極坐標參數(shù)方程15道典型題

1、極坐標與參數(shù)方程15道典型題1在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓C1,直線C2的極坐標方程分另“為4sin,cos()22.(1)蘇Cl與C2的直角坐標方程，并求出Cl與C2的交點坐標；(2)設(shè)P為Ci的圓心，Q為Ci與C2交點連線的中點.已知直線PQ的參數(shù)方程為3xtabi3/(t為參數(shù)tR),求a,b的值.yt12(1)由極直互化公式得：_22C1:x(y2)4C2：xy404分聯(lián)立方程解得交點坐標為(0,4),(2,2)5分(2)由(1)知：P(0,2),Q(1,3)所以直線PQ：xy20,化參數(shù)方程為普通方程：ybxab1,22b1對比系數(shù)彳導:2,a1

2、,b210分/abc1 222.極坐標系與直角坐標系xoy有相同的長度單位，以原點。為極點，以x軸正半軸為極軸，曲2xtm線C1的極坐標方程為cos23,曲線C2的參數(shù)方程為，(t是參數(shù)，m是常y2t1數(shù))(1)求C1的直角坐標方程和C2的普通方程；(2)若C2與C1有兩個不同的公共點，求m的取值范圍.解：(1)由極直互化公式得C1：2(cos2sin2)3,所以x2y23；2消去參數(shù)t得C2的方程：y2x2m(2)由(1)知Ci是雙曲線，C2是直線，把直線方程代入雙曲線方程消去y得:一223x4(2m1)x4m4m40,7分若直線和雙曲線有兩個不同的公共點，則16(2m1)212(4m24m

3、4)0,解得：m1或m210分22x3.3t3 .已知橢圓C:一L1,直線l：(t為參數(shù)).4 3y2.3t(I)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；(II)設(shè)1,0,若橢圓C上的點滿足到點的距離與其到直線l的距離相等，求點P的坐標.x=2cos9,.,l解：(I)(n)設(shè)P到直線C：y=V3sin0(°為為參數(shù))，l:-V3y+9=°R2cos0,*73sin0),則|Ap=(2cos01)2+(/sin0)2=2-cosl的距離d12cos83sin8+9|2cos83sin8+9由 | Ap = d 得 3sin 0 4cos 0=5,又 sin 2 8 + co

4、s230 =", cos54° =-5-10分故(8,釣4.1. 極坐標系Ox中，直線C1的極坐標方程為psin0=2,M是。上任意一點，點P在射線OM1±,且滿足|Op|OM=4,記點P的軌跡為C2.(I)求曲線。的極坐標方程；(n)求曲線C2上的點到直線pcos(e+一1)=42的距離的最大值.解：(I)設(shè)P(p,8),M(p1,8),依題意有p1sin9=2,pp1=4.消去P1,得曲線G的極坐標方程為p=2sin0.5分(n)將C2,C3的極坐標方程化為直角坐標方程，得C2：x2+(y1)2=1,G:x-y=2.C2是以點(0,1)為圓心，以1為半徑的圓，

5、圓心到直線C的距離d=3中，故曲線G上的點到直線G距離的最大值為1+乎105.在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為4,2 sin(-)o現(xiàn)以極點。為原點，極軸為x 4x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為y(1)寫出直線i的普通方程和曲線c的直角坐標方程；1t2，一2l (t為參數(shù))。32(2)設(shè)直線l和曲線C交于A,B兩點，定點P(2,3),求|PA|PB|的值?！窘狻?1)4d2sin()4sin4cos,所以24sin4cos。所以x2y24x4y0,即(x2)2(y2)28。直線l的普通方程為3xy2J330。5(2)把l的參數(shù)方程代入x2y24x4y0得：t2(45

6、71;)t330。設(shè)A,B對應(yīng)參數(shù)分別為t1,t2,則11t233,點P(2,3)顯然在l上，由直線l參數(shù)t的幾何意義知|PA|PB|t1t2|33o101戶3+t6.在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為,rr(t為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，OC的極坐標方程為p=2/3sin0.(I)寫出GK的直角坐標方程；(n)p為直線l上一動點，當p到圓心C的距離最小時，求p的直角坐標. P 2=273 P sin 9，化為 x2+y2= 2«工，又 C 一.解：(I)由OC的極坐標方程為P=2&sin9.|PC|=J，(半t-百)氣產(chǎn)+12“血，因此當t=

7、0時，|PC|取得最小值2dM.此時P(3,0).10分7 .在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p cos( e 一M N分別為C與x軸、y軸的交點.(I)寫出C的直角坐標方程，并求出MN的極坐標;(n)設(shè)MN勺中點為P,求直線OP的極坐標方程.兀解：(1)將極坐標方程pcos9=1化為:1：32 p cos 9 + 方-p sine =1.則其直角坐標方程為：$+號y=1,M2,0),N。，手)，其極坐標為M(2,0),N33,-2(2)由(1)知MN的中點P1,當直線op的直角坐標方程為 y=3x,口化為極方程為： p sin 9 p co

8、s 9 .化簡得tan9 =3歲，即極坐標方程為38 .在直角坐標系xOy中，以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線G2.4的極坐標方程為p211+內(nèi)口。8,直線l的極坐標方程為p=V2sin9+cos日(I)寫出曲線G與直線l的直角坐標方程；(n)設(shè)Q為曲線C上一動點，求Q點到直線l距離的最小值.【解答】(I)以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，_2_4曲線G的極坐標方程為p2+En28,直線l的極坐標方程為p=/2sin9+cos9,根據(jù)p2=x2+y2,x=pcos0,y=psin0,則G的直角坐標方程為x2+2y2=2,直線l的直角坐標方程為升日產(chǎn)&a

9、mp;(n)設(shè) Q .:'1,則點Q到直線l的距離為IV2sin e +V2C0S a - 4 I上<3當且僅當|2sin <，+)- 4 I73, nB二2k無十二4 (kCZ)時取等口2.Q點到直線l距離的最小值為忑.(k=2cosC19.在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為(y=2+2sin<I("為參數(shù))M是G上的動點，P點滿足。邑2。I,P點的軌跡為曲線C2(I)求G的方程；K(n)在以。為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線。=3與。的異于極點的交點為A,與G的異于極點的交點為B,求|AB|.兀(II)根據(jù)(I)將求出曲線Cl的極坐標方

10、程，分別求出射線。=3與C的交點A的極徑為P1,7T以及射餞。=3與G的交點B的極徑為p2,最后根據(jù)|AB|=|p2-pi|求出所求.【解答】解：(I)設(shè)P(x,y),則由條件知M(b,-2).由于M點在。上，1=2。田口vrK=4cosO-所以I2ip(y=4f4smd從而G的參數(shù)方程為1y=4+4或口立(”為參數(shù))(n)曲線Ci的極坐標方程為p=4sin0,曲線C的極坐標方程為p=8sin0.射線0=3與Ci的交點A的極徑為Pi=4sin3,射線0=3與C2的交點B的極徑為p2=8sin3.所以|AB|=|p2pi|二V3.10.設(shè)圓C的極坐標方程為P=2,以極點為直角坐標系的原點，極軸為

11、x軸正半軸，兩坐標系長度單位一致，建立平面直角坐標系.過圓C上的一點M(m,s)作垂直于x軸的直線l：x=mx設(shè)l與x軸交于點N向量OQ=OM+ON.(I)求動點Q的軌跡方程；(n)設(shè)點R(1,0),求反|的最小值.【解答】解：(I)由已知得N是坐標(m,0),設(shè)Q(x,y),由而二而i+6Si,得產(chǎn)而j竭尸號，則s=y丁點M在圓p=2上,即在m2+s2=4上,|RQ |=V(4eos© - 1) 2+4sin2 © =12幫考一；返則1至1的最小值為3 .11.已知在平面直角坐標系 xOy中，直線1的。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標，曲線co屋。-Etc 口+5 二

12、J12 3兮日. 士)1j參數(shù)方程是12n (t是參數(shù))，以原點TTP =2cos (：C的極坐標方程&.222+j.Q是軌跡方程為164；k=4cos日(n)Q點的參數(shù)方程為ly=2sin9(I)判斷直線1與曲線C的位置關(guān)系；(n)設(shè)M為曲線C上任意一點，求x+y的取值范圍.【解答】解：（I）由V2tbiV2,消去t得：y=x+4亞.P=2cos9cosP=V2cose-V2sin6p2=V2PcoSe-V2Psin9,即J炎"+亞=0.化為標準方程得:圓心坐標為d=直線l()由+472I二5:>1.與曲線C相離；貝Ux+y=sin0+cos0=,半徑為1,圓心到直線

13、x-y+46=0的距離M為曲線C上任意一點，可設(shè)x+y的取值范圍是一板，亞.12.已知曲線C的參數(shù)方程為75cos(.5sin為參數(shù)），以直角坐標系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系（I）求曲線C的極坐標方程;（n）若直線的極坐標方程為(sin0+cos0)=1,求直線被曲線C截得的弦長.23.（1）.曲線C的參數(shù)方程為、-5cos.5sin（a為參數(shù)）.,.、，一、一22曲線C的普通方程為X2y15xcos將代入并化簡得：4cos2sinysin即曲線c的極坐標方程為4cos2sin5分(2)的直角坐標方程為xy10一一2-圓心C到直線的距離為卡上=42弦長為2J5?=24310分.2

14、?x=1+3cost.13. (15年福建理科)在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數(shù)萬程為？(t為參數(shù)).?y=-2+3sint在極坐標系(與平面直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點。為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為、2rsin(q-p)=m,(m?R).4(I)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程；(n)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2,求m的值.22試題分析：(I)將圓的參數(shù)方程通過移項平方消去參數(shù)得(x-1)+(y+2)=9,利用xcos,ysin將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；(n)利用點到直線距離公式求解.，一一，.，、一22試題解析：(I)消去參數(shù)t,得到圓

15、的普通方程為(x-1)+(y+2)=9,由72rsin(q-p)=m，得rsinq-rcosq-m=0,4所以直線l的直角坐標方程為x-y-m=0.(n)依題意，圓心c到直線l的距離等于2,即|1-=2,解得 m=-3 ±2、?2xtcos14. （15年新課標2理科）在直角坐標系xOy中，曲線C：（t為參數(shù)，t豐0）,ytsin其中0 w a <C3:2 3cos支，在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：2sin,（1）求C2與G交點的直角坐標；（2）若G與G相交于點A,C與G相交于點B,求|AB|的最大值。H3）幃（I）曲坡a的直地坐標方程為/十,-及二作，曲

16、線6的直地坐標方程為M y一功 = 6. e門。.晟二&怫JC J v. % y=。M=Tf3x sin 可得eC的直角坐標方程；（II ）先設(shè) 的坐標，則CJt2 12 ,再利用二次3 -t2，,一_2 （t為參數(shù)）2原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，e C的極坐標方程為（I）寫出eC的直角坐標方程；（II ） 為直線l上一動點，當 到圓心2、3sinC的距離最小時，求的直角坐標.【答案】（I） x2y33 2 3 ；（II）Jy3所以Q與孰交點的直角坐標為0。）和（學,泰（II）曲線C的楹坐標方程為9="8氏*0八其中口Wav總田牝4的姬里標為占），B的極坐標為2685口”）.所以-2k5co