歐氏空間習(xí)題

1、第九章歐氏空間習(xí)題一、填空題1設(shè)是一個(gè)歐氏空間，若對(duì)任意，都有，則。2在維歐氏空間中，向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是，那么，。3若是一個(gè)正交矩陣，則方程組的解為 。4.已知三維歐式空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長(zhǎng)度為。5.設(shè)中的內(nèi)積為，則在此內(nèi)積之下的度量矩陣為 。6設(shè)，若與正交，則 。7若歐氏空間在某組基下的度量矩陣為，某向量在此組基下的坐標(biāo)為,則它的長(zhǎng)度為 ，在此基下向量與向量的夾角為 。8在歐氏空間中，若線性相關(guān)，且，則 。9是度量陣，則必須滿足條件_。10線性空間在不同基下的過渡陣、線性變換在某組基下的矩陣、歐氏空間的度量陣這三類矩陣中，可以為退化陣的是 。11. 在歐氏空間中，向

2、量，那么=_，=_。12. 兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是_。13. 已知是一個(gè)正交矩陣，那么=_，_。14. 已知為階正交陣，且，則= 。 15. 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征根的特征向量是彼此 的。16.設(shè)，則與的夾角 。17.在維歐氏空間中，級(jí)矩陣是某個(gè)基的度量矩陣的充要條件是 。二、判斷題1在實(shí)線性空間中，對(duì)向量，定義，那么構(gòu)成歐氏空間 （ ）2在實(shí)線性空間中，對(duì)于向量，定義，則構(gòu)成歐氏空間。 （ ）3是歐氏空間的一組基，對(duì)于中任意向量，均有，（，分別是在此基下的坐標(biāo)），則此基必為標(biāo)準(zhǔn)正交基。 （ ）4歐氏空間中的線性變換可以將橢圓映射成圓。 （ ）5V與W均歐氏空間且同構(gòu)，則它們作為

3、線性空間也必同構(gòu)。 ( )6設(shè)是一個(gè)歐氏空間，則與正交。（）7設(shè)是一個(gè)歐氏空間，,并且，則線性無(wú)關(guān)。（ ）8若都是歐氏空間的對(duì)稱變換，則也是對(duì)稱變換。 （ ）9歐氏空間中，為對(duì)稱變換。 （ ）10是歐氏空間的線性變換，中向量的夾角為，而的夾角為，則不是的正交變換。 （ ）11.是維歐氏空間的一組基，矩陣，其中，則A是正定矩陣。( )12. 歐氏空間中任意一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基 （ ）13. 若是正交變換，則保持向量的內(nèi)積不變 （ ）14. 正交矩陣的行列式等于1 （ ）15. 歐氏空間上的線性變換是對(duì)稱變換的充要條件為關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣。 （ ）16. 設(shè)與都是階正交

4、矩陣，則也是正交矩陣。（ ）17. 在歐氏空間中，若向量與自身正交，則。( )18. 設(shè)是維歐氏空間的正交變換，則在任意基下的矩陣是正交矩陣。( )19. 設(shè)是維歐氏空間的兩個(gè)正交子空間且，則。( )20. 實(shí)對(duì)稱矩陣的任意兩個(gè)特征向量都正交。( )三選擇題1關(guān)于歐幾里得空間，下列說(shuō)法正確的是 （ ）(A)任一線性空間都能適當(dāng)定義內(nèi)積成為歐幾里得空間；(B)歐幾里得空間未必是線性空間；(C)歐幾里得空間必為實(shí)數(shù)域上的線性空間；(D)歐幾里得空間可以為有理數(shù)域上的線性空間。2 設(shè)是相互正交的維實(shí)向量，則下列各式中錯(cuò)誤的是 （ ）（A） （B） (C) （D）3 對(duì)于階實(shí)對(duì)稱矩陣，以下結(jié)論正確的是

5、 （ ）（A）一定有個(gè)不同的特征根；（B）存在正交矩陣，使成對(duì)角形；（C）它的特征根一定是整數(shù)；（D）屬于不同特征根的特征向量必線性無(wú)關(guān)，但不一定正交4設(shè)是維歐氏空間的對(duì)稱變換，則 （ ）（A）只有一組個(gè)兩兩正交的特征向量； （B）的特征向量彼此正交；（C）有個(gè)兩兩正交的特征向量； （D）有個(gè)兩兩正交的特征向量有個(gè)不同的特征根。5，定義：，則滿足下列何中情況可使作成歐氏空間 （ ）（A）； （B）是全不為零的實(shí)數(shù)；（C）都是大于零的實(shí)數(shù)； （D）全是不小于零的實(shí)數(shù)6，為三階實(shí)方陣，定義，下列可使定義作為的內(nèi)積的矩陣是 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）.7若歐氏空間的線性變換關(guān)于的一個(gè)標(biāo)

6、準(zhǔn)正交基矩陣為，則下列正確的是 （ ） （A）是對(duì)稱變換； （B）是對(duì)稱變換且是正交變換；（C）不是對(duì)稱變換； （D）是正交變換。8若是維歐氏空間的一個(gè)對(duì)稱變換，則下列成立的選項(xiàng)是 （ ）（A）關(guān)于的僅一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是對(duì)稱矩陣；（B）關(guān)于的任意基的矩陣都是對(duì)稱矩陣；（C）關(guān)于的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣都是對(duì)稱矩陣；（D）關(guān)于的非標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣一定不是對(duì)稱矩陣。9若是維歐氏空間的對(duì)稱變換，則有 （ ）（A）一定有個(gè)兩兩不等的特征根； （B）一定有個(gè)特征根（重根按重?cái)?shù)算）；（C）的特征根的個(gè)數(shù)； （D）無(wú)特征根。10，如下定義實(shí)數(shù)中做成內(nèi)積的是（） （A）； （B）；（C）； （D）.11.

7、若線性變換與是（ ），則的象與核都是的不變子空間?；ツ娴?可交換的 不等的 D. 不可換的12. 設(shè)是維歐氏空間，那么中的元素具有如下性質(zhì)（ ）若； 若；若； D.若。13. 歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基是（ ）； ； D. ；。14. 設(shè)是歐氏空間的線性變換，那么是正交變換的必要非充分條件是（ ）保持非零向量的夾角； 保持內(nèi)積； 保持向量的長(zhǎng)度； D. 把標(biāo)準(zhǔn)正交基映射為標(biāo)準(zhǔn)正交基。15. 為階正交方陣，則為可逆矩陣 B. 秩 C. D.16. 下列說(shuō)法正確的是( )A. 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必正交;B. 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于相同特征值的特征向量必不正交; C. 實(shí)對(duì)稱矩陣的所有特征向

8、量都正交; D. 以上都不對(duì)。17. 維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基( ).A. 不存在 B. 存在不唯一; C. 存在且唯一; D. 不一定存在。18. 若是實(shí)正交陣，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）。(A) (B) (C) (D)。四、計(jì)算題 1已知。求正交矩陣，使成對(duì)角形。2已知二次型，問（1）為何值時(shí)二次型是正定的？（2）取，用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。3已知二次型，通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+2y22+5y32，求及所用的正交變換的矩陣。(04xd2b)4設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值l1= -1, l2=l3=1，已知屬于l1的特征向量a1=(0,1,1)，求 A。計(jì)算04xd2b)5

9、在0,2上所有連續(xù)函數(shù)的全體構(gòu)成的歐氏空間中，判斷：對(duì)任意正整數(shù)n，集合 是否正交向量組。6歐氏空間中，定義內(nèi)積，求其在基（1，0），（0，1）下的度量陣。并求一組基，使得在此基下的矩陣為對(duì)角陣，且在此基下所有向量的長(zhǎng)度不變。說(shuō)明為什么對(duì)角陣不是單位矩陣。7將二次曲面通過正交變換和平移變成標(biāo)準(zhǔn)形式。8設(shè)歐氏空間的線性變換為問：是否為的對(duì)稱變換？若是，求出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使在這個(gè)基下的矩陣為對(duì)角形矩陣。 9. 把向量組，擴(kuò)充成中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。10. 設(shè)為的基，且線性變換在此基下的矩陣為（1）求的特征值與特征向量；（2）是否可以對(duì)角化？如果可以，求正交矩陣使得為對(duì)角形五、證明題1設(shè)，為同級(jí)的正交矩陣，且，證明：2設(shè)是歐氏空間的線性變換，且證明：是的對(duì)稱變換。3證明：維歐氏空間與同構(gòu)的充要條件是，存在雙射，并且有4設(shè)與為歐氏空間的兩組向量。證明:如果，,則子空間與同構(gòu)。5證明:在一個(gè)歐氏空間里,對(duì)于任意向量,以下等式成立:(1)；(2)在解析幾何里,等式(1)