汽車公司的最佳生產(chǎn)方案研究

1、汽車公司的最佳生產(chǎn)方案摘要本文研究汽車公司的最佳生產(chǎn)方案，使其獲利最大。通過建立線性規(guī)劃模型，分別求解在現(xiàn)有資源、外包加工、加班下的最大毛利潤(rùn)，通過一一對(duì)比，得出最佳生產(chǎn)方案。針對(duì)問題A（1），通過數(shù)據(jù)分析，列出兩車間生產(chǎn)能力的線性比例關(guān)系，并分析得到毛利潤(rùn)=銷售額總成本（材料費(fèi)+人工費(fèi)+可變管理費(fèi)+固定管理費(fèi)），在現(xiàn)有資源下，重新調(diào)整兩類貨車數(shù)量，列出約束條件，建立線性規(guī)劃模型，解得最佳生產(chǎn)方案為生產(chǎn)A101型貨車2054輛，A102型貨車623輛，最大月毛利潤(rùn)為449250元，比上年增加2.13倍，效益明顯。針對(duì)問題A（2），通過“外包加工”的方式增加發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力來提高產(chǎn)量，解除發(fā)動(dòng)機(jī)裝

2、配能力的約束，建立在不低于原毛利潤(rùn)的條件下，以最大外包加工費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃模型，解得外包加工費(fèi)用臨界值為491.24元，此時(shí)A101型貨車外包加工生產(chǎn)數(shù)量為1095輛，并解得外包加工費(fèi)用小于273.81元時(shí)，采用外包加工的生產(chǎn)方案是最優(yōu)的。針對(duì)問題B，類比于第一問，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行適當(dāng)修改，重新建立線性規(guī)劃模型，解得生產(chǎn)A101型貨車1428輛，A102型貨車1500輛時(shí)，最大月毛利潤(rùn)為395560元。通過靈敏度分析，加班能力存在剩余，且其毛利潤(rùn)小于現(xiàn)有資源下合理安排生產(chǎn)得到的毛利潤(rùn)，因此不建議采取加班方式來提高公司毛利潤(rùn)。最后，我們對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的討論與分析，以使模型更加

3、適用和具有說服力，并提出了改進(jìn)方案，旨在公司獲利最大化。關(guān)鍵詞：毛利潤(rùn)；線性規(guī)劃；外包加工一、 問題的提出和重述1.1問題的提出南洋汽車公司生產(chǎn)2種型號(hào)貨車：A101型和A102型，設(shè)有沖壓車間，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間、A101型和A102型貨車各自裝配車間，這些車間的生產(chǎn)能力是有限的。當(dāng)前的市場(chǎng)需求情況是：A101型貨車售價(jià)為2100元、A102型貨車售價(jià)為2000元，且在這樣的價(jià)格下，不管汽車公司生產(chǎn)多少輛貨車都能夠售出。根據(jù)上半年的銷售情況得出，A101型貨車每個(gè)月的銷售為333輛，A102型貨車每個(gè)月的銷售為1500輛。此時(shí)，A102型貨車裝配車間和發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間已經(jīng)滿負(fù)荷情況下運(yùn)行，而沖壓車

4、間和A101型貨車裝配車間的生產(chǎn)能力還未充分發(fā)揮出來。這種生產(chǎn)水平下的標(biāo)準(zhǔn)成本、關(guān)于管理費(fèi)用的詳細(xì)情況、上半年度的收入報(bào)表已詳細(xì)列出。在每月舉行的計(jì)劃會(huì)議上，各部門提出建議：（1）銷售部門經(jīng)理認(rèn)為，銷售A101型貨車無利可圖，建議A101型貨車停產(chǎn)；（2）財(cái)務(wù)部門經(jīng)理認(rèn)為，A101型貨車銷售量太小，因此分?jǐn)偨o每輛車的固定成本大。因此，應(yīng)增加A101型貨車的產(chǎn)量，與此同時(shí)，適當(dāng)減少A102型貨車的產(chǎn)量；（3）生產(chǎn)部門經(jīng)理認(rèn)為，在不減少A102型貨車產(chǎn)量的情況下，以適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，通過其他廠商的協(xié)作，即外包加工，增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，從而增加A101型的產(chǎn)量，這也許是最好的方案。1.2問題的重述A、在

5、現(xiàn)有條件下，考慮：（1）在現(xiàn)有資源的條件下，怎樣安排生產(chǎn)最為合理？（2）如果可以通過“外包加工”增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，怎樣的“外包加工”費(fèi)是可以接受的？B、考慮用加班的方法來提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力。假設(shè)加班后，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力的增加相當(dāng)于2000輛A101型貨車，直接勞動(dòng)力費(fèi)用提高50，加班的固定管理費(fèi)用為40000元，可變的管理費(fèi)用仍保持原來數(shù)值。問：加班的方法是否值得采用？二、 問題的分析本文要制定一個(gè)最優(yōu)的汽車生產(chǎn)方案，在約束條件下，使得利潤(rùn)最大。本文的約束條件主要來自兩方面：其一，公司各生產(chǎn)車間生產(chǎn)能力的限制；其二，甲乙兩種類型的貨車由于產(chǎn)量的不同，導(dǎo)致對(duì)固定成本的分?jǐn)偛煌?，直接?/p>

6、響各自標(biāo)準(zhǔn)成本的大小。在各部門建議下分別考慮以下三種情況下的最大毛利潤(rùn)：（1）增加A101型貨車的產(chǎn)量，適當(dāng)減少A102型貨車的產(chǎn)量（即在現(xiàn)有資源下重新規(guī)劃生產(chǎn)）；（2）在不減少A102型貨車產(chǎn)量的情況下，通過適當(dāng)?shù)耐獍庸?，增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力來增加A101型貨車的產(chǎn)量；（3）用加班的方法來提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力，以便于生產(chǎn)更多的A101和A102貨車。通過對(duì)這三種方案的利潤(rùn)對(duì)比，來決定采用哪種生產(chǎn)方案最優(yōu)。針對(duì)問題A(1)的分析：根據(jù)數(shù)據(jù)分析，每賣出一輛A101型車虧損91元，其原因是由于A101型生產(chǎn)量太小，導(dǎo)致固定成本的分?jǐn)偭烤痛?。增加A101的產(chǎn)量，使得成本降低便可能會(huì)盈利。因

7、此在現(xiàn)有資源下，我們考慮對(duì)兩類貨車的生產(chǎn)量重新調(diào)整，使得利潤(rùn)最大化。針對(duì)問題A(2)的分析：外包加工費(fèi)主要由三部分組成：（1）直接勞動(dòng)力費(fèi)用中的“發(fā)動(dòng)機(jī)裝配”成本；（2）管理費(fèi)用中的“發(fā)動(dòng)機(jī)裝配”成本；（3）公司付給其他廠商的委托加工費(fèi)。根據(jù)題意，在不減少A102型貨車的情況下，通過與其他廠商的協(xié)作來提高利潤(rùn)，即外包加工后A101型的發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力約束解除，考慮將“外包加工”后的毛利潤(rùn)與原毛利潤(rùn)進(jìn)行比較，從而求得可以接受的“外包加工”費(fèi)的最大值。針對(duì)問題B的分析：用加班的方法提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力，導(dǎo)致該環(huán)節(jié)的直接勞動(dòng)力費(fèi)用相應(yīng)提高50，固定管理費(fèi)增加40000元，所以加班費(fèi)應(yīng)該為發(fā)動(dòng)機(jī)

8、裝配車間因加班而產(chǎn)生的所有費(fèi)用。本問題實(shí)際上只對(duì)問題A(1)中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行適當(dāng)修改，通過與原毛利潤(rùn)和重新規(guī)劃生產(chǎn)后的毛利潤(rùn)對(duì)比來決定是否采用加班方式。三、 模型假設(shè)1、 在當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格條件下，不管生產(chǎn)多少量車，都能售出。2、 直接材料費(fèi)、直接勞力費(fèi)和固定管理費(fèi)穩(wěn)定不變。3、 毛利潤(rùn)指汽車總銷售額減總成本，不考慮銷售行政過程中的費(fèi)用及所得稅。4、 為了使生產(chǎn)出來的汽車配套以便于銷售，沖壓車間和發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)量應(yīng)相 互配套。四、 符號(hào)及變量說明:生產(chǎn)A101型貨車的數(shù)量；:生產(chǎn)A102型貨車的數(shù)量；:外包加工生產(chǎn)的A101型貨車的數(shù)量；: A101型貨車的總成本；: A102型貨

9、車的總成本；:每輛A101型貨車的外包費(fèi)用；:月毛利潤(rùn)；:月銷售額；: 直接材料費(fèi)；:直接勞力費(fèi)；: 可變管理費(fèi)；: 不變管理費(fèi)；: 外包加工總費(fèi)用；五、 模型的建立和求解5.1針對(duì)問題A(1)的模型建立和求解對(duì)各車間月生產(chǎn)能力的討論通過對(duì)表一車間月生產(chǎn)能力的數(shù)據(jù)表分析，對(duì)沖壓車間和發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間單獨(dú)生產(chǎn)某一車型時(shí)的月生產(chǎn)能力給出了限制，而不能反映同時(shí)生產(chǎn)兩種車型時(shí)彼此之間的限制能力。根據(jù)題意“發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間每生產(chǎn)1輛A102型貨車，在原來產(chǎn)量的基礎(chǔ)上甲型的產(chǎn)量相應(yīng)的減少2輛”，根據(jù)比例關(guān)系3300：1667=1.98：12：1，同樣，對(duì)于沖壓車間而言生產(chǎn)甲乙型車的能力大小是2500：3500

10、=1：1.4。由于兩種車型的裝配車間獨(dú)立，彼此之間不相互影響。車間A101A102沖壓車間發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間 A101型裝配車間A102型裝配車間2500（1：1.4）3300（2：1） 2250350016671500表5.1 A101、A102車間月生產(chǎn)能力表5.1.2對(duì)固定管理費(fèi)用分?jǐn)傆?jì)算的討論公司的管理費(fèi)用分為不變管理費(fèi)用和隨生產(chǎn)量不同而改變的管理費(fèi)用，對(duì)每一輛車而言可變管理費(fèi)用并不改變，改變的是固定管理費(fèi)用在兩類貨車每輛車上的分?jǐn)?，且只隨生產(chǎn)數(shù)量的不同在改變。我們嘗試建立計(jì)算兩種類型車的標(biāo)準(zhǔn)成本，的公式，主要包括直接材料費(fèi)用，直接勞力費(fèi)用，可變管理費(fèi)，不變管理費(fèi)（表示A101車間，表示A

11、102車間）考慮分?jǐn)偤螅?， 其中，分別為沖壓，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配，A101型貨車裝配，A102型貨車裝配的各項(xiàng)固定管理費(fèi)。5.1.3建立合理安排后毛利潤(rùn)的目標(biāo)函數(shù)根據(jù)假設(shè)，總毛利潤(rùn)（單位：元）=，即：代入，后：易知上述方程為非線性方程，求解繁瑣，因此考慮對(duì)其簡(jiǎn)化，重新建立毛利潤(rùn)的模型。銷售總收入：；直接材料費(fèi)：；直接勞力費(fèi)：；可變管理費(fèi)：；不變管理費(fèi)：；毛利潤(rùn)： ；代入化簡(jiǎn)后，得到毛利潤(rùn)的目標(biāo)函數(shù)為線性方程：。5.1.2考慮其約束條件根據(jù)車間的生產(chǎn)能力表和前述對(duì)各車間月生產(chǎn)能力的討論可知，約束條件共有4個(gè),分別為：A101型裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；A102型裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；沖壓車間對(duì)總產(chǎn)

12、量的約束為；發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；5.1.4模型一的求解通過上述分析，建立以下線性規(guī)劃模型：用lingo軟件求解(程序見附錄模型一)可得=2054輛，=623輛，=449250元。并且可以計(jì)算兩種類型車的標(biāo)準(zhǔn)成本是：（單位：元/每月），且A101型貨車的總毛利潤(rùn)為357.4千元，A102型貨車的毛利潤(rùn)為91.8千元，由圖5.2可知，A101型貨車的毛利潤(rùn)貢獻(xiàn)率是A102型貨車的近四倍。圖5.2 兩類貨車的毛利潤(rùn)貢獻(xiàn)率綜上，在現(xiàn)有資源下公司最佳的生產(chǎn)方案應(yīng)為每月生產(chǎn)A101型車2054輛，生產(chǎn)A102型車623輛，則每月能獲得利潤(rùn)449250元，按此方案生產(chǎn)下半年的收入為2695.5千

13、元，比上半年毛利潤(rùn)上漲1428.5千元,效益十分明顯。5.2針對(duì)問題A(2)的模型建立和求解通過上一問的靈敏度分析可知，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力為緊約束，因此提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力可以增加貨車產(chǎn)量。根據(jù)公司建議，在不減少A102型貨車產(chǎn)量的情況下，以適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，通過其他廠商的協(xié)作，即“外包加工”。5.2.1建立外包加工后毛利潤(rùn)的目標(biāo)函數(shù)“外包加工”能增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，從而增加A101型的產(chǎn)量，使得利潤(rùn)增加。通過將“外包加工”后的毛利潤(rùn)與原毛利潤(rùn)進(jìn)行比較，從而求得可以接受的“外包加工”費(fèi)的最大值：類比于問題A(1)，建立“外包加工”后毛利潤(rùn)的模型：銷售總收入：；直接材料費(fèi)：；直接勞力費(fèi)：；可變管理費(fèi)：；不

14、變管理費(fèi)：；外包加工費(fèi)：；毛利潤(rùn)： ；代入化簡(jiǎn)后，得到毛利潤(rùn)線性方程：。5.2.2考慮其約束條件根據(jù)車間的生產(chǎn)能力表和前述對(duì)各車間月生產(chǎn)能力的討論可知，約束條件分別為：A101型裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；A102型裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為，要求A102型貨車的產(chǎn)量不減少，所以；當(dāng)A101型裝配車間裝配1500輛時(shí)，即滿負(fù)荷時(shí)，A102型裝配車間裝配做多為；沖壓車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間在外包加工條件下生產(chǎn)能力無限制；“外包加工”后的毛利潤(rùn)大于原毛利潤(rùn)，即：5.2.3模型二的求解通過上述分析，建立以下線性規(guī)劃模型：用lingo軟件求解(程序見附錄模型二)得輛，輛，輛，元，即能夠接受的最

15、大“外包加工”費(fèi)用為491.24元，此時(shí)毛利潤(rùn)等于原毛利潤(rùn)，收益并不理想。若要使毛利潤(rùn)大于第一問的合理安排生產(chǎn)后的毛利潤(rùn)，此時(shí)解得元，所以當(dāng)時(shí)，比現(xiàn)有資源下的合理安排方案更好，應(yīng)該積極謀求外包加工。 圖5.3 不同外包加工費(fèi)下的每月毛利潤(rùn)三維圖5.3針對(duì)問題B的模型建立和求解相比于問題A（1），加班改變的是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力，其直接勞動(dòng)力費(fèi)用也提高50，加班的固定管理費(fèi)用為40000元，其余不變，因此根據(jù)問題A（1），容易求解加班后的最大毛利潤(rùn)。建立加班后毛利潤(rùn)的目標(biāo)函數(shù)銷售總收入：；直接材料費(fèi)：；直接勞力費(fèi)：；可變管理費(fèi)：；不變管理費(fèi)：；毛利潤(rùn)： ；代入化簡(jiǎn)后，得到毛利潤(rùn)的目標(biāo)函數(shù)為線

16、性方程：。5.3.2考慮其約束條件加班后發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力的增加相當(dāng)于2000輛A101型貨車，根據(jù)裝配A101和A102型發(fā)動(dòng)機(jī)的比例關(guān)系，加班后的月生產(chǎn)能力如下表所示：車間A101A102沖壓車間發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間 A101型裝配車間A102型裝配車間250053002250350026671500所以約束條件為：A101型裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；A102型裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；沖壓車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間對(duì)總產(chǎn)量的約束為；5.3.3模型三的求解通過上述分析，建立以下線性規(guī)劃模型：用lingo軟件求解(程序見附錄模型三)可得輛，輛，=395560元，半年毛利潤(rùn)為2373千元，比原

17、毛利潤(rùn)增加1106千元，但相比模型一所解得的利潤(rùn)減少322千元，因此采取加班的方法較第一問重新合理安排生產(chǎn)的方法次之。（詳見圖5.3各方案利潤(rùn)比較圖）。通過對(duì)靈敏度分析，加班所增加的發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力在此生產(chǎn)方案中有剩余，所以不建議采用加班的方式來增加產(chǎn)量。圖5.4各方案利潤(rùn)比較圖六、 模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn)6.1模型的評(píng)價(jià)6.1.1優(yōu)點(diǎn)(1)全篇模型充分運(yùn)用線性規(guī)劃模型，形式簡(jiǎn)單，利用lingo軟件進(jìn)行求解，方便快速。（2）根據(jù)現(xiàn)有資源為公司制定最優(yōu)生產(chǎn)方案，最大利潤(rùn)為原有生產(chǎn)方案的2.13倍，優(yōu)化效果十分顯著。通過對(duì)各種方案下的利潤(rùn)比較，可以準(zhǔn)確選擇具體采用哪種方案。6.1.2缺點(diǎn)（1）沒有考慮市場(chǎng)

18、的不穩(wěn)定因素，每月銷售量不一定等于每月生產(chǎn)量，若在此條件下，銷售額發(fā)生變動(dòng)，模型不再適用。（2）對(duì)于兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車間的生產(chǎn)能力比例取了近似，導(dǎo)致結(jié)果與實(shí)際有微小差異。6.2模型的改進(jìn)對(duì)于外包加工模型，外包費(fèi)用的臨界值為491.24元，可以根據(jù)市場(chǎng)行情和生產(chǎn)成本費(fèi)用，充分考慮到雙贏原則，給定各50%的利潤(rùn)，能準(zhǔn)確算出外包加工費(fèi)用。對(duì)于加班費(fèi)用，可以減少一定的加班能力，使得不減少生產(chǎn)量的情況下，加班費(fèi)用最少，解得加班能力為增加相當(dāng)于1916輛A101型貨車時(shí)，達(dá)到利潤(rùn)最大化。七、 模型的推廣和應(yīng)用本文給出的線性規(guī)劃模型，方便、直觀、實(shí)用，所涉及到的數(shù)學(xué)原理和計(jì)算以及概念都較為簡(jiǎn)單明了，易于推廣。

19、模型結(jié)果有利于實(shí)際應(yīng)用中的管理者做出準(zhǔn)確決策，以獲得最大利潤(rùn)。參考文獻(xiàn)：1姜啟源、謝金星、葉俊數(shù)學(xué)模型(第四版)M.北京:高等教育出版社.2009；2謝金星、薛毅 優(yōu)化模型與LINDOLINGO軟件應(yīng)用清華大學(xué)出版社.2005 年7月；3胡適耕、施保昌 最優(yōu)化原理華中科技大學(xué)出版社.2000年5月；附錄：模型一代碼： max=2100*x+2000*y-(1200+200+400)*x-(1000+225+425)*y-385000;1.4*x+y<=3500;x+2*y<=3300;x<=2250;y<=1500;gin(x);gin(y);結(jié)果： Global op

20、timal solution found. Objective value: 449250.0 Objective bound: 449250.0 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X 2054.000 -300.0000 Y 623.0000 -350.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 449250.0 1.000000 2 1.400000 0.000000 3 0.00

21、0000 0.000000 4 196.0000 0.000000 5 877.0000 0.000000模型二代碼：max=c*z;2100*(x+z)+2000*y-(1200+200+400)*x-(1000+225+425)*y-(1200+40+100+120+175)*z-c*z-385000-1267000/6>0;x+z<2250;1.4*(x+z)+y<3500;y=1500;x=333;gin(z);結(jié)果： Local optimal solution found. Objective value: 537908.4 Objective bound: 53

22、7908.4 Infeasibilities: 0.8537309E-01 Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 108 Variable Value Reduced Cost C 491.2406 0.000000 Z 1095.000 -465.0000 X 333.0000 0.000000 Y 1500.000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 537908.4 1.000000 2 -0.8537309E-01 -1.000000 3 822.0000 0.000000 4 0.8000000 0.000000 5 0.000000 -