求兩條異面直線(xiàn)之間距離的兩個(gè)公式_第1頁(yè)
求兩條異面直線(xiàn)之間距離的兩個(gè)公式_第2頁(yè)
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1、求兩條異面直線(xiàn)之間距離的兩個(gè)公式王文彬（撫州一中江西344000）本文介紹求異面直線(xiàn)距離的兩個(gè)簡(jiǎn)捷公式，以及如何定量地確定異面直線(xiàn)公垂線(xiàn)的方法.1.公式一如圖1，、是異面直線(xiàn)，平面，在內(nèi)的射影為，設(shè)，且與所成的角分別為，則與之間的距離為ABMNH圖1（1）證明：設(shè)與的公垂線(xiàn)為，如圖1所示，過(guò)作于，由于在平面內(nèi)的射影為，故平面，在內(nèi)的射影為.由知.在中同理聯(lián)立解得（1.1）（1.2）從而.即有公式（1）成立.運(yùn)用公式（1）求與之間的距離時(shí)，無(wú)需知道它們公垂線(xiàn)的位置，但如果要確定公垂線(xiàn)的位置，則可根據(jù)公式（1.1）和公式（1.2）分別計(jì)算出和的值，進(jìn)而確定公垂線(xiàn)具體位置.2.公式二AMNK圖2H如

2、圖2，、是異面直線(xiàn)，于，與，與所成的角分別為，則與之間的距離為（2）證明：過(guò)作，設(shè)由與確定的平面為，為與公垂線(xiàn)，如圖2所示.過(guò)作于，連，易知，為矩形.在中，由于，故平面，從而.，代入上式并解出就是公式（2）.另外，將（2）代入得（2.1）又，將上式代入得（2.2）公式（1）（2）可以幫助我們定量地確定公垂線(xiàn)的位置.3.公式的應(yīng)用A圖3BCDSGFEO【例1】四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，分別是的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與的距離，并確定公垂線(xiàn)的位置.【解】取的中點(diǎn)，連、，設(shè)，因底面，易知面，在底面內(nèi)的射影為，代入公式（1）可得與的距離.設(shè)與的公垂線(xiàn)為，其中，將與的值代入公式（1.1）和（1.2）可分別求得，而，故有，由此不難作出公垂線(xiàn).【例2】如圖4，是直三棱柱，其中，求異面直線(xiàn)與的距離，并確定公垂線(xiàn)的位置.ABC圖4【解】連，則，與所成的角是，設(shè)為，則又與所成的角為，設(shè)為，則.根據(jù)公式（2），與的距離為.

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