泰勒公式與極值問題

1、§4泰勒公式與極值問題教學計劃：課時教學目的：讓學生掌握多元函數(shù)高階偏導數(shù)的求法；二元函數(shù)的中值定理和泰勒公式；二元函數(shù)取極值的必要和充分條件教學重點：高階偏導數(shù)、泰勒公式和極值的判定條件教學難點：復合函數(shù)高階偏導數(shù)的求法；二元函數(shù)的泰勒公式教學方法：講授法教學步驟：一高階偏導數(shù)由于的偏導函數(shù)仍然是自變量與的函數(shù)，如果它們關于與的偏導數(shù)也存在，則說函數(shù)具有二階偏導數(shù)，二元函數(shù)的二階偏導數(shù)有如下四種情形： 注意 從上面兩個例子看到，這些函數(shù)關于x和y的不同順序的兩個二階偏導數(shù)都相等（這種既有關于x又有關于y的高階偏導數(shù)稱為混合偏導數(shù)），即 但這個結論并不對任何函數(shù)都成立，例如函數(shù) 它的

2、一階偏導數(shù)為 進而求f在（0，0）處關于x和y的兩個不同順序的混合偏導數(shù)，得 由此看到，這里的在原點處的兩個二階混合偏導數(shù)與求導順序有關，那么，在什么條件下混合偏導數(shù)與求導順序無關呢？為此，我們按定義先把表示成極限形式由于 因此有 類似地有 為使成立，必須使這兩個累次極限相等，即以交換累次極限的極限次序.下述定理給出了使極限相等的一個充分條件定理17.7若都在點連續(xù)，則 證令于是有 由于函數(shù)存在關于的偏導數(shù)，所以函數(shù)可導。應用一元函數(shù)的中值定理，有又由存在關于的偏導數(shù)，故對以為自變量的函數(shù)應用一元函數(shù)中值定理，又使上式化為 由則有 (5)如果令 則有 用前面相同的方法，又可得到 （0） （6）

3、當不為零時，由（5），（6）兩式得到 （） （7）由定理假設在點連續(xù)，故當時，(7)式兩邊極限都存在而且相等，這就得到所要證明的(3)式這個定理的結論對元函數(shù)的混合偏導數(shù)也成立。如三元函數(shù)，若下述六個三階混合偏導數(shù) 在某一點都連續(xù)，則在這一點六個混合偏導數(shù)都相等；同樣，若二元函數(shù)在點存在直到階的連續(xù)混合偏導數(shù)，則在這一點階混合偏導數(shù)都與順序無關今后除特別指出外，都假設相應階數(shù)的混合偏導數(shù)連續(xù)，從而混合偏導數(shù)與求導順序無關下面討論復合函數(shù)的高階偏導數(shù)設是通過中間變量而成為的函數(shù)，即其中，若函數(shù)都具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，則作為復合函數(shù)的對同樣存在二階連續(xù)偏導數(shù)。具體計算如下：顯然與仍是的復合函數(shù)，其

4、中是的函數(shù)，是的函數(shù)。繼續(xù)求關于的二階偏導數(shù)同理可得例3設，求，解這里是以和為自變量的復合函數(shù)，它也可以改寫成如下形式： 由復合函數(shù)求導公式有 注意，這里仍是以為中間變量為自變量的復合函數(shù)所以 二中值定理和泰勒公式二元函數(shù)的中值公式和泰勒公式，與一元函數(shù)的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，對于元函數(shù)也有同樣的公式，只是形式上更復雜一些在敘述有關定理之前，先介紹凸區(qū)域的概念若區(qū)域D上任意兩點的連線都含于D，則稱D為凸區(qū)域（圖176）這就是說，若D為凸區(qū)域,則對任意兩點和一切，恒有 定理17.8（中值定理）設二元函數(shù)在凸開域上連續(xù)，在D的所有點內都可微，則對D內任意兩點，存在某，使得(8)證令 它是定義

5、在上的一元函數(shù)，由定理中的條件知在上連續(xù)，在內可微于是根據(jù)一元函數(shù)中值定理，存在使得 （9）由復合函數(shù)的求導法則（10）由于D為凸區(qū)域，所以，故由（9），（10）即得所要證明的（8）式注意若D是閉凸域，且對D上任意兩點及任意，都有則對D上連續(xù)，內可微的函數(shù)，只要，也存在使（8）式成立例如D是圓域，在D上連續(xù)，在內可微，則必有（8）式成立，倘若D是矩形區(qū)域，那就不能保證對D上任意兩點都有（8）式成立（為什么？）公式（8）也稱為二元函數(shù)（在凸區(qū)域上）的中值公式它與定理17.3中值公式(12)相比較,差別在于這里的中值點是在的連線上,而在定理17.3中與可以不相等推論若函數(shù)在區(qū)域D上存在偏導數(shù)，且

6、則在區(qū)域D上為常量函數(shù)請同學們作為練習自行證明（注意本推論與§1習題16(2)兩者證明的差別）定理17.9（泰勒定理）若函數(shù)在點的某鄰域內有直到階的連續(xù)偏導數(shù)，則對內任一點，存在相應的，使得 (11)(11)式稱二元函數(shù)在點的階泰勒公式，其中 證與定理17.8的證明一樣作函數(shù)由定理的假設,一元函數(shù)在上滿足一元函數(shù)泰列定理條件,于是有 (12)應用復合函數(shù)求導法則,可求得的各階導數(shù)： 當時,則有 (13)及 (14)將(13), (14)式代入(12)式就得到所求之泰勒公式(11)易見，中值公式(8)正是泰勒公式(11)在時的特殊情形若在公式(11)中只要求余項，則僅需在內存在直到階連

7、續(xù)偏導數(shù)，便有(15)例求在點(1,4)的泰勒公式（到二階為止），并用它計算(1.08)3.96解由于，因此有 將它們代入泰勒公式(15)，即得 若略去余項，并讓，則有與§1例7的結果相比較，這是更接近于真值(1.356307)的近似值因為微分近似式相當于現(xiàn)在的一階泰勒公式三極值問題多元函數(shù)的極值問題是多元函數(shù)微分學的重要應用，這里仍以二元函數(shù)為例進行討論定義設函數(shù)在點的某鄰域內有定義若對于任何點，成立不等式 則稱函數(shù)在點取得極大（或極?。┲担c稱為的極大（或極?。┲迭c極大值、極小值統(tǒng)稱極值極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值點注意：這里所討論的極值點只限于定義域的內點例5設由定義直接知道，坐

8、標原點是的極小值點，是的極大值點，但不是的極值點這是因為對任何點，恒有；對函數(shù)，恒有;而對于函數(shù),在原點的任意小鄰域內，既含有使的、象限中的點，又含有使的、象限中的點，所以既不是極大值又不是極小值 由定義可見，若在點取得極值，則當固定時，一元函數(shù)必定在取相同的極值上同理，一元函數(shù)在也取相同的極值于是得到二元函數(shù)取極值的必要條件如下：定理17.10（極值必要條件）若函數(shù)在點存在偏導數(shù)，且在取得極值，則有 (16)反之，若函數(shù)在點滿足(16)，則稱點為的穩(wěn)定點定理17.10指出：若存在偏導數(shù)，則其極值點必是穩(wěn)定點。但穩(wěn)定點并不都是極值點，如例5中的函數(shù)，原點為為其穩(wěn)定點，但它在原點并不取得極值與一

9、元函數(shù)的情形相同，函數(shù)在偏導數(shù)不存在的點上也有可能取得極值。例如在原點沒有偏導數(shù)，但是的極小值為了討論二元函數(shù)在點取得極值的充分條件，我們假定具有二階連續(xù)偏導數(shù)，并記 (17)它稱為在的黑賽（）矩陣定理17.11（極值充分條件）設二元函數(shù)在點的某鄰域內具有二階連續(xù)導數(shù)，且是的穩(wěn)定點。則當是正定矩陣時，在取得極小值；當是負定矩陣時，在取得極大值；當是不定矩陣時，在不取極值證由在的二階泰勒公式，并注意到條件，有由于正定，所以對任何，恒使二次型因此存在一個與無關的正數(shù)，使得 從而對于充分小的，只要就有即在點取得極小值同理可證為負定矩陣時，在取得極大值最后，當不定時，在不取極值這是因為倘若取極值（例如

10、取極大值），則沿任何過的直線，在亦取極大值由一元函數(shù)取極值的充分條件是不可能的（否則在將取極小值），故而 這表明必須是負半定的。同理，倘若取極小值，則將導致必須是正半定的。也就是說，當在取極值時，必須時正半定或負半定矩陣，但這與假設相矛盾 根據(jù)正半定或負半定對稱陣所屬主子行列式的符號規(guī)則，定理17.11又可寫成如下比較實用的形式：若函數(shù)如定理17.11所設。是的穩(wěn)定點，則有：()當時，在點取得極小值；()當時，在點取得極大值；()當時，在點不能取得極值；()當時，不能肯定在點是否取得極值例6求的極值解由方程組得的穩(wěn)定點，由于因為在點取得極小值又因處處存在偏導數(shù)，故為的惟一極值點例7討論是否存在

11、極值解由方程組得穩(wěn)定點為原點因，故原點不是的極值點。又因處處可微，所以沒有極值點。例8討論在原點是否取得極值解容易驗證原點是的穩(wěn)定點，且在原點故由定理17.11無法判定在原點是否取到極值但由于當時而當時，（圖177），所以函數(shù)不可能在原點取得極值 由極值的定義還知道，極值只是函數(shù)在某一點的局部性概念要獲得函數(shù)在區(qū)域地D上的最大值和最小值（由上一章知道在有界區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值與最小值），與一元函數(shù)的問題一樣，必須考察函數(shù)在所有穩(wěn)定點、無偏導點以及屬于區(qū)域的界點上的函數(shù)值比較這些值，其中最大者（或最小者）即為函數(shù)在D上的最大（?。┲道?證明：圓的所有外切三角形中，以正三角形的面積為最小證設圓的半徑為任一外切三角形為，三切點處的半徑兩兩相夾的中心角分別為其中（圖178）。容易得出的面積表達式為其中為求得穩(wěn)定點，令在定義域內上述關于的方程組僅有惟一解：為了應用定理17.11，求得在穩(wěn)定點處的二階偏導數(shù)為由于，因此S在此穩(wěn)定點上取得極小值因為面積函數(shù)S在定義域中處處存在偏導數(shù)，又因此時，而具體問題存在最小值，故外三角形中以正三角形的面積為最小例10（最小二乘法問題）設通過觀測或實驗得到一列點。它們大體上在一條直線上，即大體上可用直