浙江省紹興一中高二下期末數(shù)學(xué)試卷解析

1、2015-2016學(xué)年浙江省紹興一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)z=1i，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）AabcBacbCbacDbca3已知函數(shù)f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，則函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的大致圖象為（）ABCD4一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75、距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為（）A海里/時(shí)B34海里/時(shí)C海里/時(shí)D34海里/時(shí)5

2、已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+）（|），若，則f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以是（）ABCD6已知點(diǎn)F是雙曲線=1（a0，b0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是左頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于點(diǎn)A，若tanAEF1，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，2+）7若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì)下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x38已知函數(shù)f（x）（xR）是以4為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x（0，2）時(shí)，f（x）=ln（x2x+b）若函數(shù)f（x）在區(qū)間2，2上有

3、5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A1b1BbC1b1或b=Db1或b=二、填空題：本大題共7小題，每題4分，共28分9函數(shù)y=cos2x+sinxcosx的最小正周期是，最小值是10若拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)在直線x+y3=0上，則實(shí)數(shù)p=；拋物線C的準(zhǔn)線方程為11在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，b=，B=60，則ABC的面積為12已知是第四象限角，且sin（+）=，則sin=tan（）=13在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影若點(diǎn)P（1，0）在直線axya2=0上的投影是Q，則Q的軌跡方程是14已知f（x）=，則 fxR時(shí)，如果函數(shù)

4、f（x）g（x）恒成立，那么稱函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的“優(yōu)越函數(shù)”若函數(shù)f（x）=2x2+x+2|2x+1|是函數(shù)g（x）=|xm|的“優(yōu)越函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是三、解答題：本大題共5小題，共48分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16設(shè)函數(shù)y=lg（x2+4x3）的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=，x（0，m）的值域?yàn)锽（1）當(dāng)m=2時(shí)，求AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍17設(shè)ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知（2bc）cosA=acosC（1）求A；（2）若a=1，求b+c的取值范圍18已知橢圓E： +=1（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸

5、的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P（，）在橢圓E上（）求橢圓E的方程；（）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MAMB=MCMD19已知函數(shù)f（x）=kx+log2（4x+1）（kR）是偶函數(shù)（）求k的值；（）設(shè)函數(shù)g（x）=log2（a2x4a），其中a0若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍20已知函數(shù)f（x）=lnxx2，g（x）=x2+x，mR，令F（x）=f（x）+g（x）（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若關(guān)于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整數(shù)m的最小值；（）若m=1，且正

6、實(shí)數(shù)x1，x2滿足F（x1）=F（x2），求證：x1+x212015-2016學(xué)年浙江省紹興一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的1復(fù)數(shù)z=1i，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義即可得出【解答】解：復(fù)數(shù)z=1i，=2i=，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為第四象限故選D2設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）AabcBacbCbacDbca【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值【分析】利用指數(shù)函數(shù)

7、和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論【解答】解：，0log321，lg（sin2）lg1=0a1，0c1，b0bca故選B3已知函數(shù)f（x）=x2+2，g（x）=log2|x|，則函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的大致圖象為（）ABCD【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的變化趨勢(shì)，即可判斷【解答】解：f（x）=x2+2=f（x），g（x）=log2|x|=g（x），F(xiàn)（x）=f（x）g（x）=f（x）g（x）=F（x），函數(shù)F（x）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x+時(shí)，f（x），g（x）+，當(dāng)x+時(shí)，F(xiàn)（x），故選：B4一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75、距塔68海里

8、的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為（）A海里/時(shí)B34海里/時(shí)C海里/時(shí)D34海里/時(shí)【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用【分析】根據(jù)題意可求得MPN和，PNM進(jìn)而利用正弦定理求得MN的值，進(jìn)而求得船航行的時(shí)間，最后利用里程除以時(shí)間即可求得問題的答案【解答】解：由題意知MPN=75+45=120，PNM=45在PMN中，由正弦定理，得=，MN=68=34又由M到N所用時(shí)間為1410=4（小時(shí)），船的航行速度v=（海里/時(shí)）；故選A5已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+）（|），若，則f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以是（）ABCD【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性【分析】由正弦函數(shù)最值的

9、結(jié)論，得x=是方程2x+=+2k的一個(gè)解，結(jié)合|得=，所以f（x）=2sin（2x+），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為+k， +k（kZ），對(duì)照各選項(xiàng)可得本題答案【解答】解：當(dāng)x=時(shí)，f（x）=2sin（2x+）有最小值為2x=是方程2x+=+2k的一個(gè)解，得=+2k，（kZ）|，取k=0，得=因此函數(shù)表達(dá)式為：f（x）=2sin（2x+）令+2k2x+2k，得+kx+k，（kZ）取k=0，得f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是故選：D6已知點(diǎn)F是雙曲線=1（a0，b0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)E是左頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于點(diǎn)A，若tanAEF1，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（

10、）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，2+）【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】由題意可得E（a，0），F(xiàn)（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入雙曲線的方程可得|AF|，再由正切函數(shù)的定義，解不等式結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍【解答】解：由題意可得E（a，0），F(xiàn)（c，0），|EF|=a+c，令x=c，代入雙曲線的方程可得y=b=，在直角三角形AEF中，tanAEF=1，可得b2a（c+a），由b2=c2a2=（ca）（c+a），可得caa，即c2a，可得e=2，但e1，可得1e2故選：B7若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y=

11、f（x）具有T性質(zhì)下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【分析】若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為1，進(jìn)而可得答案【解答】解：函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為1，當(dāng)y=sinx時(shí)，y=cosx，滿足條件；當(dāng)y=lnx時(shí)，y=0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=ex時(shí)，y=ex0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=x3時(shí)，y=3x20恒成立

12、，不滿足條件；故選：A8已知函數(shù)f（x）（xR）是以4為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x（0，2）時(shí)，f（x）=ln（x2x+b）若函數(shù)f（x）在區(qū)間2，2上有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A1b1BbC1b1或b=Db1或b=【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的周期性【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的周期性，可得0、2是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，將函數(shù)f（x）在區(qū)間2，2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x（0，2）時(shí)，x2x+b0恒成立，且x2x+b=1在（0，2）有一解，由此構(gòu)造關(guān)于b的不等式組，解不等式組可得實(shí)數(shù)b的取值范圍【解答】解：由題意知，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，即0是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)

13、，因?yàn)閒（x）是定義在R上且以4為周期的周期函數(shù)，所以f（2）=f（2），且f（2）=f（2），則f（2）=f（2）=0，即2也是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間2，2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，且當(dāng)x（0，2）時(shí)，f（x）=ln（x2x+b），所以當(dāng)x（0，2）時(shí)，x2x+b0恒成立，且x2x+b=1在（0，2）有一解，即或，解得b1或b=，故選：D二、填空題：本大題共7小題，每題4分，共28分9函數(shù)y=cos2x+sinxcosx的最小正周期是，最小值是【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象【分析】利用二倍角公式及輔助角公式將y化簡(jiǎn)，由周期公式及正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得y的最小正周期

14、及最小值【解答】解：y=cos2x+sinxcosx，=（2cos2x1）+2sinxcosx+，=cos2x+sin2x+，=sin（2x+）+，y的最小正周期T=，當(dāng)2x+=2k時(shí)，sin（2x+）取最小值為1y的最小值為ymin=1+=，故答案為：，10若拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)在直線x+y3=0上，則實(shí)數(shù)p=6；拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=3【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與拋物線的位置關(guān)系【分析】求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出p，即可得到拋物線的準(zhǔn)線方程【解答】解：直線x+y3=0，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），可得p=6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

15、：y2=12x，它的準(zhǔn)線方程為：x=3故答案為：6；x=311在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，b=，B=60，則ABC的面積為【考點(diǎn)】正弦定理【分析】由條件利用余弦定理求得c的值，再根據(jù)ABC的面積為acsinB計(jì)算求得結(jié)果【解答】解：在ABC中，a=2，b=，B=60，則由余弦定理可得b2=7=a2+c22accosB=4+c22c，解得c=3，或c=1（舍去）故ABC的面積為acsinB=23=，故答案為：12已知是第四象限角，且sin（+）=，則sin=tan（）=【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求co

16、s（+）的值，進(jìn)而可求sin，cos，tan的值，從而利用兩角差的正切函數(shù)公式即可解得得解tan（）的值【解答】解：因?yàn)椋菏堑谒南笙藿?，所以：，解得：，可得：sin=，所以：，所以：故答案為：，13在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影若點(diǎn)P（1，0）在直線axya2=0上的投影是Q，則Q的軌跡方程是x2+（y+1）2=2【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】直線axya2=0恒過定點(diǎn)M（1，2），PQ垂直直線axya2=0，故PQM為直角三角形，Q的軌跡是以PM為直徑的圓【解答】解：直線axya2=0恒過定點(diǎn)M（1，2）點(diǎn)P（1，0）在直線axya2=0上的射影是QPQ直線l

17、，故PQM為直角三角形，Q的軌跡是以PM為直徑的圓Q的軌跡方程是x2+（y+1）2=2故答案為：x2+（y+1）2=214已知f（x）=，則 f是周期為6的周期函數(shù)，進(jìn)而可得答案【解答】解：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=f（x1）f（x2），f（x1）=f（x2）f（x3），得出f（x）=f（x3），可得f（x+6）=f（x），所以周期是6所以f=f（0），=201=故答案為：15xR時(shí)，如果函數(shù)f（x）g（x）恒成立，那么稱函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的“優(yōu)越函數(shù)”若函數(shù)f（x）=2x2+x+2|2x+1|是函數(shù)g（x）=|xm|的“優(yōu)越函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題【分析】根據(jù)“優(yōu)

18、越函數(shù)”的定義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可【解答】解：若函數(shù)f（x）=2x2+x+2|2x1|是函數(shù)g（x）=|xm|的“優(yōu)越函數(shù)”，則等價(jià)于2x2+x+2|2x+1|xm|對(duì)xR恒成立f（x）=2x2+x+2|2x+1|=，分別作出函數(shù)f（x）=2x2+x+2|2x1|和G（x）=|xm|當(dāng)xm時(shí)，G（x）=xm，當(dāng)xm時(shí)，G（x）=x+m，由圖象知，當(dāng)G（x）=xm與f（x）=2x2x+1相切時(shí)，由2x2x+1=xm，即2x22x+1+m=0，由判別式=442（1+m）=48（1+m）=0得m=，當(dāng)G（x）=x+m與f（x）=2x2+3x+3相切時(shí)，由2x2+3x+3=

19、x+m，即2x2+4x+3m=0，由判別式=1642（3m）=0得m=1，當(dāng)G（x）=x+m與f（x）=2x2x+1相切時(shí)，由2x2x+1=x+m，即2x2+1m=0，由判別式=042（1m）=0得m=1，綜上若函數(shù)f（x）=2x2+x+2|2x+1|是函數(shù)g（x）=|xm|的“優(yōu)越函數(shù)”，則故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共48分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16設(shè)函數(shù)y=lg（x2+4x3）的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=，x（0，m）的值域?yàn)锽（1）當(dāng)m=2時(shí)，求AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；對(duì)數(shù)函數(shù)的

20、定義域【分析】（1）先求出A=（1，3），再求出B=（，2），取交集即可；（2）根據(jù)：“xA”是“xB”的必要不充分條件，得不等式解出即可【解答】解：（1）由x2+4x30，解得：1x3，A=（1，3），又函數(shù)y=在區(qū)間（0，m）上單調(diào)遞減，y（，2），即B=（，2），當(dāng)m=2時(shí)，B=（，2），AB=（1，2）；（2）首先要求m0，而“xA”是“xB”的必要不充分條件，BA，即（，2）（1，3），從而1，解得：0m117設(shè)ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知（2bc）cosA=acosC（1）求A；（2）若a=1，求b+c的取值范圍【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由（

21、2bc）cosA=acosC，利用正弦定理可得：2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，化為2sinBcosA=sinB，可得cosA=，即可得出A（2）由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，化簡(jiǎn)再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解：（1）由（2bc）cosA=acosC，利用正弦定理可得：2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，化為2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，sinB0，可得cosA=，A（0，），A=（2）由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccos，化為1=

22、（b+c）23bc（b+c）2=，b+c1當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)解得1b+c2，b+c的取值范圍是（1，218已知橢圓E： +=1（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P（，）在橢圓E上（）求橢圓E的方程；（）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MAMB=MCMD【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（）由題意可得a=2b，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求得a，b得答案；（）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)及AB中點(diǎn)坐標(biāo)，得到OM所在直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立，

23、求出C，D的坐標(biāo)，把MAMB化為，再由兩點(diǎn)間的距離公式求得MCMD的值得答案【解答】（）解：如圖，由題意可得，解得a2=4，b2=1，橢圓E的方程為；（）證明：設(shè)AB所在直線方程為y=，聯(lián)立，得x2+2mx+2m22=0=4m24（2m22）=84m20，即設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則，|AB|=x0=m，即M（），則OM所在直線方程為y=，聯(lián)立，得或C（，），D（，）則MCMD=而MAMB=（105m2）=MAMB=MCMD19已知函數(shù)f（x）=kx+log2（4x+1）（kR）是偶函數(shù)（）求k的值；（）設(shè)函數(shù)g（x）=log2（a2x4a），其中a0若函數(shù)f（

24、x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【分析】（）根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，利用f（1）=f（1），求出k的值；（）a0時(shí)，函數(shù)g（x）的定義域是（2，+），轉(zhuǎn)化為方程f（x）=g（x）在（2，+）上有且只有一解，構(gòu)造函數(shù)，討論a的取值，求出滿足條件a的取值范圍即可【解答】解：（）函數(shù)f（x）=kx+log2（4x+1）是R上的偶函數(shù)，f（1）=f（1），即k+log2（41+1）=k+log2（4+1），2k=log25log2=2，解得k=1；（）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g（x）=log2（a2x4a）的定義域是（2，+），由題意知，x+log

25、2（4x+1）=log2（a2x4a）在（2，+）上有且只有一解，即方程=a2x4a在（2，+）內(nèi)只有一解；令2x=t，則t4，因而等價(jià)于關(guān)于t的方程（a1）t24at1=0在（4，+）上只有一解；設(shè)h（t）=（a1）t24at1，當(dāng)a=1時(shí)，解得t=（4，+），不合題意；當(dāng)0a1時(shí)，h（t）的對(duì)稱軸t=0，故h（t）在（0，+）上單調(diào)遞減，而h（0）=1，方程（a1）t24at1=0在（4，+）上無解；當(dāng)a1時(shí)，h（t）的對(duì)稱軸t=0，故只需h（4）0，即16（a1）16a10，此不等式恒成立；綜上，a的取值范圍是（1，+）20已知函數(shù)f（x）=lnxx2，g（x）=x2+x，mR，令F（x）=f（x）+g（x）（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若關(guān)于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整數(shù)m的最小值；（）若m=1，且正實(shí)數(shù)x1，x2滿足F（x1）=F（x2），求證：x1+x21【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【分