求不定積分的若干方法

1、四川師范學(xué)院論文淺談求不定積分的若干方法Discuss several ways to seek indefinite integral姓 名： 王秋烈 學(xué) 號(hào)： 2009550065 學(xué) 院： 四川師范學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 楊忠（講師）完成時(shí)間： 2010年12月5日 聲 明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明的引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的作品或成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確的方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）成果是本人

2、在江西師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院讀書(shū)期間在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下取得的，成果歸江西師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院所有。特此聲明。聲明人（畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者）學(xué)號(hào)：2009550065聲明人（畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者）簽名： 簽名日期：11年 03月05日 淺談求不定積分的若干方法王秋烈【摘要】：數(shù)學(xué)分析中，不定積分是求導(dǎo)問(wèn)題的逆運(yùn)算，而且是聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的一條紐帶。為靈活運(yùn)用積分方法求不定積分，本文介紹了求積分的幾種重要方法和常用技巧，討論和分析了求不定積分的幾種方法：直接積分法，換元積分法，分部積分法以及有理函數(shù)積分的待定系數(shù)法，對(duì)于快速求不定積分有重要意義，適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用積分方法求不定積分，才可以簡(jiǎn)捷，準(zhǔn)確?！娟P(guān)鍵

3、詞】：不定積分、換元積分法、分部積分法、待定系數(shù)法Discuss several ways to seek indefinite integral【Abstract】:Mathematical analysis, the indefinite integral derivation problem is the inverse operation, but also to link differential calculus and integral calculus of a tie. Demand for the flexible use of indefinite integral me

4、thod, this article describes the Points of several important methods and commonly used techniques, discussion and analysis of the indefinite integral seeking several ways: direct integral method, integral method substitution, integration by law and justified Function points undetermined coefficient

5、method for the indefinite integral quickly seek significant, appropriate use of seeking indefinite integral method can only be simple and accurate.【Key words】:indefinite integral；integration by substitution；integration by parts；method of undetermined coefficient目錄中文摘要3Abstract41 引言62 直接積分法6 2.1原函數(shù)和不

6、定積分的定義6 2.2直接積分法的運(yùn)用方法63 換元積分法7 3.1 第一換元積分法7 第一換元積分法的定義與分析7 第一換元積分法的運(yùn)用7 3.2 第二換元積分法10 第二換元積分法的定義和分析10 第二換元積分法的運(yùn)用10 3.3 換元積分法中值得注意的問(wèn)題124 分部積分法13 4.1分部積分法的定義和分析13 4.2分部積分法的幾種題型和分部積分法中和的選擇145 有理函數(shù)的不定積分15 5.1 有理函數(shù)的不定積分的定義和分析15 5.2 待定系數(shù)法在不定積分中的運(yùn)用166 小結(jié)17參考文獻(xiàn)201 引言數(shù)學(xué)分析是師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)必修專業(yè)課，微分和積分都是數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)，而不定積分是積分

7、學(xué)的基礎(chǔ)，更是關(guān)鍵，直接關(guān)系到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。其任務(wù)是掌握邏輯思維方法和提高使用數(shù)學(xué)手段解決問(wèn)題的能力。一般地，求不定積分要比求導(dǎo)數(shù)難很多，運(yùn)用積分法則和積分公式只能解決一些簡(jiǎn)單的積分，更多的不定積分要因函數(shù)的不同形式和不同類型選用不同的方法，巧妙運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，可以化難為易，從而簡(jiǎn)單、快捷、準(zhǔn)確的求出不定積分。本文為解決求積分的困難問(wèn)題給出了相應(yīng)的解決方法，幫助理解不定積分。2 直接積分法2.1 原函數(shù)和不定積分的定義 (1) 原函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)f與F在區(qū)間I上都有意義，若F(x)=f(x)，xI，則稱F為f在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。例如：f(x)是R上的一個(gè)原函數(shù)，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)

8、函數(shù)，那么f(x)即為f(x)的原函數(shù)。 注意：初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以均有原函數(shù)。 (2) 不定積分定義： 函數(shù)f在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f在I上的不定積分，記作，其中為積分號(hào)，f(x)是被積函數(shù)，x為積分變量。即=F(x)+C.若F是f的一個(gè)原函數(shù)，則稱y=f(x)的圖像為f的一條積分曲線。即f的不定積分為沿y軸任意平移的曲線族。2.2 直接積分法的運(yùn)用方法 直接積分法就是利用積分公式和積分的基礎(chǔ)性質(zhì)求不定積分的方法。該方法是求不定積分的基本方法，是其它積分方法的基礎(chǔ)，熟練地掌握基本的公式，在記憶基本積分公式時(shí)，一定要把公式的兩邊一起記，這樣就清楚被積函數(shù)變形到怎樣的式子簡(jiǎn)便。 (1)

9、 利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式變?yōu)槎囗?xiàng)式，從而變?yōu)槎鄠€(gè)單項(xiàng)式求積分；例1： (2) 利用代數(shù)公式或三角公式將積商形式的被積函數(shù)化為代數(shù)和的形式，并使每一項(xiàng)都符合積分公式；例2： (3) 對(duì)分式函數(shù)還可以根據(jù)分母的情況，將分子拆項(xiàng)或拼湊，化為幾個(gè)分式的代數(shù)和后再約分，使其符合積分公式； 例3： (4) 對(duì)于含有絕對(duì)值的積分問(wèn)題，要求先處理絕對(duì)值再積分。由此可得，直接積分法使熟練掌握基本公式的基礎(chǔ)。但是，利用積分公式和性質(zhì)，只能求一些簡(jiǎn)單的積分，對(duì)于比較復(fù)雜的積分，需要設(shè)法把它變形為能利用基本積分公式的形式求解積分。3 換元積分法所謂不定積分的換元法，其實(shí)質(zhì)就是：當(dāng)直接求某個(gè)積分有困難時(shí)， ，把原來(lái)的積

10、分轉(zhuǎn)化為對(duì)新變量t的積分。那么，不定積分的換元法有（其逆運(yùn)算）導(dǎo)數(shù)的換元法（即復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法）而來(lái)，它是通過(guò)改變積分變量的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)不定積分問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。不定積分的換元法按照換元前后新舊積分變量的關(guān)系可分為：第一類換元積分法和第二類換元積分法。3.1 第一換元積分法 第一換元積分法的定義與分析第一類換元積分法，其新的積分變量為原積分變量的函數(shù)，即新的微分元為原積分變量函數(shù)的微分。該方法的基本思路是把所求的被積函數(shù)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代入積分公式求出結(jié)果，所以，也稱為“湊微分法”。簡(jiǎn)單的說(shuō)：第一類換元積分法的基本步驟如下： 1那么，該積分的關(guān)鍵是：將被積表達(dá)

11、式湊成兩部分，一部分是復(fù)合函數(shù)，其中外函數(shù)是基本積分公式中的某一被積形式，另一部分是內(nèi)函數(shù)的微分。其根本就是通過(guò)拼湊使原本不能利用公式求的積分變成可應(yīng)用公式求，使用此方法時(shí)，要熟練運(yùn)用，除了要牢固掌握微積分的基本公式以外，還要了解一些常用微分公式。3.1.2 第一換元積分法的運(yùn)用首先，介紹一下基本的一些常微分公式，這些公式對(duì)于求解積分中運(yùn)用換元積分法的題目有重要作用。 (1) 直接“湊”即將被積函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)直接與湊成微分形式；例4：求.分析：其中2x與e湊成微分形式。解：=令u=x 則=e+C將u=x回帶，則e=e,所以= e+C (2) 分部“湊”即被積函數(shù)形式較為復(fù)雜，直接觀察不易湊成

12、微分形式，可先將部分因子化簡(jiǎn)后，分部來(lái)“湊”； 例5：求. 解：由于(1+x)=, (1-x)=- (此類屬于多次湊微分，我們習(xí)慣以x的運(yùn)算模式，現(xiàn)在變成不常見(jiàn)的積分變量，具有一定的迷惑性，要多加小心。) (3) 變形后“湊”即有些積分通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖冃危印p、乘、除某些因子）后，可以使用湊微分法。例6：求不定積分2. 解：利用.將原被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，即： ,就有 注意：湊微分的過(guò)程中要小心系數(shù)的調(diào)整。 這其中在于把被積表達(dá)式f(x)湊成g(x)(x)的形式，以便選取變換u=(x)化為易于積分，最終引入將新變量（u）還原為起始變量（x）。例7：求.分析：=，其中外函數(shù)是冪函數(shù). 解：令u=2

13、-3x，= = =技巧：形如、（mn）可用積化和差公式將其變形為、.例8：求. 解： = = =第一類換元積分法是積分中的基本方法，用處很廣，其中最關(guān)鍵的一步是湊微分，即把被積函數(shù)中的一部分送到微分號(hào)里面，湊成基本公式的形式。拼湊時(shí)，不但要熟悉基本的微分公式，還要經(jīng)過(guò)一些恒等變換，才能真正運(yùn)用湊微分法的內(nèi)涵。3.2 第二換元積分法 第二換元積分法的定義和分析第二類換元積分法，其原積分變量為新的積分變量的函數(shù)。一般地，如果在積分中，令,且可導(dǎo)，(t)0,則有，若該式右端易求出原函數(shù)F(t)，則得第二類換元積分法：。簡(jiǎn)單的說(shuō)，第二類換元積分法的基本步驟： 第二換元積分法的運(yùn)用一般地，被積函數(shù)中含有

14、根式，采用第二換元積分法，目的是去掉根號(hào)。 (1) 簡(jiǎn)單根式代換：，令。 例9：求. 解：令，則得 = 若被積函數(shù)中含有多個(gè)x的n（n為整數(shù)）次方根，這多個(gè)x的n次方根次數(shù)的最小公倍數(shù)是m，則令，那么。3(2) 三角代換即當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)根式、（a>0）時(shí)，可以令x為其一三角函數(shù)，從而使根式有理化。 ，令x= () ，令x= (0) ，令x= ()例10：求. 解：令x= = 通過(guò)上述代換將被積函數(shù)變?yōu)橛欣矸质胶瘮?shù)或三角函數(shù)：a、當(dāng)被積函數(shù)中含有，等因子時(shí)，使用三角代換去掉根號(hào)；b、形如R（、）類型的積分，介紹一種新的方法利用萬(wàn)能公式換元求積分。萬(wàn)能公式為：令，則，這一類的萬(wàn)能公式在運(yùn)用

15、上很廣泛。例11：求. 解：令，則， = = = =萬(wàn)能換元的方法雖然普遍，但計(jì)算量往往比較大，有時(shí)可以根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，做一些變形后進(jìn)行積分。變形的基本思路是：(1) 盡量使分母簡(jiǎn)單，為此或分子分母乘以某個(gè)因子，把分母化為（或）得單項(xiàng)式，或?qū)⒎帜刚麄€(gè)看成一項(xiàng)。(2)盡量使R（、）得冪降低，為此通常利用倍角公式或者積化和差公式以達(dá)目的。 (3) 倒代換即被積函數(shù)的分母中含有根號(hào)時(shí)，有時(shí)會(huì)用到倒代換，形式為的不定積分。 當(dāng)分母中未知量次數(shù)較高時(shí)，通過(guò)變化轉(zhuǎn)換為分子的未知量次數(shù)，就會(huì)有意想不到的結(jié)果，即令。 3.3 換元積分法中值得注意的問(wèn)題 但是，再換元積分法中值得注意的一個(gè)問(wèn)題：4 從原函數(shù)

16、的定義即存在定理知，在北極函數(shù)的連續(xù)區(qū)間的原函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，不應(yīng)是分段連續(xù)函數(shù)，在碰見(jiàn)這一類的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分段處理。對(duì)此，我們解題要加倍小心。如：求，給出一種解法： 解： =· 在其中，被積函數(shù)的定義域是（），二 上述兩種情況是在假定x的情況下計(jì)算出來(lái)的，因此，所得結(jié)果只能在內(nèi)成立，如果把所求的結(jié)果當(dāng)作在（）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，那么它在x=0處就間斷，因而就是一個(gè)分段連續(xù)函數(shù)，故結(jié)果不能認(rèn)為正確。為使上述被積函數(shù)在（）中的原函數(shù)是連續(xù)的，我們必須考路原函數(shù)在x=0點(diǎn)的連續(xù)性.由于在x=0處的左極限等于，有極限為。因此，F(xiàn)(x)= ， 在（）內(nèi)由定義且連續(xù)，此外，當(dāng)x時(shí)，可

17、以直接求導(dǎo)得到f（x）。利用換元積分法解題明白，但是不能解決所有的題型，下面引入求積分的新方法分部積分法。4 分部積分法4.1分部積分法的定義和分析直接積分法是求積分的基本方法，換元積分法是求積分的重要方法，若這兩種方法均不能得出結(jié)果，就要用到下面的積分方法。分部積分法是化簡(jiǎn)被積函數(shù)為可積形式的重要而有效的方法，可看成微分學(xué)中兩個(gè)函數(shù)乘積運(yùn)算的逆運(yùn)算。分部積分法定義：設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則，那么，該積分法使用的范圍是兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分。5其主要用于解決被積函數(shù)是兩種初等函數(shù)的乘積或單一個(gè)函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)。反三角函數(shù)，初等函數(shù)）的不定積分。利用此公式求積分

18、的基本步驟是： 分部積分法的基本思想是化繁為簡(jiǎn)，當(dāng)左邊的不定積分不易求解，而右邊的不定積分易求解時(shí)，則可通過(guò)該公式使不定積分得以解決。該積分法的關(guān)鍵是選擇哪個(gè)因子當(dāng)作u，哪個(gè)當(dāng)作v，選擇不當(dāng)不僅不會(huì)使積分由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，反而更復(fù)雜。那么，通過(guò)以上討論，被積函數(shù)應(yīng)該在什么情況下運(yùn)用分部積分法呢？4.2 分部積分法的幾種題型和分部積分法中和的選擇一般被積函數(shù)屬于下列類型之一時(shí)通常使用分部積分法： 被積函數(shù)是兩個(gè)不同類型函數(shù)的乘積； 被積函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)； 被積函數(shù)含有三角函數(shù)。 由以上條件可有三種題型及解法： (1) 形如依次按排列的順序分別變換成. 例12：求積分. 分析：是兩個(gè)不同函數(shù)的乘積，所

19、以可用分部積分法。 解：= (2) 依次按排列的順序 6 例13：求積分. 解：= 合適的運(yùn)用分部積分法來(lái)計(jì)算上述題型,就必須對(duì)其中的u與dv進(jìn)行正確的選擇。如果被積函數(shù)是由“反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)”（后面簡(jiǎn)稱“反，對(duì)，冪，指，三”）中的任意兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，按此順序，誰(shuí)在前面，誰(shuí)就做u，其余的與一起做。 例14：求積分. 分析：不定積分中的被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，有口決“反，對(duì)，冪，指，三”知，將作為u，余下作為。 解：設(shè)u=,有du= = 小結(jié)：要快速的掌握分部積分法，首先必須了解該積分方法的思想比較難求的積分來(lái)計(jì)算；其次，應(yīng)該掌握對(duì)u與的選擇。在積分學(xué)

20、中，分部積分法中有幾種簡(jiǎn)便方法： (1) 當(dāng)一個(gè)積分的被積函數(shù)是“反，對(duì)，冪，指，三”中的任意兩類函數(shù)的乘積時(shí)，按此順序；誰(shuí)排在前，u就選誰(shuí)，可以正確快速地利用分部積分法求出積分； (2) 當(dāng)被積形式為可用斜式相乘法求積分。85 有理函數(shù)的不定積分及待定系數(shù)法5.1 有理函數(shù)的不定積分的定義和分析有理函數(shù)的不定積分不僅是微分學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是不定積分學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，即具有如下形式的函數(shù)：R(x)=.其中有理函數(shù)可以分解為多項(xiàng)式（即有理整式）與真分式之和，多項(xiàng)式易于求積分，而真分式可以化為部分分式的和求積分。在將真分式分解成部分分式的和時(shí)，

21、對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以用觀察法進(jìn)行拆分；復(fù)雜的則要另尋他法。那么，有理函數(shù)的積分形如的積分，其中；m和n均為非負(fù)整數(shù)；都是實(shí)數(shù)，且.當(dāng)m<n時(shí)，R(x)為有理真分式，否則為有理假分式，因假分式可以化為一多項(xiàng)式與真分式之和，所以只用掌握有理真分式的積分思想。5.2 待定系數(shù)法在不定積分中的運(yùn)用那么，有理真分式的積分該如何求解呢？9 (1) 第一步：對(duì)分母Q（x）在實(shí)數(shù)解內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：，在多項(xiàng)式Q（x）中 均為自然數(shù)，而且的前s項(xiàng)的和與的前t項(xiàng)的和的二倍相加等于m；j=1，2，t.第二步：根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫(xiě)出與之相應(yīng)的部分分式：對(duì)于每個(gè)形如的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是 對(duì)每個(gè)形如的因式，

22、它所對(duì)應(yīng)的部分分式是 .把所有部分分式加起來(lái)，使之等于R（x）。第三步：確定待定系數(shù)：一般方法是將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母Q(x)，而其分子亦應(yīng)與原分子P(x)恒等。于是，按同冪項(xiàng)系數(shù)必定相等，得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程，這組方程即為要確定的系數(shù)。 (2) 對(duì)于有理真分式，可以看成以下幾種情況： 當(dāng)分母Q(x)含有單因式x-a時(shí)，分解式中應(yīng)有一項(xiàng)，A為待定系數(shù)；當(dāng)分母Q(x)含有重因式時(shí)，部分分式中相應(yīng)有n個(gè)項(xiàng)，分母按的次數(shù)依次降低為一次，分子為待定系數(shù)； 當(dāng)分母Q(x)中含有質(zhì)因式時(shí)，部分分式中相應(yīng)的有一項(xiàng). 例15：求積分. 解：該被積函數(shù)為假分式，利用多項(xiàng)式除法

23、，得 = 然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系數(shù)法，令 去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.故= 用待定系數(shù)法將其復(fù)雜的有理函數(shù)變?yōu)橛欣碚娣质降拇鷶?shù)和，然后用前面的方法逐項(xiàng)積分。該方法的基本步驟： 先考察被積有理函數(shù)是真分式，還是假分式。如果是假分式，在通過(guò)帶余除法化為多項(xiàng)式和真分式之和；如果是真分式，則進(jìn)行第（2）步; 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把分母多項(xiàng)式分解成若干個(gè)一次因式和二次因式之積; 設(shè)定真分式函數(shù)分解成若干部分分式之和的形式; 利用待定系數(shù)法等方法求出各部分分式的分子所有系數(shù)； 對(duì)多項(xiàng)式（如果有理函數(shù)是假分式）和各部分分式分別進(jìn)行積分并求和。6 小結(jié) 為使復(fù)雜的函數(shù)積分，變得簡(jiǎn)單易學(xué)，根據(jù)直接積分法，換元積分法，分部積分法，等的特點(diǎn).使逐步向基本公式接近。 以下是總結(jié)的一些技巧： 1 補(bǔ)項(xiàng)法即將被積函數(shù)f(x)的某部分“加一項(xiàng)，減一項(xiàng)“后，使不定積分接近積分基本公式，求出結(jié)