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1、第九章歐氏空間習(xí)題一、填空題1設(shè)是一個(gè)歐氏空間,若對(duì)任意,都有,則。2在維歐氏空間中,向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是,那么,。3若是一個(gè)正交矩陣,則方程組的解為 。4.已知三維歐式空間中有一組基,其度量矩陣為,則向量的長(zhǎng)度為。5.設(shè)中的內(nèi)積為,則在此內(nèi)積之下的度量矩陣為 。6設(shè),若與正交,則 。7若歐氏空間在某組基下的度量矩陣為,某向量在此組基下的坐標(biāo)為,則它的長(zhǎng)度為 ,在此基下向量與向量的夾角為 。8在歐氏空間中,若線性相關(guān),且,則 。9是度量陣,則必須滿足條件_。10線性空間在不同基下的過渡陣、線性變換在某組基下的矩陣、歐氏空間的度量陣這三類矩陣中,可以為退化陣的是 。11. 在歐氏空間中,向
2、量,那么=_,=_。12. 兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是_。13. 已知是一個(gè)正交矩陣,那么=_,_。14. 已知為階正交陣,且,則= 。 15. 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 的。16.設(shè),則與的夾角 。17.在維歐氏空間中,級(jí)矩陣是某個(gè)基的度量矩陣的充要條件是 。二、判斷題1在實(shí)線性空間中,對(duì)向量,定義,那么構(gòu)成歐氏空間 ( )2在實(shí)線性空間中,對(duì)于向量,定義,則構(gòu)成歐氏空間。 ( )3是歐氏空間的一組基,對(duì)于中任意向量,均有,(,分別是在此基下的坐標(biāo)),則此基必為標(biāo)準(zhǔn)正交基。 ( )4歐氏空間中的線性變換可以將橢圓映射成圓。 ( )5V與W均歐氏空間且同構(gòu),則它們作為
3、線性空間也必同構(gòu)。 ( )6設(shè)是一個(gè)歐氏空間,則與正交。()7設(shè)是一個(gè)歐氏空間,,并且,則線性無(wú)關(guān)。( )8若都是歐氏空間的對(duì)稱變換,則也是對(duì)稱變換。 ( )9歐氏空間中,為對(duì)稱變換。 ( )10是歐氏空間的線性變換,中向量的夾角為,而的夾角為,則不是的正交變換。 ( )11.是維歐氏空間的一組基,矩陣,其中,則A是正定矩陣。( )12. 歐氏空間中任意一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基 ( )13. 若是正交變換,則保持向量的內(nèi)積不變 ( )14. 正交矩陣的行列式等于1 ( )15. 歐氏空間上的線性變換是對(duì)稱變換的充要條件為關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣。 ( )16. 設(shè)與都是階正交
4、矩陣,則也是正交矩陣。( )17. 在歐氏空間中,若向量與自身正交,則。( )18. 設(shè)是維歐氏空間的正交變換,則在任意基下的矩陣是正交矩陣。( )19. 設(shè)是維歐氏空間的兩個(gè)正交子空間且,則。( )20. 實(shí)對(duì)稱矩陣的任意兩個(gè)特征向量都正交。( )三選擇題1關(guān)于歐幾里得空間,下列說(shuō)法正確的是 ( )(A)任一線性空間都能適當(dāng)定義內(nèi)積成為歐幾里得空間;(B)歐幾里得空間未必是線性空間;(C)歐幾里得空間必為實(shí)數(shù)域上的線性空間;(D)歐幾里得空間可以為有理數(shù)域上的線性空間。2 設(shè)是相互正交的維實(shí)向量,則下列各式中錯(cuò)誤的是 ( )(A) (B) (C) (D)3 對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣,以下結(jié)論正確的是
5、 ( )(A)一定有個(gè)不同的特征根;(B)存在正交矩陣,使成對(duì)角形;(C)它的特征根一定是整數(shù);(D)屬于不同特征根的特征向量必線性無(wú)關(guān),但不一定正交4設(shè)是維歐氏空間的對(duì)稱變換,則 ( )(A)只有一組個(gè)兩兩正交的特征向量; (B)的特征向量彼此正交;(C)有個(gè)兩兩正交的特征向量; (D)有個(gè)兩兩正交的特征向量有個(gè)不同的特征根。5,定義:,則滿足下列何中情況可使作成歐氏空間 ( )(A); (B)是全不為零的實(shí)數(shù);(C)都是大于零的實(shí)數(shù); (D)全是不小于零的實(shí)數(shù)6,為三階實(shí)方陣,定義,下列可使定義作為的內(nèi)積的矩陣是 ( )(A); (B);(C); (D).7若歐氏空間的線性變換關(guān)于的一個(gè)標(biāo)
6、準(zhǔn)正交基矩陣為,則下列正確的是 ( ) (A)是對(duì)稱變換; (B)是對(duì)稱變換且是正交變換;(C)不是對(duì)稱變換; (D)是正交變換。8若是維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱變換,則下列成立的選項(xiàng)是 ( )(A)關(guān)于的僅一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是對(duì)稱矩陣;(B)關(guān)于的任意基的矩陣都是對(duì)稱矩陣;(C)關(guān)于的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣都是對(duì)稱矩陣;(D)關(guān)于的非標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣一定不是對(duì)稱矩陣。9若是維歐氏空間的對(duì)稱變換,則有 ( )(A)一定有個(gè)兩兩不等的特征根; (B)一定有個(gè)特征根(重根按重?cái)?shù)算);(C)的特征根的個(gè)數(shù); (D)無(wú)特征根。10,如下定義實(shí)數(shù)中做成內(nèi)積的是() (A); (B);(C); (D).11.
7、若線性變換與是( ),則的象與核都是的不變子空間?;ツ娴?可交換的 不等的 D. 不可換的12. 設(shè)是維歐氏空間,那么中的元素具有如下性質(zhì)( )若; 若;若; D.若。13. 歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是( ); ; D. ;。14. 設(shè)是歐氏空間的線性變換,那么是正交變換的必要非充分條件是( )保持非零向量的夾角; 保持內(nèi)積; 保持向量的長(zhǎng)度; D. 把標(biāo)準(zhǔn)正交基映射為標(biāo)準(zhǔn)正交基。15. 為階正交方陣,則為可逆矩陣 B. 秩 C. D.16. 下列說(shuō)法正確的是( )A. 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交;B. 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于相同特征值的特征向量必不正交; C. 實(shí)對(duì)稱矩陣的所有特征向
8、量都正交; D. 以上都不對(duì)。17. 維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基( ).A. 不存在 B. 存在不唯一; C. 存在且唯一; D. 不一定存在。18. 若是實(shí)正交陣,則下列說(shuō)法不正確的是( )。(A) (B) (C) (D)。四、計(jì)算題 1已知。求正交矩陣,使成對(duì)角形。2已知二次型,問(1)為何值時(shí)二次型是正定的?(2)取,用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。3已知二次型,通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+2y22+5y32,求及所用的正交變換的矩陣。(04xd2b)4設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,其特征值l1= -1, l2=l3=1,已知屬于l1的特征向量a1=(0,1,1),求 A。計(jì)算04xd2b)5
9、在0,2上所有連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成的歐氏空間中,判斷:對(duì)任意正整數(shù)n,集合 是否正交向量組。6歐氏空間中,定義內(nèi)積,求其在基(1,0),(0,1)下的度量陣。并求一組基,使得在此基下的矩陣為對(duì)角陣,且在此基下所有向量的長(zhǎng)度不變。說(shuō)明為什么對(duì)角陣不是單位矩陣。7將二次曲面通過正交變換和平移變成標(biāo)準(zhǔn)形式。8設(shè)歐氏空間的線性變換為問:是否為的對(duì)稱變換?若是,求出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,使在這個(gè)基下的矩陣為對(duì)角形矩陣。 9. 把向量組,擴(kuò)充成中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。10. 設(shè)為的基,且線性變換在此基下的矩陣為(1)求的特征值與特征向量;(2)是否可以對(duì)角化?如果可以,求正交矩陣使得為對(duì)角形五、證明題1設(shè),為同級(jí)的正交矩陣,且,證明:2設(shè)是歐氏空間的線性變換,且證明:是的對(duì)稱變換。3證明:維歐氏空間與同構(gòu)的充要條件是,存在雙射,并且有4設(shè)與為歐氏空間的兩組向量。證明:如果,,則子空間與同構(gòu)。5證明:在一個(gè)歐氏空間里,對(duì)于任意向量,以下等式成立:(1);(2)在解析幾何里,等式(1)
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