泰勒公式的余項及其應用畢業(yè)論文

1、題 目 泰勒公式的余項及其應用 摘 要0Abstract01引言12帶積帶皮亞諾余項的泰勒公式及其的應用12.1帶皮亞諾余項的泰勒公式12.2帶皮亞諾余項的泰勒公式的應用13帶積分型余項的泰勒公式及其應用43.1帶積分型余項的泰勒公式43.2帶積分型余項泰勒公式的應用44帶拉格朗日余項的泰勒公式及其應用54.1帶拉格朗日余項的泰勒公式54.2帶有拉格朗日余項的泰勒公式的應用5結(jié)束語6參考文獻7致謝8摘 要：泰勒公式是高等數(shù)學中一個非常重要的內(nèi)容,它將一些復雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力杠桿. 但一般高數(shù)教材中僅介紹了如何用泰勒公式展

2、開函數(shù)，而對泰勒公式的應用方法并未深入討論，在教學過程中學生常因?qū)W用脫離而難.本文主要介紹了泰勒公式的一些基本內(nèi)容，在某些題目中運用泰勒公式會達到快速解題的目.給出了帶皮亞諾型、拉格朗日型、積分型余項的泰勒公式.并分別例舉這幾種類型的泰勒公式在求極限、估計無窮小(大)量的階、命題證明、定積分計算、近似計算中重要作用.關(guān)鍵詞：泰勒公式；皮亞諾型余項；拉格朗日余項；積分型諾型余項；應用Abstract: Taylor's formula is a very important mathematics content, it said some of the complex function

3、 approximation to a simple polynomial function, which simplify the function of analysis and research to make it a powerful lever for other mathematical problems. but generally only the high number of teaching describes how to start the function with the Taylor formula, while the Taylor formula appro

4、ach does not in-depth discussions, students in the teaching process from the often difficult for learning to use. This paper describes some of the basic content of Taylor's formula, used in some of the topics in the Taylor formula to achieve rapid problem-solving projects. Presented with a Renzo

5、 Piano-based, Lagrangian type, Integral Taylor formula. And were These types of examples in the Limit of the Taylor formula, it is estimated infinitely small (large) amount of the order, the proposition shows that to calculate the approximate calculation an important role. Key words: Taylor formula;

6、 Peano-type remainder; Lagrange remainder; Connaught Type remainder integral; Application.1引言泰勒公式的知識可用于解決很多問題，它是研究代數(shù)、幾何等問題的重要工具.同時泰勒公式在定積分的計算、求近似值、求極限、判斷斂散性、估計無窮（?。┐罅康碾A、命題證明等許多方面扮演著很重要的角色.如文4中介紹了帶拉格朗日型余項的泰勒公式在求近似值中的應用.再如文2中帶皮亞諾型余項的泰勒公式在判別極值方面的應用等等.從大量的應用中發(fā)現(xiàn)很多問題用泰勒公式去解決很容易，也很簡單，同時靈活巧妙的應用泰勒公式卻不容易.當然，不

7、同余項的泰勒公式之間是可以轉(zhuǎn)換的，但是不同的余項在解決不同的類型的問題時都有各自的優(yōu)點.本文主要研究了帶積分型、帶拉格朗日型.帶皮亞諾型的泰勒公式及其應用，針對大多同學反映Taylor公式難以理解和掌握,繼而產(chǎn)生遇Taylor公式焦慮的現(xiàn)象，本文通過對Taylor公式不同余項的應用歸納、總結(jié)，不僅可以幫助學生理解、應用公式及其余項,提高教學效果,同時對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也有一定的積極意義。2帶積帶皮亞諾余項的泰勒公式及其的應用2.1帶皮亞諾余項的泰勒公式定理1 設函數(shù)在點處具有階導數(shù)，則有，其中稱為Peano型余項.注 該定理說明當時用泰勒多項式近似取代時，其誤差是比高階的無窮小.2.2帶皮亞

8、諾余項的泰勒公式的應用帶Peano余項的泰勒公式，因為其Peano余項只是給出其誤差的定性描述，而不是定量計算，于是很多人認為它作用不大，其實它在求極限、求斂散性、估計無窮（小）大量的階級命題證明等方面扮演著很重要的角色，甚至起著不可替代的作用.2.2.1求極限為了簡化極限運算，有時可用某項的泰勒展開式來代替該項，使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項式有理分式的極限，就能簡捷的求出.例1求分析此題分母為，如果用洛比達法則，需連用4次，比較麻煩.而用帶皮亞諾余項的泰勒公式解求較簡單.解 ，所以 ，于是 .帶有佩亞諾型余項的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個非常有力的工具 ,運用得當會使求函數(shù)的極限變得十分簡

9、單.判斷級數(shù)斂散性周知，要使用比較判別法判斷一個正項級數(shù)是否收斂，只要能找到一個相對“比較簡單”的級數(shù)（如），且若，則級數(shù)與有相同的斂散性.若，且級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂.若，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.問題是如何尋找同時求出極限，且希望，利用泰勒公式可以解決.例2討論級數(shù)的斂散性.解 由泰勒展開式得 .選取比較級數(shù)，因為，而級數(shù)收斂，所以由級數(shù)斂散性判別知級數(shù)收斂.2.2.3估計無窮（小）大量的階如何估計無窮（?。┐罅康碾A，對于簡單函數(shù)可以用估猜法，但對于復雜的函數(shù)（特別是帶參數(shù)）就無能為力了，但用帶皮亞諾型余項的泰勒公式就可以迎刃而解.例3當時，函數(shù)是多少階無窮小量？其中是參數(shù).解因為 . .

10、所以.故當時，是2階無窮小量；當時，是4階無窮小量.從例題可以看出用帶皮亞諾型余項的泰勒公式可以很好的解決較為復雜的估計無窮（?。┐罅康碾A.命題證明證明與高階導數(shù)相關(guān)的命題，同時又不需要討論其余項時，帶皮亞諾余項的泰勒公式是一種極為有效的工具.例4證明：若，并且，則.證明因存在，根據(jù)帶有皮亞諾型余項的泰勒公式有： 于是 ，從而 ，令，上式兩邊取極限，得，故.3帶積分型余項的泰勒公式及其應用3.1帶積分型余項的泰勒公式定理2 設函數(shù)在閉區(qū)間上有階連續(xù)函數(shù)， ，則有 ， 其中稱為積分型余項. 3.2帶積分型余項泰勒公式的應用帶積分型余項的泰勒公式在解決一些復雜的定積分計算中能夠簡單、巧妙的的將問題

11、解決.例5計算解設則，由公式有.例6計算.解 .4帶拉格朗日余項的泰勒公式及其應用4.1帶拉格朗日余項的泰勒公式定理3 設函數(shù)在閉區(qū)間上有直到階的連續(xù)導數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)有階導數(shù)，則有 ， 這里的泰勒公式余項稱為拉格朗日余項，其中在與之間.4.2帶有拉格朗日余項的泰勒公式的應用當要求的算式不能得出它的準確值時,即只能求出其近似值,這時泰勒公式是解決這種問題的最好方法.例7計算，使得誤差不超過. 解， ，欲使只需要取，于是.例8計算的值,使誤差不超過0.0001解先寫出帶拉格朗日型余項的麥克勞林展開式：，其中（在與之間）.令,要使.則取即可.因此.結(jié)束語泰勒公式的余項及其應用的研究探討是高等數(shù)學中一

12、個十分重要的課題，研究這個課題的學者很多，我從他們的文獻中獲益匪淺，他們的研究使我學習了解了很多關(guān)于泰勒公式的知識，使我能更好的完成這篇論文.本文主要介紹了帶積分型、拉格朗日型、皮亞諾型余項的泰勒公式，并給出了它在計算定積分、求極限、估計無窮（?。┐罅康碾A、近似計算、命題證明中的應用.目的在于借助泰勒公式的廣泛應用，將泰勒公式的知識應用到數(shù)學解題的各個方面和領域中去，介紹泰勒公式在數(shù)學各方面的應用和解求方法的簡便性.當然，泰勒公式不僅只是在計算定積分、求極限、估計無窮（?。┐罅康碾A、近似計算、命題證明中能解決許多問題，同時也是研究分析數(shù)學的重要工具，也是數(shù)學實際應用中是一種重要的應用工具，因此

13、對于泰勒公式余項及其應用的探究就顯得尤為重要.同時，至于柯西型的泰勒公式的證明及應用本文沒有做討論，需要今后進行不斷探究.參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系編數(shù)學分析（第3版）M北京：高等教育出版社，2001.2 王倩. 帶有皮亞諾型余項的泰勒公式的推廣與應用J .沈陽建筑大學報，2005，（6）:774776.3 金順利. 關(guān)于泰勒公式應用的幾個問題J. 滄州師范?？茖W校學報，2009，25（2）:102104.4 傅秋桃. 談談泰勒公式的幾點應用J. 鄖陽師范高等?？茖W校學報，2006，26（3）:910.5 譚榮. 泰勒公式的應用J. 和田師范專科學校學報，2008，28（1）:190192.6 徐香勤，張小勇.關(guān)于泰勒公式的幾點應用J . 河南教育學院學報，2005，14（2