必修二立體幾何證明題

1、必修二立體幾何經(jīng)典證明試題11.如圖，二棱枉 ABC AiBiCi中，側(cè)棱垂直底面，/ ACB=90 , AC=BC=AAi, D是棱AAi的中點(I )證明：平面 BDCi,平面BDC(n )平面BDC i分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比i.【解析】(I)由題設知 BC± CCi,BC±AC, CCi AC C , . BC DCi BC,由題設知 AiDCi ADC 45°,， CDC 二900，即 DCi DC , 又.DC BC C, DCi，面 BDC,DCi 面 BDC1，面 BDC，面 BDCi ;i(n)設棱錐 B DACCi的體積為Vi, A

2、C =i,由題意得，Vi二3由三棱柱 ABC AB1cl的體積V =i, (V Vi) :Vi=i：i ,平面BDCi分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.AD , E是PB的中點，F(xiàn)是2.如圖5所示，在四B P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD , PD1 一,CD上的點且DF -AB, PH為乙PAD中AD邊上的高. 2(1)證明：PH 平面ABCD ;(2)若PH 1, AD J2, FC 1,求三棱錐E BCF的體積;(3)證明：EF 平面PAB.【解析】(1)證明：因為 AB 平面PAD,所以PH AB。因為PH為乙PAD中AD邊上的高，所以 PH AD。因為ABIAD A,

3、所以PH 平面ABCD。(2)連結(jié)BH ,取BH中點G ,連結(jié)EG 。因為E是PB的中點，所以EG / PH o因為PH 平面ABCD所以EG 平面ABCD 。則 EG 1PH21 _ 一 1 1 一2Ve bcf- S bcf EG - - FC AD EG 。1ME 一 AB。233 212(3)證明：取PA中點M ,連結(jié)MD , ME。因為E是PB的中點，所以一，1因為DF 一 AB ,所以ME / DF ,所以四邊形 MEDF是平行四邊形，所以 EF / MD。 2因為PD AD ,所以MD PA。因為AB 平面PAD ,所以MD AB。因為PAI AB A,所以MD 平面PAB,所以

4、EF 平面PAB。3.如圖，在直三棱柱ABC AB1C1中，ABiACi , D , E分別是棱BC , CCi上的點(點D不同于點C ),且AD DE,F為PG的中點.求證：(1)平面ADE 平面BCC1B1 ；(2)直線AF /平面ADE .【答案】 證明：(1) ABC AB£是直三棱柱，CC1平面ABC。又 AD 平面 ABC ,CC1 AD。又 AD DE , CC1, DE 平面 BCC1B1, CC1 I DE E , . AD 平面 BCC1B1。又 AD 平面ADE，平面ADE 平面BCC1B1。(2) A1Bi ACi , F 為 B1C1 的中點，AiFB,G。

5、又 CCi平面 AiBiCi，且 AF 平面 ABCi ,，CCi AF 。又CC1,B1C1平面 BCC1B1, CC1 IB1C1C1 , .A1F平面A1B1C1O由(1)知，AD 平面 BCC1B1,A1F / AD 。又 AD 平面ADE, A1F 平面ADE ,，直線 A1F 平面ADE1分4.如圖，四棱錐 P-ABCD中，ABCD為矩形， PAD為等腰直角三角形，/ APD=90 ° ,面PAD，面ABCD ,且AB=1 , AD=2 , E、F分別為PC和BD的中點.(1)證明：EF/面 PAD ;(2)證明：面 PDCXW PAD ;(3)求四棱錐P-ABCD的體積

6、.如圖，連接 AC , , ABCD為矩形且F是BD的中點，AC必經(jīng)過F又E是PC的中點，所以，EF/AP2分. EF在面PAD外，PA在面內(nèi)，EF/面PAD(2) .面 PADXW ABCD , CD LAD,面 PAD I 面 ABCD=AD , . CD，面 PAD ,又 AP W PAD , API CD 又APPD, PD 和 CD 是相交直線， AP±W PCD又AD 面PAD,所以，面 PDCXM PAD(3)取AD中點為O,連接PO,因為面PADXW ABCD及 PAD為等腰直角三角形，所以 POL面ABCD ,即PO為四棱錐P-ABCD的高1ADPB、PC 的中點，

7、且 AD PD 2MA.p , AD=2 ,PO=1,所以四棱錐 P-ABCD 的體積 V - PO AB35.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA 平面 ABCD , PD/MA, E、G、F 分別為 MB、求證：平面EFG 平面PDC ；(II )求三棱錐P MAB與四錐P ABCD的體積之比.【解析】(I).證明：由已知 MA 平面ABCD , PD? / MA所以 PD C平面ABCDZ BC 平面ABCD因為 四邊形ABCM正方形，所以 PD ± BC又在PBC中，因為(n)解:則所以 由于 所以所以 又 因為pd n dc=d因止匕G平分為PC的中點，GF

8、/ BC因止匕GF C平面EFGBC ，平面PDCGF ，平面PDC所以 平面EFGL平面PDC.PDL平面ABCD四邊形ABCDME方形，不妨設 MA=1PD=AD=2 , ABCDV p-ABCD=1/3S 正方形 abcd PD=8/3DA，面MABW距離DA即為點P到平面MABW距離,三棱錐 Vp-MAB=1/3 X 1/2 X 1 X2X 2=2/3 ,所以 Vp-MAB: Vp-ABCD=1:4。6 .如圖，正方形 ABC的四邊形(I)求證：AF/平面BDE(II)求證： CF1平面BDF;證明：(I )設AC于BD交于點所以四邊形AGH為平行四邊形所以AF/ EG因為EG 平面B

9、DE,AFACEFW在的平面互相垂直。EF/AC , AB=/2 ,CE=EF=1平面BDE,Go 因為 EF/ AG,且 EF=1,所以AF/平面BDE(II)連接FGo因為EF/ CG,EF=CG=1且CE=1,所以平行四邊形CEFG為菱形。所以 CF± EG.因為四邊形 ABCM正方形，所以 BD±AC.又因為平面 ACEFL平面ABCD且平面ACEFT平面ABCD=A(>以 BD1平面 ACEF.所以 CF± BD.又 BDA EG=GJ以 CFL平面 BDE.7 .如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2 ,

10、EF / AB,EF ± FB, Z BFC=90° , BF=FC,H 為BC的中點，(I)求證：FH/平面 EDB;(n)求證：AC,平面EDB;(出)求四面體 BDEF的體積；8 .如圖，在直三棱柱 ABC AB1cl中，E、F分別是A1B、AC的中點,求證：(1) EF/平面ABC;(2)平面 AFD 平面 BB1c1c.9 .如圖4,在邊長為1的等邊三角形 ABC中，D,E分別是點，AD AE, F是BC的中點，AF與DE交于點得到如圖5所示的三棱錐A BCF ,其中AB, ACG ,將ABF沿AF折起，bca(2)證明：DE /平面BCF ;證明：CF 平面AB

11、F ;一2 當AD 一時，求三棱錐F DEG的體積Vf deg3D.AD AE答案】(1)在等邊三角形 ABC中，AD AEDB EC ,在折疊后的三棱錐A BCF中也成立,DE/BC , Q DE 平面BCF , BC 平面BCF ,DE/平面 BCF ;1BF CF (2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AF BC，2.BC 222Q 在三棱錐A BCF 中，2 ,BC2BF2CF2CF BF Q BF CF F CF 平面 ABF ；;由(1)可知GE/CF ,結(jié)合(2)可彳導ge平面DFG .10.如圖，在四 麴t P ABCD 中，AB/CD, AB AD, CD 2AB

12、,平面 PAD底面 ABCD, PA AD , E 和F分別是CD和PC的中點，求證：(1) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面 PAD ;(3)平面 BEF 平面 PCD【答案】(I)因為平面PACL平面ABCD且PA垂直于這個平面的交線 AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因為 AB/ CD,CD=2AB,E為 CD的中點所以AB/ DE,且AB=DE所以ABEM平行四邊形，所以BE/ AD,又因為 BE 平面PAD,AD 平面PAD所以BE/平面 PAD.(III)因為AB±AD,而且ABE型平行四邊形所以BE! CD,ADL CD,由(I)知PAL底面 ABCD,所以PAL CD所以 CDL平面 PAD所以CDL PD