中考數(shù)學(xué)壓軸題,動(dòng)點(diǎn)--等腰三角形

1、1.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2012年揚(yáng)州市中考第27題如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的 對(duì)稱軸.(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn) M,使 MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合 條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.思路點(diǎn)撥1 .第(2)題是典型的“牛喝水”問題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí) PAC的周長(zhǎng)最小.2 .第(3)題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性.滿分解答(1)因?yàn)閽佄锞€與 x軸交于A(1,0)、B(

2、3, 0)兩點(diǎn)，設(shè)y=a(x+1)(x-3), 代入點(diǎn)C(0 ,3),得3a = 3.解得a=- 1.圖2所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y= (x+ 1)(x 3) = -x2+2x+3.(2)如圖2,拋物線的對(duì)稱軸是直線 x= 1 .當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA+PC最小， PAC的周長(zhǎng)最小. 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與 x軸的交點(diǎn)為H .由 BH PH BO=CO,得 PH = BH=2.BO CO所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).(3)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(1,1)、(1,76)、(1, V6)或(1,0).考點(diǎn)伸展第(3)題的解題過程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m).在 MAC 中，AC2=10, MC2=

3、1 + (m3)2, MA2=4+m2.如圖 3,當(dāng) MA=MC 時(shí)，MA2=MC2.解方程 4+m2= 1+(m3)2,得 m= 1.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1).如圖4,當(dāng)AM = AC時(shí)，AM2=AC2.解方程4+m2=10,得m 品.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,番)或(1, J6).如圖 5,當(dāng) CM=CA 時(shí)，CM2=CA2.解方程 i +(m3)2=10,得 m= 0 或 6.當(dāng)M(1,6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0).例2 2012年臨沂市中考第26題如圖1,點(diǎn)A在x軸上，OA=4,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.(1)求點(diǎn)

4、B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖1思路點(diǎn)撥1 .用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的 距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn).2 .本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起.滿分解答(1)如圖2,過點(diǎn)B作BCy軸，垂足為 C.在 RtOBC 中，Z BOC = 30° , OB = 4,所以 BC = 2, OC 273.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2, 243).(2)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于0、A(4

5、, 0),設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-4),代入點(diǎn)B( 2, 2肉，2串所以拋物線的解析式為y(3)拋物線的對(duì)稱軸是直線2a ( 6) .解得a 史.633 2 2/3x( x 4)x x .663x=2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y).當(dāng) OP=OB=4 時(shí)，OP2 = 16.所以 4+y2=16.解得 y 2P.當(dāng)P在(2, 2肉時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線(如圖 2).當(dāng) BP=BO=4 時(shí)，BP2=16.所以 42 (y 2廚 16 .解得 yi y2273.當(dāng) PB=P。時(shí)，PB2=PO2.所以 42 (y 273)2 22 y2.解得 y 2忌.綜合、，點(diǎn) P的坐標(biāo)為(2, 273),如

6、圖2所示.考點(diǎn)伸展如圖3,在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,那么 DOA與 OAB是兩個(gè)相似的等腰三D(2,哈角形.由y x(x 4) (x 2)2 ,得拋物線的頂點(diǎn)為 663因此 tan DOA 23 .所以/ DOA=30° , / ODA =120° 3例3 2011年湖州市中考第24題如圖1,已知正方形 OABC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是 BC的中點(diǎn).P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(C點(diǎn)除外)，直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D.(1)求點(diǎn)D而坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；(2)當(dāng) APD是等腰三角形時(shí)，求 m的值；(3)設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與

7、x軸正半軸交于點(diǎn) E,過點(diǎn)O作直線ME的垂線， 垂足為H (如圖2).當(dāng)點(diǎn)P從。向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路長(zhǎng)(不必寫解答過程)圖2思路點(diǎn)撥1 .用含m的代數(shù)式表示表示 APD的三邊長(zhǎng)，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備.2 .探求 APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解.3 .猜想點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)難題.不變的是直角，會(huì)不會(huì)找到不變的線段長(zhǎng)呢？Rt OHM的斜邊長(zhǎng)OM是定值，以O(shè)M為直徑的圓過點(diǎn) H、C.滿分解答(1)因?yàn)?PC/DB,所以 CP PM- MC 1.因此 PM = DM, CP = BD = 2m.所以 BD DM MBAD =4- m.于是彳#到點(diǎn) D的坐標(biāo)

8、為(2, 4m).(2)在 APD 中，AD2 (4 m)2 , AP2 m2 4, PD2 (2PM )2 4 4(2 m)2 .當(dāng)AP = AD時(shí)，(4 m)2 m2 4 .解得m 9 (如圖3).2當(dāng)PA=PD時(shí)，m2 4 4 4(2 m)2.解得m 4 (如圖4)或m 4 (不合題意，3 舍去).當(dāng)DA = DP時(shí)，(4 m)2 4 4(2 m)2,解得m 2 (如圖5)或m 2 (不合題意，3 舍去).綜上所述，當(dāng) APD為等腰三角形時(shí)，m的值為3, 4或2.233圖3圖4圖5(3)點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為 由 .考點(diǎn)伸展第(2)題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計(jì)算更簡(jiǎn)單：

9、如圖3 ,當(dāng) AP = AD時(shí)，AM垂直平分PD ,那么 PCM s mba ,所以PCCMMB113.因此pc一，m一.BA222如圖4,當(dāng)PA=PD時(shí)，P在AD的垂直平分線上.所以DA=2PO.因此4 m 2m.解 4 仔m 3第(2)題的思路是這樣的：如圖6,在RtAOHM中，斜邊OM為定值，因此以 OM為直徑的。G經(jīng)過點(diǎn)H,也就 是說點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)過的圓心'角怎么確定呢？如圖7, P與。重合時(shí)，是點(diǎn) H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，/ COH = 45° , /CGH = 90° .圖6圖7例4 2011年鹽城市中考第28題如圖1,已知一次函數(shù)y=-x+7與正比仞函數(shù)

10、y 4x的圖象交于點(diǎn)A,且與x軸交于 3點(diǎn)B.(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作直線l/y軸.動(dòng) 點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿 OC A 的路線向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度 向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R,交線段BA 或線段AO于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都 停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.當(dāng)t為何值時(shí)，以 A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積 為8是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？ 若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.思路點(diǎn)撥1 .把圖1復(fù)制若干個(gè)，在每一個(gè)圖形中解決一個(gè)問題.2

11、 .求 APR的面積等于8,按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論.事實(shí)上，P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，高是定值 4,最大面積為6,因此不存在面積為 8的可能.3 .討論等腰三角形 APQ,按照點(diǎn)P的位置分兩種情況討論，點(diǎn)P的每一種位置又要討論三種情況.滿分解答y x 7, x 3(1)解方程組4 得 ，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3, 4).y 3x,y 4.令y x7 0-Hx7.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7, 0).(2)如圖2,當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0<t<4.由S3PRS弟形“RASAacpSApor8,得:(3+7 t) 4 1 4 (4 t) 1 t(7 t) 8 整理，得 t2 8t 12 0.解得 t=

12、2 或 t= 6(舍去).如圖3,當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)， APR的最大面積為6.因此，當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為 8.我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0W tv 4.如圖 1,在 AOB 中，/ B=45° , / AOB>45° , OB =7, AB 472 ,所以 OB>AB.因 此/ OAB>Z AOB>Z B.如圖4,點(diǎn)P由。向C運(yùn)動(dòng)的過程中， OP=BR= RQ,所以PQ/X軸.因此/ AQP = 45°保持不變，/ PAQ越來越大，所以只存在/ APQ=Z AQP的情況. 此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上， O

13、R=2CA= 6.所以BR= 1, t= 1.我們?cè)賮碛懻揚(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，在4APQ中， 8s A 3為定值，AP5如圖5,當(dāng)AP = AQ時(shí)，解方程7 t 5t3如圖6,當(dāng)QP = QA時(shí)，點(diǎn)Q在PA7 t 2(7 t) (t 4),得 t 5.如7,當(dāng)PA = PQ時(shí)，那么8s A5 203 2226t 2(7 t)，仔 t335434<t<7.55 207 t , AQ OA OQ OA -OR -t .33 32041，倚t 38的垂直平分線上， AP=2(OR-OP).解方程-2一 .因此AQ 2AP cos A 解方程 AP綜上所述，t= 1或41或5或226時(shí)

14、， APQ是等腰三角形. 843考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QP = QA時(shí)，也可以用 AP 2AQ cos A來求解.例5 2010 年上海市閘北區(qū)中考模擬第 25題如圖1,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn) A(6, 0), B(0, 8), C(4, 0),點(diǎn)M、N分別為線段 AC 和射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自C向A方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) N以5 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自A向B方向作勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P.(1)求證：MN : NP為定值；(2)若4 BNP與 MNA相似，求 CM的長(zhǎng)；(3)若4 BNP是等腰三角形，求 CM的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥1 .第(1)題求證MN : NP的值要根據(jù)點(diǎn)

15、 N的位置分兩種情況.這個(gè)結(jié)論為后面的計(jì) 算提供了方便.2 .第(2)題探求相似的兩個(gè)三角形有一組鄰補(bǔ)角，通過說理知道這兩個(gè)三角形是直角三角形時(shí)才可能相似.3 .第(3)題探求等腰三角形，要兩級(jí)(兩層)分類，先按照點(diǎn)N的位置分類，再按照頂角的頂點(diǎn)分類.注意當(dāng)N在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，鈍角等腰三角形只有一種情況.4.探求等腰三角形 BNP, N在AB上時(shí)，/ B是確定的，把夾/ B的兩邊的長(zhǎng)先表示出 來，再分類計(jì)算.滿分解答(1)如圖2,圖3,作NQx軸，垂足為 Q.設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.在 RtAANQ 中，AN = 5t, NQ=4t , AQ = 3t.在圖 2 中，QO = 6-3t,

16、 MQ = 10-5t,所以 MN : NP=MQ : QO = 5 ： 3.在圖 3 中，QO = 3t-6, MQ=5t-10,所以 MN : NP=MQ : QO = 5 : 3.(2)因?yàn)?BNP與 MNA有一組鄰補(bǔ)角，因此這兩個(gè)三角形要么是一個(gè)銳角三角形和一 個(gè)鈍角三角形，要么是兩個(gè)直角三角形.只有當(dāng)這兩個(gè)三角形都是直角三角形時(shí)才可能相似.，一. AN 3 5t 330如圖 4, BNPs MNA,在RtAMN中， 3 所以一5士.解得 t 30此AM 510 2t531時(shí) CM 6031CM。ACAB如圖5,圖6,圖7中,OPQNMP.MNOP4tOP8t. 5當(dāng)N在AB上時(shí)，在

17、BNP中,/ B是確定的,BP 8BN10(I )如圖5,當(dāng)BP=BN時(shí),解方程85t,10一.此時(shí)17CM2017(n )如圖6,當(dāng)NB= NP時(shí),4 BE -BN58t 5410 5t5，得t45時(shí)CM -2（出）當(dāng)PB=PN 時(shí)，1BN24 BP .解方程1 10 5t8t ，得t的值為負(fù)數(shù),5因此不存在如圖PB = PN的情況.7,當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，/ B是鈍角，只存在 BP=BN的可能，此時(shí) BN 5t810.解方程8 8t5-30,5t 10,得t 一.此時(shí) 1160CM 一11圖5考點(diǎn)伸展如圖6,當(dāng)NB=NP時(shí)，ANMA是等腰三角形,1 4-BN -BP,這樣計(jì)算簡(jiǎn)便

18、一些.25例6 2010年南通市中考第27題如圖1,在矩形ABCD中，AB=m （ m是大于0的常數(shù)），BC = 8, E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）.連結(jié)DE,作EFXDE, EF與射線BA交于點(diǎn)F,設(shè)CE=x, BF=y. （1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若 y（2）若m = 8,求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少?一，要使 DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少? m思路點(diǎn)撥1 .證明 DCEs ebf,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.2 .第（2）題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值.3 .第（3）題頭緒復(fù)雜，計(jì)算簡(jiǎn)單，分三段表達(dá).一段是說理，

19、如果DEF為等腰三角形，那么得到x=y;一段是計(jì)算，化簡(jiǎn)消去m,得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值; 第三段是把前兩段結(jié)合，代入求出對(duì)應(yīng)的 m的值.滿分解答（1）因?yàn)? EDC與/ FEB都是/ DEC的余角，所以/EDC = /FEB.又因?yàn)? C=/B= 90° ,所以 DCEsEBF.因此DEEB ,即m 8x .整理，得y關(guān)于x的函數(shù)BF x y關(guān)系為y x2 x .m m(2)如圖2,當(dāng)m= 8時(shí),值為2.若y ,那么m m1 212y x x (x 4)2.因此當(dāng)x= 4時(shí)，y取得最大88128AL 2. r ,x2 x.整理，得 x2 8x 12 0.解得 x= 2或

20、*= 6.要 m m使DEF為等腰三角形，只存在 ED=EF的情況.因?yàn)?DCEsEBF,所以CE=BF,即12x=y.將 x= y = 2代入 y ，得 m=6 (如圖 3);將 x= y1212 ,得 m=2 (如 m考點(diǎn)伸展本題中蘊(yùn)涵著一般性與特殊性的辯證關(guān)系，例如：1 2 81212 16由第（1）題彳#到y(tǒng) x28x（x28x）（x 4）2-6,mmmmm那么不論m為何值，當(dāng)x= 4時(shí)，y都取得最大值.對(duì)應(yīng)的幾何意義是，不論 AB邊為 多長(zhǎng)，當(dāng)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，BF都取得最大值.第（2）題m = 8是第（1）題一般性結(jié)論 的一個(gè)特殊性.再如，不論m為小于8的任何值， DEF都可以成為

21、等腰三角形，這是因?yàn)榉匠? 2 8 入、c，一口“、人，人，人一，x x x總有一個(gè)根x 8 m的.第（3）題是這個(gè)一般性結(jié)論的一個(gè)特殊性. m m例7 2009年重慶市中考第26題已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC 在x軸的正半軸上，OA = 2, OC=3,過原點(diǎn)。作/AOC的平分線交 AB于點(diǎn)D,連結(jié)DC, 過點(diǎn)D作DE，DC ,交OA于點(diǎn)E.（1）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；（2）將/ EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn) F,另一邊與線段OC交于點(diǎn)G.如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn) M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-,5那么EF = 2GO是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn) G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的 PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)； 若不存在成立，請(qǐng)說明理由.思路點(diǎn)撥1 .用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，這個(gè)解析式在第（2）、（3）題的計(jì)算中要用到.2 .過點(diǎn)M作MNLAB,根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例可以求 FA的長(zhǎng).3 .將/ EDC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中， DCG與 DEF保持全等.4 .第（3）題反客為主，分三種情況討論P(yáng)CG為等腰