè)方程x2 1 k 1,試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況.分析：我們可把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)必 x2 1與y2 k 1圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)V2 k 1表示平行于x軸的所有直線，從圖像可以直觀看出：當(dāng)k無解;當(dāng)k 1時(shí)，必與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解；當(dāng)1 k 0時(shí)，y1 與y2有四個(gè)不同交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有四個(gè)；當(dāng) k 0時(shí)，y1與y2有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；當(dāng) k 0時(shí)y與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三

9、個(gè).4、 利用三角函數(shù)的圖像解不等式.例 11、解不等式 2sin2x (V3 1)sin xcosx (v,3 1)cos2 x 1 .分析:原不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏罂傻玫剑簊in2 x ( . 3 1)sin xcosx . 3cos2 x 0又cos2* 0, 不等式兩邊同時(shí)除以cos2x可得:tan2 x (, 3卜面關(guān)鍵分析如何求1) tan x 33 0 . 1 tanx M3問-內(nèi)作出y2 2tan x的函數(shù)圖像，冉作出兩平行于x軸的直線y 再與y tanx的圖像相交于點(diǎn)Pi,P2 .P1,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為x1又因?yàn)檎泻瘮?shù)y tanx的周期為Z .故可求得所求不等式的解

10、集為：x|k表達(dá)式我們可以看成兩個(gè)函數(shù)y1cosx,y2kx4分析：從不等式的兩邊sinx .在0,2上作出它們的圖像，得到四個(gè)不同的交點(diǎn)-,k3例12、解不等式cosx0d 7r，2內(nèi)時(shí),必cosx的圖像都在y2sinx的圖像上方.所以可得1 tanx g的解集.我們可以聯(lián)想正切函數(shù)y tanx的圖像，在區(qū)357到原不等式的解集為：x10 x z或z x 7或7三、利用函數(shù)圖像比較函數(shù)值的大小.利用它們圖像的直觀性進(jìn)一些數(shù)值大小的比較，我們可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值, 行比較.如:例13、試判斷0.32,log 2 0.3,20.3三個(gè)數(shù)間的大小順序.2分析：這三個(gè)數(shù)我們可以看成三個(gè)函數(shù) yi

11、 x2,y2 log2 x, y3 2、在乂 0.3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像（如圖），從圖像可以直觀地看出當(dāng)x 0.3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)已尸2尸3的位置，從而可得出結(jié)論：20.3 0.32 log 2 0.3 .四、利用單位圓中的有線段解決三角不等式問題.在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線，并利用三角函 數(shù)線可作出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的圖像.如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應(yīng) 用它解決三角不等式問題，簡(jiǎn)便易行.1 例14、解不等式sin x .2分析：因?yàn)檎揖€在單位圓中是用方向平行于y軸的有向線段來表示.我們先在y軸上取一點(diǎn)P,使OP 1 ,恰好表示角x的正弦線sinx -, 22過點(diǎn)P作x軸的平行線交單位圓于點(diǎn)P1,P2,37在 一,一內(nèi)，OP1QP2分別對(duì)應(yīng)于角 一，一2 2661 .一.要求sinx-的解集，只需將弦P1P2向上平移21 一（這時(shí)所對(duì)應(yīng)的正弦值恰好為 ）.而使OP1QP2重合（也即點(diǎn)P向上平移至與單位圓交點(diǎn)處）.這樣OP1QP2所掃過的范圍即為所求的角.原不等式的解集為:x|2k x 2k -,k Z 661例15、解不等式cosx 一2分析：根據(jù)余弦線在單位圓中是方向平行于X軸的有向線段.先在x軸1 .上取點(diǎn)P,使OP 1,恰好表小角X的余 21弦線cos