熱傳導(dǎo)方程的初值問題

1、§2熱傳導(dǎo)方程的初值問題一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題(或Cauchy問題) （2.1）偏導(dǎo)數(shù)的多種記號(hào).問題(2.1)也可記為.2.1 Fourier變換我們將用Fourier 變換法求解熱傳導(dǎo)方程的柯西問題.為此我們將著重介紹Fourier變換的基本知識(shí).Fourier變換在許多學(xué)科中是重要使用工具.可積函數(shù),設(shè)是定義在上的函數(shù), 且對(duì)任意，在上可積，若積分收斂,則稱在上絕對(duì)可積。將上絕對(duì)可積函數(shù)形成的集合記為或，即 ，稱為可積函數(shù)空間.連續(xù)函數(shù)空間: 上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合,記為,，。定義2.1 若,那么積分 (2.2)有意義,稱為Fourier變換, 稱為的Fourier變式(或

2、Fourier變換的象).定理2.1 (Fourier積分定理)若,那么我們有 (2.3)公式(2.3)稱為反演公式.左端的積分表示取Cauchy主值.通常將由積分所定義的變換稱為Fourier逆變換.因此(2.3)亦可寫成即一個(gè)屬于的函數(shù)作了一次Fourier變換以后,再接著作一次Fourier逆變換,就回到這個(gè)函數(shù)本身.在應(yīng)用科學(xué)中經(jīng)常把稱為的頻譜.Fourier變換的重要性亦遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出求解偏微分方程的范圍,它在其它應(yīng)用科學(xué)中,如信息論,無線電技術(shù)等學(xué)科中都有著極為廣闊的應(yīng)用.它是近代科學(xué)技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用的重要數(shù)學(xué)工具.定理2.1的證明在經(jīng)典書中都能查到(如姜禮尚,陳亞浙,<<

3、數(shù)學(xué)物理方程講義>>)定理2.2 設(shè)，則是有界連續(xù)函數(shù),且在運(yùn)用Fourier變換求解定解問題以前,我們先來介紹一些Fourier變換的性質(zhì).Fourier變換的性質(zhì)：1.（線性性質(zhì)）若則2.（微商性質(zhì)）若則證明 由假設(shè)故,事實(shí)上由,則,因?yàn)?故有又因,必有.由,利用分部積分公式附注 這個(gè)性質(zhì)說明微商運(yùn)算經(jīng)Fourier變換轉(zhuǎn)化為乘積運(yùn)算,因此利用Fourier變換可把常系數(shù)微分方程簡(jiǎn)化為函數(shù)方程,或把偏微分方程簡(jiǎn)化為常微分方程,正是由于這個(gè)原因,Fourier變換成為解微分方程的重要工具.3.（乘多項(xiàng)式）若則有.證明 由于,故是的連續(xù)可微函數(shù),且有附注 作為性質(zhì)2,3的推論,若則

4、若則4（平移性質(zhì)）若則證明5.（伸縮性質(zhì)）若則證明 無妨設(shè)由定義6.（對(duì)稱性質(zhì)）若則 證明7.（卷積定理）若稱為與的卷積,則,且有證明 由積分交換次序定理故,又由積分交換次序定理下面作為例子,我們根據(jù)Fourier變換的定義與性質(zhì)求一些具體函數(shù)的Fourier變換.例1 設(shè) ,(其中常數(shù)).求.解 由定義.例2 設(shè),求.例3 設(shè)求.例4 設(shè)求 ，上面最后一個(gè)等式應(yīng)用了性質(zhì)3. 因?yàn)樽鳛榈暮瘮?shù)適合下面常微分方程初值問題：,解之得.例5 設(shè)（）,求.由性質(zhì)5.例6 ().,于是,因?yàn)?所以.最后我們簡(jiǎn)單地介紹一些有關(guān)多維Fourier變換的基本知識(shí)定義2.2 設(shè)那么積分,有意義,稱為的Fourie

5、r變換,稱為的Fourier變式.定理2.2（反演公式）若,則有.稱為的Fourier逆變換.定理2.2表明容易證明關(guān)于一維Fourier變換的性質(zhì)17對(duì)于多維Fourier變換依然成立.根據(jù)上面Fourier變換的定義,我們還有下面的結(jié)論：8. 若其中則有 （2.5）利用這一性質(zhì),我們可求出函數(shù)的Fourier變式.事實(shí)上,.2.2 Poisson公式在這一小節(jié)中我們應(yīng)用Fourier變換解初值問題 （2.6）在方程（2.6）兩邊關(guān)于變量作Fourier變換, ,利用性質(zhì)1和性質(zhì)2,得到其中 ,.解之得,現(xiàn)在對(duì)上式兩邊求反演,由反演公式,得 （2.7）由取則,即,令,從而有 （2.8）同理我

6、們有 （2.9）于是得在一定條件下,可以證明上述表達(dá)式的函數(shù)是方程問題的解.定理2.3 若,且有界,則在上連續(xù),且在上具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是問題的解, 即滿足方程和.特別說明：當(dāng)連續(xù),是某些無界函數(shù)時(shí),的表達(dá)式亦是解（無界時(shí)，也可以是解）.例1 求解解 1、直接觀察是解.2、, .例2求初值問題的解.例3求初值問題的解.解1 直接觀察 2. 從這幾個(gè)實(shí)例上,更直觀明顯的證明求解公式的正確,對(duì)模型方程的正確性,提供保證.定理 設(shè)在上連續(xù)且有界，在上連續(xù)且有界，令 ，其中常數(shù)，則有；問題的解。證明 由于，利用控制收斂定理，得； ；，顯然成立，結(jié)論得證。定理 假設(shè)函數(shù)，關(guān)于都是解析的，則問題的解

7、可以寫成其中和分別是和關(guān)于的階導(dǎo)數(shù)。證明：。例 求解定解問題其中是常數(shù)。解 方法一：； 方法二：。解的性質(zhì)與物理解釋（對(duì)齊次方程1.（奇偶性與周期性）若是奇（偶,周期為的）函數(shù),則解亦是的奇（偶,周期為的）函數(shù).2.（無限傳播速度）如果桿的初始溫度只在小段上不為零,不妨假設(shè),即,其它處.那么當(dāng),桿上各點(diǎn)的溫度也就是說在頃刻之間,熱量就傳遞到桿上的任意一點(diǎn),當(dāng)然在附近的點(diǎn)所受到的影響較大（來定）,而離較遠(yuǎn)的點(diǎn)受到的影響較小.這與我們知道的物理現(xiàn)象一致.初值問題解的漸近性態(tài)討論當(dāng)時(shí),熱傳導(dǎo)方程初值問題解的漸近性態(tài).由前面的討論可知,當(dāng)為有界連續(xù)函數(shù)時(shí),熱傳導(dǎo)方程的初值問題的解的唯一性,由下列Possion積分給出.為了討論解的漸近性態(tài),還需要對(duì)加進(jìn)一步的條件.如果收斂,則稱并記.定理2.4設(shè)是有界連續(xù)函數(shù),且則