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1、2003年浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競(jìng)賽試題(解答)* 周暉杰 2008/11/12002/12/7一、 計(jì)算題（每小題12分，共60分）1、求極限.解: 原式.2、設(shè)，求.解: .3、求.解: 令, 則,代入得: , 直接計(jì)算比較困難!. 求不定積分、定積分、廣義積分，用代換是不錯(cuò)的方法，主要有： 三角代換；根式代換；倒代換；指數(shù)代換；或代換.4、求.解: 求無(wú)窮項(xiàng)的極限問(wèn)題，主要有如下方法：通過(guò)等比、等差等方法轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)，但適用性不強(qiáng)；夾逼定理；轉(zhuǎn)化為定積分，尤其當(dāng)時(shí)，. 令， 顯然，且由夾逼定理得：.二、(20分)求滿足下列性質(zhì)的曲線: 設(shè)為曲線上任一點(diǎn),則由曲線,所圍成區(qū)域的面積與曲線

2、,和所圍成區(qū)域的面積相等.解: 設(shè): ,則,即: 則 ,也即: .即: 則 , 也即: . 三、(20分) 求,其中的上半平面內(nèi)部分,從點(diǎn)到.解: 令, ,同理: , 即故與積分路徑無(wú)關(guān), 但不能取直線段, 因?yàn)楸环e函數(shù)在原點(diǎn)不可導(dǎo), 取如圖的路徑,則: .四、(15分) 證明: .證明: 為了把2004去掉,而存在2003, 令則 ,而由積分中值定理: ,只需證明: 絕對(duì)值很討厭! 看來(lái)需要用一次絕對(duì)值三角不等式了. 令, .五、(15分)設(shè)在上連續(xù), 內(nèi)可導(dǎo),且,.證明:存在內(nèi)的兩個(gè)數(shù),使.證明：令則由介值定理得: , 使得,在與上用拉格朗日中值定理得:, 故取即可.六、(15分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始構(gòu)造, 使得位的中點(diǎn), 位的中點(diǎn), 位的中點(diǎn),這樣,我們得到點(diǎn)列收斂于正方形內(nèi)部一點(diǎn),試求的坐標(biāo). 解： ,

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