開普勒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用

1、開普勒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用江蘇南京師范大學(xué)物科院 王勇江蘇海安曲塘中學(xué) 周延懷隨著人類航天技術(shù)的飛速發(fā)展和我國(guó)嫦娥繞月衛(wèi)星的發(fā)射成功，以天體運(yùn)動(dòng)為載體的問題將成為今后考查熱點(diǎn)。在現(xiàn)行的高中物理教材中主要引用了開普勒三大定律來描述了天體 的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這三條定律的主要內(nèi)容如下：(1)所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。(2)對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。(3)所有行星的軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值至于行星繞太陽的軌道為何是橢圓以及中的常量C與那些量相關(guān)并無說明。 為了更深入的理解天體和人造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律，本文將以橢圓的性

2、質(zhì)為基礎(chǔ)從理論上推導(dǎo)開普勒定律。一、開普勒第一定律1 .地球運(yùn)行的特點(diǎn)(1)由于地球始終繞太陽運(yùn)動(dòng)，則太陽對(duì)地球的萬有引力的力矩始終為零，所以地球 在運(yùn)動(dòng)過程中角動(dòng)量守恒。(2)若把太陽與地球當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，由于萬有引力為保守力且無外力作用在這個(gè)系統(tǒng) 上，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。2 .地球運(yùn)行軌跡分析地球在有心力場(chǎng)中作平面運(yùn)動(dòng)且萬有引力的作用線始終通過太陽，所以建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(r , 0 ) oV。若太陽質(zhì)量為 M地球質(zhì)量為 3極彳至為r時(shí)地球運(yùn)行的運(yùn)行速度為(1)若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零參考點(diǎn),則引力勢(shì)能地球在運(yùn)行過程中的機(jī)械能2r(2)二 比豆二。（1）式代入（2）式得：

3、二w，(3)當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行速度與極徑 r垂直時(shí)，則地球運(yùn)行過程中的角動(dòng)量1_融叫 L 2£?(4)由式（3）得：丁一4 WW由式（4）可知，當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行速度與極徑r垂直時(shí)，地球運(yùn)行的極徑 r有兩解，由于初始假設(shè)地球的運(yùn)行速度與極徑垂直，所以r為地球處在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)距太陽的距離?？紤]到地球的這兩個(gè)位置在極坐標(biāo)系中分別相當(dāng)于和CO當(dāng)£二十1 ,可把式（4）中的士號(hào)改寫為更普遍的形式極坐標(biāo)方程。1 Qm ri 2過小= 1 十 Jl+-# cos則地球的運(yùn)行軌跡方程為r LG M m(5)一二一（1+后匚os劭p -（5）式與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程廠P吻合，其中凸M?。╬ 二1為決

4、定圓錐曲線的開口），疝 （e為偏心率，決定運(yùn)行軌跡的形狀），所以地球的運(yùn)行軌跡為圓錐曲線。由于地球繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)E<0,則圓錐曲線的偏心率 °已<1,所以地球繞太陽運(yùn)行的軌跡為橢圓。3 .人造星體的變軌由于運(yùn)載火箭發(fā)射能力的局限，人造星體往往不能直接由火箭送入最終運(yùn)行的空間軌道，若要使人造星體到達(dá)預(yù)定的軌道， 要在地面跟蹤測(cè)控網(wǎng)的跟蹤測(cè)控下， 選擇合適時(shí)機(jī)向衛(wèi)星 上的發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)出點(diǎn)火指令使人造星體的速度增加（機(jī)械能增加），進(jìn)而達(dá)到改變衛(wèi)星運(yùn)行軌道的目的。如圖所示最初人造星體直接由火箭送入近地軌道月_豈”至1,此時(shí)刈 ,偏心率e=0,人造星體運(yùn)行的軌跡為圓； 當(dāng)?shù)竭_(dá)A點(diǎn)時(shí)，人造

5、星體發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，此時(shí) 2d<E<0,偏心率0<e<1,運(yùn)行的軌跡為橢圓軌道 2;當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)，人造星體發(fā)動(dòng)機(jī)再次點(diǎn)火，* = -可當(dāng)2上,時(shí)，偏心率e=0,人造星體將在圓軌道 3上運(yùn)行；當(dāng)?shù)竭_(dá) B點(diǎn)時(shí)人造星發(fā)動(dòng)機(jī)再次點(diǎn)火，人造星體將在開口更大的橢圓軌道4上運(yùn)動(dòng)，人造星體將離地球越來越遠(yuǎn)，當(dāng)?shù)厍驅(qū)λ囊π∮谄渌求w對(duì)它的引力時(shí)，人造星體將脫離地球的束縛奔向其它星體 （如嫦娥一號(hào)衛(wèi)星）。、開普勒第二定律行星繞太陽的軌道為橢圓，若在時(shí)刻t行星位于A點(diǎn)，經(jīng)dt時(shí)間后行星位于點(diǎn) B,在益=此時(shí)間內(nèi)行星的極徑r轉(zhuǎn)過的角度為d。，則AOBffll的面積2（1）dS _ 1 加r 2

6、(2)1 = - r (1)式除以dt有山 2 山(3)I 2 Z二mr G 二(3)式代入(2)式得3：5二竺由于L是恒量，所以單位時(shí)間內(nèi)極徑所掃過的面積上也是恒量。所以地球在近日點(diǎn)運(yùn)行的快，在遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行的慢。如圖人造星體從軌道 1變化到軌道3的過程中，若點(diǎn)火前后A、 B兩點(diǎn)的速度分別為 Vi.V2.V3.V4,則點(diǎn)火前后速度 Vi<V2, V3<M;在橢圓軌道3上A、B兩點(diǎn) 分別為近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，則速度V2>V3;由于人造星體在軌道 1。軌道3上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以 M>V4;故 V2>V>M>V3。三、開普勒第三定律行星繞太陽運(yùn)動(dòng)橢圓軌道的面積，根

7、據(jù)橢圓的性質(zhì)則橢圓的面積S二勒 (a為長(zhǎng)軸,b為短軸)由于單位時(shí)間內(nèi)極徑所掃過的面積也. S mb 一吏一 A- L則周期-二，根據(jù)橢圓的性質(zhì)和開1 , 、 野2 加七-內(nèi)(2(2)式得N 4/附, T =尸(2)式代入(1)式得根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓的半短軸：一二r 屈(1)普勒第一定律，半長(zhǎng)軸)(3),則一由(4)dS L =尸_毋二式（4）代入（3）式得 - C由此式可知繞同一中心天體運(yùn)行的人造星體軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它們的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值由中心天體的質(zhì)量所決定。例 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為如圖所示如果飛船要返回地面， 可在軌道上的某點(diǎn) A將速度降低到適當(dāng)?shù)臄?shù)值，從而使飛船沿著地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行， 橢圓與地球表面在 B點(diǎn)相切，求飛船由 A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間。（已知地球半徑為 K）分析：無論飛船是