橢圓中常見最值問題

1、橢圓中的常見最值問題 1、橢圓上的點P到二焦點的距離之積取得最大值的點是橢圓短軸的端點，取得最小值的點在橢圓長軸的端點。例1、橢圓上一點到它的二焦點的距離之積為，則取得的最大值時，P點的坐標是 。P（0，3）或（0，-3）例2、已知橢圓方程（）p為橢圓上一點，是橢圓的二焦點，求的取值范圍。分析：，當(dāng)時，=，當(dāng)時，即2、橢圓上到的橢圓內(nèi)一個定點的距離與它到焦點距離之差取得最大值或最小值的點是這個定點與焦點連線延長線或反向延長線與橢圓的交點,最大值、最小值分別是定點到該焦點的距離和其相反數(shù)。例3、已知，、是橢圓的左右焦點，P為橢圓上一動點，則的最大值是 ，此時P點坐標為 。的最小值是 ，此時P點坐

2、標為 。3、橢圓上到橢圓內(nèi)定點的距離與它到橢圓的一個焦點的距離之和取得最小值或最大值的點是另一焦點與定點連線的延長線或反向延長線與橢圓的交點。例4、已知，是橢圓的左焦點，P為橢圓上一動點，則的最小值是 ，此時P點坐標為 。的最大值是 ，此時P點坐標為 。分析：，當(dāng)P是的延長線與橢圓的交點時取等號。，當(dāng)P是的反向延長線與橢圓的交點時取等號。4、橢圓上的點P到定點A的距離與它到橢圓的一個焦點F的距離的倍的和的最小值（為橢圓的離心率），可通過轉(zhuǎn)化為（為P到相應(yīng)準線的距離）最小值，取得最小值的點是A到準線的垂線與橢圓的交點。例5、已知定點，點F為橢圓的右焦點，點M在該橢圓上移動，求的最小值，并求此時M

3、點的坐標。例6、已知點橢圓及點，為橢圓上一個動點，則的最小值是 。5、以過橢圓中心的弦的端點及橢圓的某一焦點構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點與該焦點構(gòu)成的三角形。例7、過橢圓（）的中心的直線交橢圓于兩點，右焦點，則的最大面積是 。例8、已知F是橢圓的一個焦點，PQ是過原點的一條弦，求面積的最大值。6、橢圓上的點與橢圓二焦點為頂點的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個端點與橢圓二焦點為頂點的三角形。例9、P為橢圓（）一點，左、右焦點為，則的最大面積是 。7、橢圓上的點與橢圓長軸的端點為頂點的面積最大的三角形是短軸的一個端點和長軸兩個端點為頂點的三角形。例10、已知A是橢圓的長軸一個端點，PQ是過原

4、點的一條弦，求面積的最大值。8、橢圓上的點到坐標軸上的定點的距離最大值、最小值問題可利用兩點間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。例11、設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，M是OF的中點，P為橢圓上任意一點，求的最大值和最小值。例12、橢圓中心在原點，長軸在軸上，已知點到這個橢圓上的最遠距離是，求橢圓方程。9、橢圓的焦點到橢圓上的距離最近和最遠點是橢圓長軸的兩個端點。為的增函數(shù)，為的減函數(shù)，時，分別取得最大值和最小值。例13、橢圓上的點到右焦點的最大值 ，最小值 。10、橢圓上的點到定直線的距離最近及最遠點分別是與定直線平行的橢圓的兩條切線的切點。例14、已知橢圓，在橢圓上求一點P，是

5、P到直線的距離最小，并求最小值。11、橢圓上的點到與它的兩個焦點連線的最大夾角是它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。范圍大于等于，小于它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。分析：等號成立的條件：，即P點為短軸的端點。例15、已知橢圓C：，兩個焦點為，如果C上有一點Q，使，求橢圓的離心率的取值范圍。例16、如圖所示，從橢圓上一點M向軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，且它的長軸的端點A短軸的端點B的連線AB平行于OM。（1）求橢圓的離心率（2）設(shè)Q為橢圓上任意一點，為橢圓的右焦點，求的范圍。（3）當(dāng)時，延長與橢圓交于另一點，若的面積為，求此橢圓方程。12、橢圓上的點與它長軸的兩個端點的連線的最

6、大夾角是它的短軸的一個端點和長軸的二端點的連線的夾角。范圍為大于，小于它的短軸的一個端點和長軸的二端點的連線的夾角。例17、已知橢圓C：，長軸的兩個端點為A、B，如果C上有一點Q，使，求橢圓的離心率的取值范圍。13、點P在橢圓上，（為常數(shù)）的最大值或最小值分別是直線與橢圓相切時的值。例18、已知點在上的點，則的取值范圍是 。14、點P在橢圓上，（為常數(shù)）的最大值或最小值分別是直線與橢圓相切時的斜率。例19、點在橢圓上，則的最大值 ，最小值 。例20、點在橢圓上，則的最大值 ，最小值 。15、的最大值或最小值是直線與橢圓相切時切線的斜率。例21、求的最大值、最小值16、橢圓的平行弦、過定點弦等弦

7、長最值問題及有關(guān)弦長的最值問題：例22、求直線被橢圓所截得弦長的最大值。例23、四點均在橢圓上，橢圓方程為：，為橢圓在軸正半軸的焦點，已知共線，共線，且，求四邊形面積的最小值。17、利用方程元的范圍求有關(guān)最值問題：例24、已知橢圓方程為，求過點P（0，2）的直線交橢圓于不同兩點A、B，求的取值范圍。18、其它有關(guān)最值例24、為橢圓：上一動點，若為長軸的一個端點，為短軸的一個端點，當(dāng)四邊形面積最大時，求點的坐標。例25、已知橢圓和直線，在上取一點，經(jīng)過點且以橢圓的焦點為焦點作橢圓，當(dāng)在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程。例26、設(shè)橢圓的兩個頂點為，右焦點為，且到直線的距離等于它到原點的距離，求離心率的取值范圍。例27、已知橢圓C：，為其左右焦點，P為橢圓C上一點，軸，且的正切值為（1）求橢圓C的離心率。（2）過焦點的直線與橢圓C交于點，若