根式及其運(yùn)算

1、根式及其運(yùn)算二次根式的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算法則是根式運(yùn)算的基礎(chǔ)，在進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，往往用到絕對(duì)值、整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識(shí)與解題方法，也就是說(shuō)，根式的運(yùn)算，可以培養(yǎng)同學(xué)們綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法的能力下面先復(fù)習(xí)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析二次根式的性質(zhì)：二次根式的運(yùn)算法則：設(shè)a，b，c，d，m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式例1 化簡(jiǎn)：法是配方去掉根號(hào)，所以因?yàn)閤-20，1-x0，所以原式=2-x+x-1=1a-b-a+b-a+b=b-a說(shuō)明 若根式中的字母給出了

2、取值范圍，則應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)；若沒(méi)有給出取值范圍，則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)例2 化簡(jiǎn)：分析 兩個(gè)題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，這樣計(jì)算化簡(jiǎn)較繁我們可以先將分母因式分解后，再化簡(jiǎn) 解法1 配方法配方法是要設(shè)法找到兩個(gè)正數(shù)x，y(xy)，使x+y=a，xy=b，則解法2 待定系數(shù)法例4 化簡(jiǎn)：(2)這是多重復(fù)合二次根式，可從里往外逐步化簡(jiǎn)分析 被開方數(shù)中含有三個(gè)不同的根式，且系數(shù)都是2，可以看成解 設(shè)兩邊平方得××得(xyz)2=5×7×35=352因?yàn)閤，y，z均非負(fù)，所以xyz0，所以xyz=35÷，有z=7

3、同理有x=5，y=1所求x，y，z顯然滿足，所以解 設(shè)原式=x，則解法1 利用(ab)3a3b33ab(ab)來(lái)解將方程左端因式分解有(x-4)(x24x10)0因?yàn)閤24x10(x2)260，所以x-40，x4所以原式4解法2說(shuō)明 解法2看似簡(jiǎn)單，但對(duì)于三次根號(hào)下的拼湊是很難的，因此本題解法1是一般常用的解法例8 化簡(jiǎn)：解(1) 本小題也可用換元法來(lái)化簡(jiǎn)解 用換元法解 直接代入較繁，觀察x，y的特征有所以3x2-5xy3y23x26xy3y2-11xy 3(xy)2-11xy 3×102-11×1289例11 求分析 本題的關(guān)鍵在于將根號(hào)里的乘積化簡(jiǎn)，不可一味蠻算解 設(shè)根號(hào)內(nèi)的式子為A，注意到1(2-1)，及平方差公式(ab)(a-b)a2-b2，所以A(2-1)(21)(221)(241)(22561)1(22-1)(221)(241)(281)(22561)1(24-1)(241)(281)(2161)(22561)1(2256-1)(22561)122×256-1122×256，的值分析與解 先計(jì)算幾層，看一看有無(wú)規(guī)律可循解 用構(gòu)造方程的方法來(lái)解設(shè)原式為x，利用根號(hào)的層數(shù)是無(wú)限的特點(diǎn)，有兩邊平方得兩邊再平方得x4-4x242x，所以x4-4x2-x20觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x-1，2時(shí)，方程成立因此，方程